Minimizzazione e Sottodi erenziali.
Fabio Bagagiolo
1 Premessa.
Queste brevi note fanno riferimento all'in ontro tenutosi, on il medesimo
titolo, nell'ambito delPer orso d'E ellenzain Matemati a. Sitratta essen-
zialmente di un sunto. In parti olare, rispetto alla lezione svolta in aula,
qui man ano del tutto le gure e i gra i esempli ativi. Vi eversa, al une
dimostrazioni saranno un po' piu dettagliate di quanto non sia stato fatto
allalavagna.
2 Minimizzazione.
Il ben noto Teorema diWeierstrass re ita nelseguente modo.
Teorema 2.1 Siano [a;b℄ R un intervallo hiuso e limitato della retta
reale e f : [a;b℄ ! R una funzione ontinua. Allora f ammette massimo e
minimo su [a;b℄.
Dimostrazione. Proviamo he esiste il minimo. Sia m := inf
[a;b℄
f 2
[ 1;+1[. Allora,perde nizionediestremoinferiore,esisteunasu essione
di punti x
n
2 [a;b℄, n 2 N tale he f(x
n
) ! m se n ! +1. Essendo [a;b℄
ompatto, esiste una sottosu essione x
n
k
, k 2N ed un punto x2[a;b℄ tale
hex
n
k
!xsek !+1. In ne,essendof ontinua,siha he f(x
n
k
)!f(x)
se k !+1 e quindi, ne essariamente, f(x)=m e si on lude.
Ladimostrazionedell'esistenzadel massimoedeltutto analoga. Sipone
M := sup
[a;b℄
f 2℄ 1;+1℄; per de nizione di estremo superiore, si ha
n
essione onvergente x
n
k
! x; si nota he f(x
n
k
) ! f(x) e si on lude.
u t
Nella dimostrazione appena on lusa, oltre alla hiusura e limitatezza
dell'intervallo, la ontinuita della funzione gio a un ruolo essenziale, ed in
parti olare lo gio anella sua formulazione
lim
x!x
0
f(x)=f(x
0 ):
Ma a ben guardare, questa ondizione e os forte he, in un sol olpo, i
assi ura l'esistenza sia delmassimo he delminimo. Se inve e noi volessimo
l'esistenza delsolominimo,allorapotremmoforseri hiederemenodella on-
tinuita. Ed infatti,puo bastarela semi ontinuita inferiore.
De nizione 2.2 Una funzione ' : R ! R si di e semi ontinua inferior-
mente in x
0
2R se
f(x
0
)liminf
x!x
0 f(x):
Si di e semi ontinua inferiormente (senzaspe i areil punto) see semi on-
tinua inferiormente in tutti i punti di R (o del suo dominio).
Teorema 2.3 Siano [a;b℄R un intervallo hiuso e limitato e ': [a;b℄!
R una funzione semi ontinua inferiormente. Allora ' ammette minimo su
[a;b℄.
Dimostrazione. Usando le notazioni della pre edente dimostrazione, si
ha, grazie allasemi ontinuita inferiore,
f(x)liminf
k!+1 f(x
n
k
)=m;
da ui, ne essariamente, f(x)=m e si on lude. ut
Inmanieradeltuttoanalogasihannolaseguentede nizioneeilseguente
teorema.
De nizione 2.4 Una funzione ' : R ! R si di e semi ontinua superior-
mente in x
0
2R se
limsup
x!x0
f(x)f(x
0 ):
Si di e semi ontinua superiormente(senzaspe i areilpunto) seesemi on-
tinua superiormentein tutti i punti di R (o del suo dominio).
R una funzione semi ontinua superiormente. Allora 'ammette massimosu
[a;b℄.
3 Gra i.
De nizione 3.1 Una funzione : R ! P(R), dove P(R) indi a l'insieme
delle partidi R, si di e un gra o su R.
Un gra o su R e quindi una funzione he, ad ogni punto di R, asso ia
un sottoinsieme di R (eventualmente vuoto o an he R stesso). Ad esempio,
il gra o(nel senso usuale)di una funzione f :R !R eun gra osu R nel
senso appena de nito. Ma i gra i di uivogliamo o upar i, sono ben piu
generali dei gra i difunzioni, inparti olare possono avere tratti verti ali.
