Formula di Taylor

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FORMULA DI TAYLOR

1 POLINOMIO DI TAYLOR 1

Formula di Taylor

Indice

1 Polinomio di Taylor 1

2 Formula di Taylor 2

3 Alcuni sviluppi notevoli 2

4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti 4

5 Soluzioni degli esercizi 6

La formula di Taylor è uno dei risultati più importanti dell’analisi matematica. Detto in modo molto approssima- tivo, il teorema dice che una funzione derivabile un certo numero di volte può essere approssimata con un polinomio, cioè con una funzione particolarmente semplice. Che cosa si debba intendere con “può essere approssimata” viene precisato appunto nel teorema detto Formula di Taylor.

1 Polinomio di Taylor

Definizione Siano I un intervallo aperto, x0 ∈ I e f : I → R una funzione derivabile n volte in x⁰. Si chiama polinomio di Taylor dif di grado n centrato in x0il polinomio

pn,x0(x) = f (x0) + Df (x0)(x − x0) +D²f (x0)

2! (x − x0)²+ . . . + Dⁿf (x0)

n! (x − x0)ⁿ

=

n

X

k=0

D^kf (x0)

k! (x − x0)^k. ¹

Osserviamo che il polinomio di Taylor di primo grado `e

p1,x0(x) = f (x0) + (x − x⁰)Df (x0).

E osserviamo anche che

y = p1,x0(x) , cio`e y = f (x0) + f^′(x0)(x − x0),

`e l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0, f (x0).

Esempio Se consideriamo la funzione f (x) = e^xe il punto x0= 1, possiamo osservare che la funzione è certamente derivabile almeno due volte in x0(è derivabile infinite volte in qualunque punto) e quindi possiamo ad esempio scrivere il suo polinomio di Taylor di terzo grado (cioè con n = 3) centrato in x0:

p3,x0 = e + e(x − 1) +e

2(x − 1)²+e

6(x − 1)³.

Vedremo in seguito con il teorema che il polinomio di Taylor di grado n centrato in x0`e il polinomio di grado n che “meglio approssima” f in un intorno di x0.

Si potrebbero dimostrare ora due interessanti propriet`a del polinomio di Taylor di grado n centrato in x0: (i) pn,x0 `e l’unico polinomio di grado n tale che D^kpn,x0(x0) = D^kf (x0) per ogni k = 0, 1, . . . , n;

(ii) se f `e un polinomio di grado n, allora pn,x0 = f .

1Ricordo che abbiamo in precedenza posto per comodit`a D⁰f= f .

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FORMULA DI TAYLOR

3 ALCUNI SVILUPPI NOTEVOLI 2

Osservazioni La (i) afferma che c’`e un solo polinomio di grado n il cui valore in x0 e le cui derivate in x0 fino all’ordine n coincidono rispettivamente con il valore di f in x0e con le derivate di f in x0 fino all’ordine n: si tratta del polinomio di Taylor di f di grado n centrato in x0.

Dato che un polinomio `e una funzione derivabile,² ovviamente si pu`o scrivere il polinomio di Taylor di un certo grado, centrato in un dato punto, di un polinomio. La (ii) afferma che se scrivo il polinomio di Taylor di grado n di un polinomio di grado n, centrato in un qualunque punto, ottengo il polinomio stesso da cui sono partito. Facciamo una semplice verifica in un caso particolare. Prendiamo il polinomio P (x) = x³+ x + 1 e costruiamo il suo polinomio di Taylor di grado 3 centrato ad esempio in x0= 1. Abbiamo

P (x) = x³+ x + 1 , P^′(x) = 3x²+ 1 , P^′′(x) = 6x , P^′′′(x) = 6, da cui

P (1) = 3 , P^′(1) = 4 , P^′′(1) = 6 , P^′′′(1) = 6.

Quindi il polinomio di Taylor di P di grado 3 centrato in x0= 1 `e

p3,1(x) = 3 + 4(x − 1) +⁶₂(x − 1)²+⁶₆(x − 1)³= 3 + 4(x − 1) + 3(x − 1)²+ (x − 1)³. Si verifica subito che, fatti i conti, si tratta dello stesso P (x).

