Compitino di MDAL

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Compitino di MDAL 10 aprile 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis.

Esercizio 1 (Esercizio con domande a risposta secca).

1. Si consideri l’applicazione lineare L : R

³

→ R

³

la cui matrice, rispetto alla base standard di R

³

` e

[L] =





1 0 1

−1 −1 0

0 1 −1





Si considerino le seguenti due basi di R

³

: la base β data dai vettori (che scriveremo in riga, per motivi di spazio) (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1) e la base γ data dai vettori (1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1). Si scriva qui la matrice associata ad L rispetto alla base β in partenza e alla base γ in arrivo:

2. Si consideri lo spazio vettoriale M at

_4×4

(C). Sia W il sottospazio dato dalle matrici (a

_ij

)

_i,j=1,..,4

tali che a

₁₂

+a

₂₃

+a

₃₄

= 0 e a

₁₃

+a

₂₄

+a

₃₄

= 0.

Scrivere qui la dimensione di W :

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3. Dire se i seguenti insiemi sono o non sono sottospazi di R[x]

^≤4

(scrivere SI se ` e sottospazio, NO altrimenti, accanto a ciascun insieme):

(a) {p(x) ∈ R[x]

^≤4

: p(x) ha grado 4};

(b) {p(x) ∈ R[x]

^≤4

: p(x) + x

⁴

+ x + 1 ha grado 4};

(c) {p(x) ∈ R[x]

^≤4

: p(−2) = 0};

(d) {p(x) ∈ R[x]

^≤4

: p(−2) = 2};

(e) {p(x) ∈ R[x]

^≤4

: p(x) ` e la derivata di un polinomio q(x) ∈ R[x]

^≤4

}.

Esercizio 2 (Esercizio con risposta da motivare dettagliatamente).

Sia L : R

⁵

→ R

⁵

l’applicazione lineare che, rispetto alla base standard di R

⁵

, ha matrice:







4 2 9 5 3

1 0 0 −1 2

2 2 8 6 0

1 1 5 4 −1







1. Trovare una base di Ker L e una base di Imm L.

2. Il vettore (2, 1, −3, 0, 0) (per motivi di spazio lo abbiamo scritto in riga) appartiene a Imm L ?

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Nuovi esercizi a risposta secca

Esercizio 3. Sia a

0

, a

1

, a

2

, . . . la successione definita da ( a

₀

= 1

a

_n+1

= 3a

_n

+ 1 per n ≥ 0 Determinare una formula esplicita per a

n

.

Esercizio 4. Determinare tutti i numeri interi a che soddisfano la congruenza

a

²

≡ 1 (mod 12).

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Esercizio 5. Per quali valori di del parametro intero a il sistema di con- gruenze

( x ≡ a (mod 12) x ≡ 2a (mod 18)

`

e risolubile?

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Esercizio 6.



 

 

3x ≡ 1 (mod 14)

x ≡ 1 (mod 8)

3x ≡ 9 (mod 5)

Trovare una soluzione. Trovarle tutte.