De nizione 3.2 Un gra o su R, , si di e monotono se, per ogni x
1
;x
2 2
R,
x
1
<x
2
; (x
1 ); (x
2
)6=; )
1
2 8
1
2 (x
1 );
2
2 (x
2 ):
Un gra o monotono e quindi un gra o he \ res e" nel verso delle x
res enti.
De nizione 3.3 Siano e due gra i suR. Si di e he e ontenuto in
se
(x) (x) 8x2R:
Si di e he e ontenuto strettamente in se e ontenuto in ed esiste
x 0
2 R tale he (x 0
) 6= (x 0
) (e quindi l'insieme (x 0
) e ontenuto stretta-
mente in (x 0
)).
De nizione 3.4 Ungra osuR sidi emassimalemonotonoseemonotono
e none ontenuto strettamente in nessuno altro gra o monotono.
Quindiungra o massimalemonotonoeungra o heemassimale(per
l'ordinamento dato dall'in lusione) tra i monotoni. In parti olare, esso non
ha salti(obu hi).
In questo paragrafo onsidereremo funzioni a valorinella retta estesa R :=
[ 1;+1℄. Utilizzeremodue on ettiimportanti: lasemi ontinuitainferiore
e la onvessita. In parti olare, ambedue i on etti si estendono a funzioni
a valori nella retta estesa. Infatti, la semi ontinuita inferiore e banalmente
de nita allo stesso modo he per funzioni a valori reali (su R 'e un ordine
totale), mentre per la onvessita si estende la usuale de nizione tramite la
disuguaglianza
'(x
1
+(1 )x
2
)'(x
1
)+(1 )'(x
2 ); 8x
1
;x
2
2R; 80<<1;
al aso inquestione tramitela posizione
(+1)+( 1)=( 1)+(+1)=+1;
e,ovviamente, r+(+1)=+1,r+( 1)= 1perognir2R er(+1)=
+1, r( 1)= 1 per ogni r>0.
Proposizione 4.1 Sia ':R !R unafunzione semi ontinua inferiormente
e onvessa. Allora, se 'assume valori reali, non puo mai assumere il valore
1.
Dimostrazione. Sia x
0
2 R tale '(x
0
) 2 R. Poi he ' e semi ontinua
inferiormente, deve esistere Æ > 0 tale he '(x) > 1 per ogni x 2 [x
0
Æ;x
0
+Æ℄. Supponiamo per assurdo he esista x 0
2 R tale he '(x 0
) = 1.
Ovviamente si deve avere x 0
6= x
0
. Ma allora esiste 0 < < 1 tale he
x
0
+(1 )x 0
2[x
0 Æ;x
0
+Æ℄ . Per la onvessita siha quindi
1<'(x
0
+(1 )x 0
)'(x
0
)+(1 )'(x 0
)= 1;
la qual osa e assurda. ut
De nizione 4.2 Siano ' : R ! R una funzione e x
0
2 R un punto. Un
numerorealep2R sidi eunsottogradientedi'inx
0
selarettadipendenza
p he passa per il punto (x
0
;'(x
0
)) sta sottoal gra o di 'su tutto R. Cioe
se
'(x
0
)2R e '(x) p(x x
0
)+'(x
0
) 8x2R:
0
impli a he '(x
0 )2R.
De nizione 4.3 Sia ' : R ! R una funzione. Si di e sottodi erenziale di
', e si indi a on ', il gra o su R de nito per ogni x 2 R nel seguente
modo
'(x):=
n
p
pe sottogradiente di ' in x o
:
Adesempio se'(x)=jxj, allora
'(x)= 8
<
:
f 1g se x<0;
[ 1;1℄ se x=0;
f1g se x>0:
Notiamo he ingenerale si puoan he avere '(x)=;
Eser izio. i)Provare heseunafunzione':R !R ammettesottogradienti
in ogni punto (ovvero e sottodi erenziabile ovunque) allora e onvessa. ii)
Dare un esempio di funzione ' : R ! R he sia onvessa e semi ontinua
inferiormenteetale he perunqual he x
0
2R siabbia'(x
0
)2R e'(x
0 )=
;
Il seguente teorema non lo dimostriamo. In generale l'in lusione \" e
sempre vera.
Teorema 4.4 Siano '
1
;'
2
: R ! R due funzione onvesse e semi ontinue
inferiormente he non assumono mai il valore 1. Se '
1
e ontinua (e
quindi a valori in R) allora per ogni x2R si ha
'
1
(x)+'
2
(x)=('
1 +'
2 )(x)
on laposizione ;+K =; per ogni K R.