E del tutto ovvio che, se scrivo invece il polinomio di Taylor di P (x) di grado minore di 3, non si ottiene P (x).` Esercizio 1.1 Scrivere il polinomio di Taylor indicato delle seguenti funzioni.

(a) p3,1(x) di f (x) = x⁴− x²+ 1 (b) p2,e(x) di f (x) = ln x (c) p2,2(x) di f (x) = 1 x

2 Formula di Taylor

Il teorema seguente contiene una delle formule pi`u importanti dell’Analisi matematica.

Teorema (formula di Taylor). Siano I un intervallo aperto, n ∈ N e x⁰∈ I. Sia poi f : I → R derivabile n volte in x0. Allora

f (x) − p^n,x⁰(x) = o (x − x⁰)ⁿ

per x → x⁰. Osservazione Nella formula di Taylor n `e detto l’ordine della formula.

Osservazione La tesi dice che lo scarto tra la funzione f ed il suo polinomio di Taylor di grado n, centrato in un certo punto x0, è una quantità trascurabile rispetto allo scarto x − x0 elevato alla n, quando x tende a x0. Vuol dire che lo scarto tra la f ed il suo polinomio di Taylor va a zero più rapidamente di quanto non faccia (x − x0)ⁿ, sempre per x → x0. In questo aspetto sta la capacità del polinomio di Taylor di approssimare la funzione. E ancora, dato che compare la potenza n-esima dello scarto x − x0, significa in qualche modo che, tanto più elevato è il grado del polinomio e tanto migliore sarà questa approssimazione.³

Osservazione Si faccia attenzione a non dare a quanto appena detto una validità troppo generale. Mi spiego: lo scarto tra la funzione f ed il suo polinomio di Taylor è s`ı trascurabile rispetto all’altra quantità, ma questo vale per x → x0, non vale in generale. In altre parole l’approssimazione può essere buona in prossimità di x0, ma non possiamo pretendere che sia sempre buona, anche quando siamo lontani da x0. D’altro canto pn,x0 è un polinomio, mentre f può essere qualcosa di molto più complicato, e non possiamo pensare che lo stesso polinomio sia in grado di approssimare bene al funzione in tutto il suo dominio.

3 Alcuni sviluppi notevoli

Vediamo alcuni esempi di calcolo del polinomio di Taylor di funzioni elementari e di scrittura delle relative formule di Taylor. Per ovvi motivi, il caso pi`u semplice `e quello della

• funzione esponenziale f (x) = e^x. Calcoliamo il suo polinomio di Taylor di grado n centrato in x0= 0.

Dato che Dⁿe^x= e^x, le derivate, calcolate in x0= 0, sono tutte uguali a 1. Quindi, per la funzione esponenziale si ha

pn,0(x) = 1 + x + x² 2! +x³

3! + . . . + xⁿ n! =

n

X

k=0

x^k k!.

2Abbiamo visto che i polinomi appartengono alla classe C^∞(R).

3Si ricordi che, parlando di quantità infinitesime, cioè tendenti a zero, più la potenza è elevata e più rapidamente queste vanno a zero.

(3)

FORMULA DI TAYLOR

3 ALCUNI SVILUPPI NOTEVOLI 3

La formula di Taylor `e allora

e^x= 1 + x +x² 2! +x³

3! + . . . + xⁿ

n! + o(xⁿ) , per x → 0.

Tale formula, essendo valida per ogni n, pu`o essere utilizzata di volta in volta con l’ordine n pi`u opportuno.⁴ Vediamo un altro esempio, relativo alla funzione logaritmica. Con f (x) = ln x, non possiamo calcolare il polinomio centrato in x0= 0 (cosa che sarebbe ovviamente comoda). Allora sono possibili due alternative: mantenere la funzione f (x) = ln x e centrare la formula in un punto diverso da zero (ad esempio prendere x0= 1), oppure cambiare la funzione per poterla centrare in x0= 0. Solitamente si preferisce la seconda e si considera la funzione f (x) = ln(1 + x). Quindi

• funzione logaritmica f (x) = ln(1 + x). Calcoliamo il suo polinomio di Taylor di grado n centrato in x0= 0.

