La velocità di fuga

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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RIPASSO

La velocità di fuga

La velocità di fuga può essere definita formalmente come la velocità iniziale necessaria per andare da un punto in un campo gravitazionale, a distanza r dal centro del campo, fino all’infinito con velocità residua nulla, relativamente al campo stesso. La velocità di fuga è dunque la minima velocità che un corpo, posto in un punto di un campo gravitazionale, deve avere per “sfuggire” all’attrazione di un pianeta. La velocità di fuga è la velocità che corrisponde ad una energia totale nulla. L’orbita di un corpo ad energia meccanica zero è un’orbita aperta, ma non è un ramo di iperbole, come nel caso di energia totale positiva: il corpo si muove su un’orbita parabolica

2 12

0 2

m c G f

Mm

GM

E E U mv G v

r r

= + = − = ⇒ =

La velocità di fuga dipende dalla distanza d dal centro del pianeta, ma non dalla massa m del satellite.

Nell’uso comune, il punto iniziale è posto sulla superficie di un pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario arrivare alla velocità di 11,2 km/s e, anche senza propulsione, l’oggetto si può si allontanare dalla Terra indefinitamente (senza essere più ostacolato dalla resistenza dell’atmosfera).

L’orizzonte degli eventi

Un orizzonte degli eventi è, nell’accezione più diffusa, un concetto collegato ai buchi neri, una previsione della relatività generale.

Secondo questa teoria, lo spazio ed il tempo formano un unico complesso con quattro dimensioni reali (detto spazio-tempo), il quale viene deformato dalla presenza di massa (o di energia).

Una grandezza molto importante è il cosiddetto “raggio di Schwarzschild”, introdotto nel 1916 da Karl Schwarzschild quando scoprì la soluzione esatta per il campo gravitazionale al di fuori di una stella dotata di simmetria sferica.

In presenza di corpi dotati di massa, non rotanti (momento angolare nullo), privi di carica elettrica e dotati di simmetria sferica, il cosiddetto Raggio di Schwarzschild è pari a:

2

S

2 GM

r = c

dove M è la Massa, G la costante di gravitazione universale e c la velocità della luce.

Nel caso di un buco nero di Schwarzschild, l’orizzonte degli eventi si crea nel momento in cui, in un corpo autogravitante, la “materia” (concetto utilizzato qui per identificare insieme la massa e l’energia, che

Energia meccanica Orbita

positiva ramo d’iperbole

negativa ellisse nulla parabola

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 01/2012 Pag. 7 secondo la relatività generale sono la stessa cosa) è così concentrata che la velocità di fuga dovrebbe essere pari o addirittura superiore a quella della luce.

Un buco nero è dunque definito come l’oggetto le cui dimensioni siano inferiori rispetto al suo raggio di Schwarzschild. La superficie individuata da tale raggio funge da orizzonte degli eventi per un corpo statico (un buco nero rotante mostra un comportamento leggermente diverso). Le onde elettromagnetiche e la materia non possono superare l’orizzonte degli eventi provenendo dall’interno del corpo - da qui il nome di “buco nero”. Secondo una definizione data da Roger Penrose in un buco nero, l’orizzonte degli eventi è una particolare superficie dello spazio-tempo che separa i posti da cui possono sfuggire segnali da quelli da cui nessun segnale può sfuggire.

Il raggio di Schwarschild è proporzionale alla massa del corpo: il Sole ha un raggio di Schwarzschild di circa 3 km, mentre quello della Terra misura approssimativamente 9 mm. Il raggio di Schwarzschild del buco nero supermassiccio situato al centro della nostra Galassia è pari a circa 7,8 milioni di km.

È importante precisare che un buco nero sarà quasi sempre molto più piccolo del suo raggio di Schwarzschild, perché continua a contrarsi; il raggio denota solo la distanza minima dal centro del buco nero a cui la luce può passare senza essere inghiottita definitivamente da questo entrando nel campo gravitazionale dove la velocità di fuga è superiore a quella della luce (quindi la zona dentro sarà sempre buia).

II gruppo di esercizi (Legge di gravitazione universale-Energia grav.)

Esercizio n. 10 (Velocità di fuga)

Un razzo viene lanciato dalla superficie di un pianeta con velocità pari al doppio della velocità di fuga.

Determinare la minima velocità del razzo dopo il lancio.

Nota: dove viene raggiunta la minima velocità?

[

v

= v

= 3 ⋅ v

Esercizio n. 11 (Conservazione energia-Velocità di fuga)

Determinare, utilizzando le tabelle relative alle caratteristiche dei vari pianeti, le velocità di fuga da Marte, da Venere e dalla Luna.

[

v

= 4.98 km/s

v

= 10.11 km/s

v

= 2.37 km/s

Esercizio n. 12 (Conservazione energia-Velocità di fuga)

Un razzo viene lanciato, in direzione radiale, dalla superficie di Marte con una velocità v₀ = 3.80 km/s. Il razzo ricadrà sul pianeta? Qual è la distanza di massimo allontanamento del razzo dalla superficie del pianeta?

[si, d_max = 4.79 10 m⋅ ⁶ ]

Esercizio n. 13 (Conservazione energia)

Dimostrare che quando un satellite si muove su un orbita circolare attorno al corpo centrale la sua energia meccanica è pari alla metà della sua energia potenziale gravitazionale.

[E_c = ¹₂G^Mm_r ,E_m = −¹₂G^Mm_r ]

Esercizio n. 14 (Orizzonte eventi)

Determinare il raggio dell’orizzonte degli eventi (raggio di Schwarschild r_S) di un corpo avente massa pari a 25M_S, dove M_S è la massa del sole. Si ponga

c = 3.0 10 km/s ⋅

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell’oggetto è la velocità di

fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza. A questo punto non è più necessario

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Prof. Franco Fusier – Rev. 01/2012 Pag. 8 [rS = 73.4 km]

Esercizio n. 15 (Legge di gravitazione)

Sapendo che la distanza fra la Terra e la Luna è pari a 3.84·10⁸ m, determinare a quale distanza dal centro della Terra la forza gravitazionale dovuta alla Luna compensa quella dovuta al nostro pianeta.

[

d = 3.457 10 km ⋅

Esercizio n. 16 (Velocità di fuga)

Un razzo viene lanciato dalla superficie della Terra con velocità v₀ = 15.0 km/s, determinare la sua velocità quando si sarà allontanato indefinitamente.

[v_∞ = 10 km/s]

Esercizio n. 17 (Conservazione energia, impegnativo)

La cometa di Halley si muove su un’orbita ellittica avente eccentricità e = 0.9672. Sapendo che la distanza della cometa dal centro del sole al perielio è pari a 0.586 UA (1 UA=1.5·10⁸ km) e che la velocità al perielio vale v_P = 54.4 km/s, determinare la velocità della cometa all’afelio e il periodo del moto.

Nota: per determinare il periodo del moto si deve ricordare la terza legge di Keplero; occorre inoltre ripassare l’ellisse…

[vA = 0.91 km/s,T = 75.8 anni]