Compito di Geometria per Elettronici
14/01/2019 tempo 2h 00m
Prof. Matteo Penegini, Prof. Riccardo Camerlo
Si risolvano gli esercizi 1 e 2 su un foglio a protocollo e gli esercizi 3 e 4 su un altro foglio.
Esercizio 1. Decomporre nel campo reale R e in quello complesso C il seguente polinomio:
(1 − x2)3+ 1.
Esercizio 2. Una scuola di ballo sta programmando i suoi corsi di danza mo- derna, danza classica e danza latino-americana. In relazione alla difficolt`a dei tre diversi corsi di ballo, ciascun istruttore pu`o impartire lezioni di danza moderna, classica e latino-americana rispettivamente a 10, 5 e 15 ballerini partecipanti, mentre i ricavi per ciascuna classe di ogni tipo di corso sono stimati rispetti- vamente a 200, 100, 400 euro. Assumendo che la scuola disponga di 15 classi, preveda di raggiungere il numero programmato di 200 iscrizioni e intenda ricavare 5 000 euro, quante classi di ciascun corso deve organizzare?
Esercizio 3. Si consideri l’appicazione
ϕ : R4 −→ R3 definita da
(x1, x2, x3, x4) 7→ (x1+ x3, x2+ x3, x3+ x4) (1) Si verifichi che ϕ `e un’applicazione lineare.
(2) Si determini la matrice di rappresentazione di ϕ rispetto alle basi cano- niche di R4 e R3.
(3) Si determini una base del nucleo ker(ϕ).
(4) Si determini una base per ker(ϕ)⊥ := {v ∈ R4| < v, u >= 0, ∀u ∈ ker(ϕ)}
(5) ker(ϕ)⊥ `e isomorfo all’immagine Im(ϕ) di ϕ?
Esercizio 4. Si consideri la sfera unitaria S := {(x, y, z) ∈ R3|x2+ y2+ z2 = 1}.
Si determinino due rette tra loro ortogonali e tangenti a S nel punto A := (√
2/2,√
2/2, 0).
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