Le prime derivate di f sono

Df (x) = (1 + x)⁻¹ , D²f (x) = −(1 + x)⁻² , D³f (x) = 2(1 + x)⁻³ , D⁴f (x) = −6(1 + x)⁻⁴ . . . quindi, calcolando le derivate in x0= 0, abbiamo

Df (0) = 1 , D²f (0) = −1 , D³f (0) = 2 , D⁴f (0) = −6 . . . Il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in x0= 0 `e allora

p4,0(x) = x − 1 2!x²+ 2

3!x³− 6 4!x⁴

= x −x² 2 +x³

3 −x⁴ 4 .

Si capisce facilmente che l’espressione generale del polinomio di grado n si pu`o scrivere con pn,0(x) = x −x²

2 +x³ 3 −x⁴

4 + . . . +(−1)ⁿ⁻¹ n xⁿ. La formula di Taylor di ordine 4 `e allora

ln(1 + x) = x −x² 2 +x³

3 −x⁴

4 + o(x⁴) , per x → 0 e quella di ordine n `e

ln(1 + x) = x −x² 2 +x³

3 −x⁴

4 + . . . +(−1)ⁿ⁻¹

n xⁿ+ o(xⁿ) , per x → 0.⁵ Lo studente per esercizio pu`o ricavare la formula della funzione f (x) = ln x centrata in x0= 1.

Altra funzione elementare importante è la funzione potenza x 7→ x^α. Qui si presenta lo stesso problema della funzione logaritmica: per alcuni valori di α la funzione può non essere definita in zero (α negativo o irrazionale) e per altri può non essere derivabile in zero (ad esempio α = 1/3). Allora come prima manteniamo il punto centrale x0= 0 ma cambiamo la funzione considerando la

• funzione potenza f (x) = (1 + x)^α. Scriviamo la formula di Taylor di ordine n centrata in x0 = 0. Le prime derivate di f sono

Df (x) = α(1 + x)^α−1 , D²f (x) = α(α − 1)(1 + x)^α−2 , D³f (x) = α(α − 1)(α − 2)(1 + x)^α−3 . . . da cui, calcolando in x0= 0, si ha

Df (0) = α , D²f (0) = α(α − 1) , D³f (0) = α(α − 1)(α − 2) . . .

4Significa che potremo scrivere e^x= 1 + x + o(x), oppure e^x= 1 + x +^x_2!² + o(x²), e cos`ı via, a seconda delle necessit`a.

5Si pu`o scrivere in forma compatta, con il simbolo di sommatoria,

ln(1 + x) = Xn k=0

(−1)^k−1

k x^k+ o(xⁿ) , per x → 0.

Casi notevoli sono: al primo ordine ln x = x + o(x), al secondo ordine ln x = x −^x2²+ o(x²), x → 0.

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FORMULA DI TAYLOR

4 USO DELLA FORMULA DI TAYLOR NEL CALCOLO DEI LIMITI 4

La formula di Taylor di ordine 3 `e allora (1 + x)^α= 1 + αx +α(α − 1)

2! x²+α(α − 1)(α − 2)

3! x³+ o(x³) , per x → 0.

La formula di Taylor di ordine n `e (1 + x)^α= 1 + αx + α(α − 1)

2 x²+ . . . +α(α − 1) · · · (α − n + 1)

n! xⁿ+ o(xⁿ) , per x → 0.⁶

Riassumo qui di seguito gli sviluppi di Taylor trovati:

• e^x= 1 + x +x² 2! +x³

3! + . . . + xⁿ

n! + o xⁿ, per x → 0.

• ln(1 + x) = x −x² 2 +x³

3 − . . . + (−1)ⁿ⁻¹

n xⁿ+ o xⁿ, per x → 0.

• (1 + x)^α= 1 + αx +α(α − 1)

2 x²+ . . . + α(α − 1) · · · (α − n + 1)

n! xⁿ+ o(xⁿ), per x → 0.

Esercizio 3.1 Scrivere la formula di Taylor del secondo ordine delle seguenti funzioni, centrata nel punto x0

indicato.

(a) f (x) = x + 1/x, in x0= 1 (b) f (x) = ln(x + 2), in x0= −1 (c) f (x) = e^1/x, in x0= 1 (d) f (x) =√

x, in x0= 4

Esercizio 3.2 Scrivere la formula di Taylor di almeno il terzo ordine delle seguenti funzioni, centrata nel punto x0 indicato, ricavandola dagli sviluppi noti (con sviluppi noti intendo quelli di e^x, ln(1 + x) e (1 + x)^α, per x → 0).