Laseguente proposizionee difa ile dimostrazione.
Proposizione 4.5 Sia ' : R ! R una funzione. Se ' e derivabile in x
0
(e quindi assume valori reali in tutto un intorno di x
0
) e '(x
0
)6=;, allora
'(x
0
)=f' 0
(x
0 )g.
orollario.
Corollario 4.6 Sia':R !R unafunzione(qualunque). Unpuntox
0 2R,
tale he '(x
0
)2R, e un punto di minimo assoluto per ' su R se e soltanto
se '(x
0 )30.
Ilseguente risultato,di uinonriportiamola dimostrazione, aratterizza
i gra i massimalimonotoni
Teorema 4.7 Un gra o su R e massimale monotono se e soltanto se e
il sottodi erenziale di una funzione onvessa e semi ontinua inferiormente,
non ostantemente uguale a +1e he non assume maiil valore 1.
Notiamo he le de nizioni di gra o massimale monotono e di sottodif-
ferenziale si possono estendere an he al aso di piu variabili. Ebbene in
dimensione maggioredi uno il teoremapre edentenon epiu vero. Vale solo
l'impli azione\sottodifferenzialedi onvessa,semi ontinuainferiormente,di-
versa dalla funzione ostantemente uguale a+1 e he non assume il valore
1 ) massimalemonotono".
5 Un'appli azione.
In questo paragrafo mostriamo un possibile impiego nelle s ienze appli ate
dei risultatiespostinei paragra pre edenti.
Spesso un sistema si o/ingegneristi o/me ani o, ma an he e onomi o
o biologi o, e des ritto da un erto numero di parametri. Ad esempio lo
stato di una sostanza a due fasi (solida e liquida) puo essere des ritto dalla
temperaturaedallafaseovvero daunparametro heindi ala on entrazione
diunadelleduefasinell'altra. Oppureilsistemaformatodaunasbarradiun
ertomaterialesoggettaadunatrazione(o ompressione)puoesseredes ritto
dalla oppia di parametri sforzo/deformazione. Oppure an ora il sistema
formato daun orpo he s ivola on attrito suun piano puo essere des ritto
dalla forzaappli atae dallavelo itadel orpo. Moltialtriesempisipossono
fare. Spesso la relazione he inter orre tra due parametri des rittivi del
sistema (detta relazione ostitutiva) puo essere rappresentata da un gra o
massimalemonotono su R, la uideterminazione e ditiposperimentale.
a doverstudiare equazionidi erenzialidel seguentetipo
8
<
: x
0
(t)+w 0
(t)=f(t) t2℄0;T℄;
w(t)2 (x(t)) t2[0;T℄;
x(0)=x 0
; w(0)=w 0
;
dovex;w:[0;T℄!R sonolefunzioniin ognite,T >0edato,f :[0;T℄!R
e una funzione ontinua data, e un gra o massimale monotono dato e
x 0
;w 0
2R sonodati. Ilsistemades rivequindil'evoluzionedeidueparametri
x;w( hesonoquelliattiades rivereilsistemame ani o/ si oe ) hesono
vin olati a veri are l'equazione di erenziale, mantenendo pero la relazione
ostituitva rappresentata dalgra omassimale monotono .
In realta l'equazione puo essere ben piu ompli ata. Ad esempio f puo
dipendereasuavoltadaxedaw;oppure ipuoesserean heunadipendenza
spazialeenonsolotemporaleequindisarebberopresentian hedellederivate
(parziali) rispetto ad una variabile spaziale. Ma limitiamo iallo studio del
problema qui sopra.
Innanzitutto va detto he la funzione in ognita w, dovendosi \muovere"
all'interno di un gra o, non sara in generale ontinua e tanto meno deri-
vabile. Quindi o orrerebbe dare un senso alla derivata di w. Ma questo
esula dagli intentidi queste note. Dirigiamo iinve e verso lari er a di una
soluzione (la oppia(x;w)) approssimata.