(a) f (x) = e^2x, in x0= 0 (b) f (x) = e^−x², in x0= 0 (c) f (x) = x ln(1 − x), in x⁰= 0 (d) f (x) = ln(1 + x²), in x0= 0 (e) f (x) =√

1 + x², in x0= 0 (f) f (x) = ln²(1 + x), in x0= 0

4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti

La formula di Taylor pu`o essere molto utile nel calcolo dei limiti. Vediamo un po’ di esempi in merito.

Esempi

• Consideriamo il limite notevole lim

x→0

e^x− 1

x . Per la formula di Taylor, e^x= 1 + x + o(x), per x → 0. Quindi

x→0lim e^x− 1

x = lim

x→0

1 + x + o(x) − 1

x = lim

x→0

x + o(x) x = 1.

• Consideriamo l’altro limite notevole lim

x→0

ln(1 + x)

x . Per la formula di Taylor abbiamo che ln(1 + x) = x + o(x), per x → 0. Quindi

x→0lim

ln(1 + x)

x = lim

x→0

x + o(x) x = 1.

6Un caso notevole `e per la funzione f (x) =√

1 + x, per la quale si ha, al primo ordine√

1 + x = x +¹₂x+ o(x), x → 0, e al secondo ordine√

1 + x = x +¹₂x −¹8x²+ o(x²), x → 0.

(5)

FORMULA DI TAYLOR

4 USO DELLA FORMULA DI TAYLOR NEL CALCOLO DEI LIMITI 5

• Consideriamo il terzo limite notevole: lim

x→0

(1 + x)^α− 1

x . Per la formula di Taylor abbiamo che (1 + x)^α = 1 + αx + o(x), per x → 0. Quindi

x→0lim

(1 + x)^α− 1

x = lim

x→0

1 + αx + o(x) − 1

x = lim

x→0

αx + o(x)

x = α.

Negli esempi fin qui visti sono sempre stati sufficienti gli sviluppi al primo ordine, ma pu`o succedere che non sia cos`ı, come nel seguente esempio:

• Consideriamo il lim

x→0

e^x− 1 − x

x² . Se usiamo la formula del primo ordine abbiamo

x→0lim

e^x− 1 − x x² = lim

x→0

1 + x + o(x) − 1 − x

x² = lim

x→0

o(x) x²

e qui non possiamo stabilire il risultato. Se invece usiamo la formula del secondo ordine abbiamo

x→0lim

e^x− 1 − x x² = lim

x→0

1 + x + ^x₂² + o(x²) − 1 − x

x² = lim

x→0 x²

2 + o(x²) x² = 1

2.

x→0

ln(1 + x) − x

x² . Se usiamo la formula del primo ordine abbiamo

x→0lim

ln(1 + x) − x

x² = lim

x→0

x + o(x) − x x² = lim

x→0

o(x) x²

e non possiamo stabilire il risultato. Se invece usiamo la formula del secondo ordine abbiamo

x→0lim

ln(1 + x) − x

x² = lim

x→0

x −^x₂² + o(x²) − x

x² = lim

x→0

−^x

2

2 + o(x²) x² = −1

2.

x→0

x − ln(1 + x) 1 −√

1 + x . Qui in realt`a basta la formula del primo ordine. Infatti abbiamo

x→0lim

x − ln(1 + x) 1 −√

1 + x = lim

x→0

x − x + o(x)

1 − 1 −^x2+ o(x) = lim

x→0

o(x)

−^x2+ o(x) = 0.

Lo studente, per esercizio, provi a risolverlo usando la formula al secondo ordine.

Osservazione E chiaro che a priori non possiamo sapere se basterà la formula del primo ordine o sarà necessaria` quella di un ordine più elevato. Si può provare con il primo e, se ci si accorge che non basta, si prova con il secondo.

Dagli sviluppi notevoli si ricavano immediatamente gli equivalenti sviluppi a +∞. Chiarisco il significato. Con- sideriamo ad esempio la funzione f (x) = ln 1 +¹_x. La quantit`a ¹_x tende a zero per x → +∞. Quindi, usando la formula di Taylor del primo ordine possiamo scrivere

ln

1 + 1

x

= 1

x+ o 1 x

, per x → +∞.

Analogamente abbiamo

e^1/x= 1 + 1

x+ o 1 x

, per x → +∞.

E ancora

1 + 1

x

α

= 1 +α

x+ o 1 x

, per x → +∞.

Possiamo generalizzare quanto appena visto. Se f `e una funzione che tende a zero per x → c (qualunque, anche infinito), allora valgono i seguenti sviluppi del primo ordine:

• ln 1 + f (x) = f (x) + o f (x), per x → c

• e^{f (x)}= 1 + f (x) + o f (x), per x → c

(6)

FORMULA DI TAYLOR

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6

• 1 + f (x)α

= 1 + αf (x) + o f (x), per x → c

Lo studente per esercizio scriva le corrispondenti formule del secondo ordine.

Esempi Possiamo scrivere ad esempio

• ln 1 + x² = x²+ o x², per x → 0

• e^√^x= 1 +√x + o √x, per x → 0

• √

1 − x²= 1 −^x₂² + o x², per x → 0.

La formula quindi pu`o essere utilmente applicata anche in situazioni che apparentemente non sembrano adatte, ad esempio quelle di calcolo di limiti con x che tende all’infinito.

Esempio Consideriamo il

x→+∞lim

x² e^1/x− 1 .

Si tratta di una f.i. del tipo +∞ · 0. Usando uno degli sviluppi visti sopra si pu`o scrivere

x→+∞lim

x² e^1/x− 1

= lim

x→+∞

x² 1 + 1/x + o(1/x) − 1

= lim

x→+∞

x + o(1/x)

= +∞.

Si poteva per`o anche utilizzare il cambio di variabile 1/x = y e ottenere

x→+∞lim

x² e^1/x− 1

= lim

y→0⁺

e^y− 1 y² (per la formula di Taylor) = lim

y→0⁺

y + o(y) y²

= lim

y→0⁺

1 y

= +∞.

5 Soluzioni degli esercizi

Esercizio 1.1

(a) Le derivate di f sono

f^′(x) = 4x³− 2x , f^′′(x) = 12x²− 2 , f^′′′(x) = 24x e quindi si ha f (1) = 1, f^′(1) = 2, f^′′(1) = 10, f^′′′(1) = 24.

Pertanto il polinomio `e p3,1(x) = 1 + 2(x − 1) + ¹⁰_2!(x − 1)²+²⁴_3!(x − 1)³= 1 + 2(x − 1) + 5(x − 1)²+ 4(x − 1)³. (b) Le derivate di f sono

f^′(x) = 1

x , f^′′(x) = −1 x² e quindi si ha f (e) = 1, f^′(e) = ¹_e, f^′′(e) = −e¹².

Pertanto il polinomio `e p2,e(x) = 1 +¹_e(x − e) −_2e¹²(x − e)². (c) Le derivate di f sono

f^′(x) = − 1

x² , f^′′(x) = 2 x³ e quindi si ha f (2) = ¹₂, f^′(2) = −¹4, f^′′(2) = ¹₄.

Pertanto il polinomio `e p2,2(x) = ¹₂−¹4(x − 2) +¹8(x − 2)².

(7)

FORMULA DI TAYLOR

Esercizio 3.1

(a) La funzione `e derivabile almeno due volte in un intorno di x0= 1 e si ha

f^′(x) = 1 − 1/x² e f^′′(x) = 2/x³, da cui f^′(1) = 0 e f^′′(1) = 2.

Pertanto la formula di Taylor `e

x + 1/x = 2 + 0 · (x − 1) +2

2(x − 1)²+ o (x − 1)²

= 2 + (x − 1)²+ o (x − 1)² , per x → 1.

(b) La funzione `e derivabile almeno due volte in un intorno di x0= −1 e si ha

f^′(x) = 1/(x + 2) e f^′′(x) = −1/(x + 2)², da cui f^′(−1) = 1 e f^′′(−1) = −1.

Pertanto la formula di Taylor `e

ln(x + 2) = 0 + 1 · (x + 1) −1

2(x + 1)²+ o (x + 1)²

= x + 1 − 1

2(x + 1)²+ o (x + 1)² , per x → −1.

(c) La funzione `e derivabile almeno due volte in un intorno di x0= 1 e si ha

f^′(x) = e^1/x(−1/x²) e f^′′(x) = e^1/x· 1/x⁴+ e^1/x· 2/x³. Pertanto la formula di Taylor `e

e^1/x= e − e(x − 1) +3

2e(x − 1)²+ o (x − 1)² , per x → 1.

(d) La funzione `e derivabile almeno due volte in un intorno di x0= 4 e si ha f^′(x) = 1

2√

x e f^′′(x) = − 1 4√

x³. Pertanto la formula di Taylor `e

√x = 2 +1

4(x − 4) −1 2 · 1

32(x − 4)²+ o (x − 4)²

= 2 +1

4(x − 4) − 1

64(x − 4)²+ o (x − 4)² , per x → 4.

Esercizio 3.2

(a) f (x) = e^2x, con x0= 0. Dallo sviluppo di e^y= 1 + y + y²/2 + o(y²), per y → 0, sostituendo ad y la quantit`a 2x, si ottiene

e^2x= 1 + (2x) + (2x)²

2 + o (2x)² , per x → 0 e cio`e

e^2x= 1 + 2x + 2x²+ o x² , per x → 0.

(b) f (x) = e^−x², con x0 = 0. Dallo sviluppo di e^y = 1 + y + y²/2 + o(y²), per y → 0, sostituendo ad y la quantit`a

−x², si ottiene

e^−x² = 1 + (−x²) +(−x²)²

2 + o (−x²)² , per x → 0 e cio`e

e^−x² = 1 − x²+x⁴

2 + o x⁴ , per x → 0.

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FORMULA DI TAYLOR

(c) f (x) = x ln(1 − x), con x0= 0. Dallo sviluppo di ln(1 + y) = y − y²/2 + o(y²), per y → 0, sostituendo ad y la quantit`a −x, si ottiene

ln(1 − x) = −x − x²

2 + o x² , per x → 0 e quindi

x ln(1 − x) = −x²−x³

2 + o x³ , per x → 0.

(d) f (x) = ln(1 + x²), con x0= 0. Ancora dallo sviluppo di ln(1 + y) = y − y²/2 + o(y²), per y → 0, sostituendo ad y la quantit`a x², si ottiene

ln(1 + x²) = x²−x⁴

2 + o x⁴ , per x → 0.

(e) f (x) =√

1 + x², con x0= 0. Dallo sviluppo di√

1 + x = 1 +¹₂x − ¹₈x²+ o(x²) si ottiene p1 + x²= 1 +1

2x²−1

8x⁴+ o x⁴ , per x → 0.

(f) f (x) = ln²(1 + x), con x0= 0. Partiamo dallo sviluppo del secondo ordine di ln(1 + x) = x − x²/2 + o(x²), per x → 0. Allora possiamo scrivere

ln²(1 + x) =

x − x²

2 + o(x²)

² .

Procedendo formalmente e sviluppando il quadrato del trinomio (potenze notevoli della prima lezione del corso) possiamo scrivere

x − x²

2 + o(x²)

²

= x²+x⁴

4 + o(x⁴) − x³+ o(x³) + o(x⁴).⁷

Si faccia attenzione ora. La scrittura ottenuta `e corretta, ma volendo semplificarla riunendo le quantit`a trascurabili, ci permette di scrivere solo

x²− x³+ o(x³).

In altre parole, non possiamo tenere per buone le quarte potenze, data la presenza di quantit`a o(x³) (si consideri che x⁴ `e o(x³)). Abbiamo ottenuto quindi lo sviluppo del terzo ordine, e non del quarto come forse si poteva sperare.

Ora vediamo che cosa avremmo ottenuto partendo dallo sviluppo del primo ordine ln(1 + x) = x + o(x), per x → 0. Elevando al quadrato

(x + o(x))²= x²+ o(x²) + o(x²) = x²+ o(x²).

Non possiamo avere nessuna informazione in pi`u oltre a quella fornita dall’unico termine non trascurabile.

7Si ricordi, lo abbiamo visto in una precedente lezione, che sono del tutto leciti passaggi formali del tipo x · o(x) = o(x²) oppure (o(x))²= o(x²).

Non valgono per le propriet`a delle potenze, ma valgono in conseguenza della definizione del simbolo o.