Fissato opportunamente h > 0 pi olo, dividiamo l'intervallotemporale
[0;T℄ in tanti intervallinidi ampiezza h. Siano t
0
=0 <t
1
<::: <t
N
=T
gli estremi di tali intervallini. All'istante iniziale deve essere x(t
0 ) = x
0
,
w(t
0 )=w
0
, hesonovalorinotiper hedati. Volendoquindi al olareivalori
approssimati di x(t
1
) e w(t
1
) ( he hiameremo x 1
e w 1
) possiamo sostituire
le derivate on i orrispondenti rapporti in rementali, e sostituire il valore
di f nell'intervallo [t
0
;t
1
℄ on il valore ostante f(t
1
). Quindi per trovare i
valorix 1
;w 1
2R dobbiamo risolvere ilproblema (nelle in ognite x 1
, w 1
)
8
<
: x
1
x 0
h +
w 1
w 0
h
=f(t
1 )
w 1
2 (x 1
):
Trovati quindi (se possibile) x 1
, w 1
possiamo trovare i valori x 2
, w 2
he
approssimano quellidi x(t
2 ),w(t
2
)risolvendo(nelle in ognite x 2
, w 2
)
<
: x
2
x 1
h +
w 2
w 1
h
=f(t
2 )
w 2
2 (x 2
):
Al passo n generi o, dovremo risolvere (nelle in ognite x n
,w n
) ilproblema
8
<
: x
n
x n 1
h
+ w
n
w n 1
h
=f(t
n )
w n
2 (x n
):
In questo modo otteniamo tutti i valori x 0
;x 1
;:::;x N
, w 0
;w 1
;:::;w N
e
interpolandoli ( ioe unendoli on segmenti),otteniamo i gra idi due spez-
zate x
h e w
h
he possiamo onsiderare ome soluzioniapprossimanti, dipen-
denti dalla s elta di h. Ovviamente poi si potrebbe voler fare il limite per
h he tende a zero, ed ottenere os due funzioni x e w soluzioni \vere" del
problema. Ma an he questo esula dagli intenti di queste note. Vediamo
pero ome lamassimalemonotonia di i permettedi risolvere il problema
approssimantead ogni passo. Il seguente teorema i di e esattamente io.
Teorema 5.1 Siano x;w;f 2 R e h > 0 ssati. Sia poi un gra o mas-
simale monotono ssato. Allora esiste un uni o valore x 2 R tale he, per
qual he (uni o) w2 (x) si ha
(
x x
h +
w w
h
=f
w2 (x):
Dimostrazione. Il problemae quindi quellodi trovare x2R (uni o) tale
he, per qual he w2 (x) siabbia
x+w x w hf =0;
ovvero, determinarex2R uni o tale he
x+ (x) x w hf 30:
Poi he e massimale monotono, esso e il sottodi erenziale di una funzione
' : R ! R onvessa, semi ontinua inferiormente, diversa dalla funzione
risultatiespostineipre edentiparagra ,siha heilgra osuR osde nito
(x):=x+ (x) x w hf;
e ilsottodi erenziale della funzione os de nita
(x):=
x 2
2
+'(x) (x+w+hf)x:
Il problema diventa quindi quelloditrovare x2R uni otale he 02 (x).
Se quindi proviamo he haun minimoassoluto reale ( ioenon 1) e he
questo minimo e assunto in un uni o punto x 2 R, allora, in virtu di un
orollariopre edente, abbiamo on luso.
Ora, e onvessa per hesomma di onvesse e lineari,e semi ontinuain-
feriormente per he somma di ontinue on una semi ontinua inferiormente.
Inoltre pure leinon assumemai il valore 1 e non e ostantemente uguale
a +1(quindiassume an he valorireali). Notiamo poi he ( on ovvia esten-
sione del signi ato dellimite al aso di funzionia valoriin R)
lim
x!1
(x)=+1:
Questo per he il primo addendo di e quadrati o e quindi tende a +1
vin endo sul segno del terzo addendo he e lineare. Ma domina an he il
segnodi'perx!1,per hean hese'! 1questopuoavvenirealpiu
linearmente(ilgra odi'stasopradiunarettaessendolafunzione onvessa
esottodi erenziabileinalmenoun puntoper heil suosottodi erenialee ).
Siaquindi x 0
2 R tale he (x 0
)= r 2R. Allora prendiamo K > 0 tale
he
x62[ K;K℄ ) (x)>r;
e notiamo he deve essere x 0
2 [ K;K℄. A questo punto il minimo di
su [ K;K℄ ( he esiste per he e semi ontinua inferiormente) e un numero
reale (per he > 1)eminoreougualear= (x 0
). Taleminimoequindi
ne essariamente an he il minimo su tutto R. Si on lude in ne osservando
he il minimo e raggiunto in un solo punto in quanto , nei punti in ui
assumevalorireali,estettamente onvessa per heloeilsuo primoaddendo.
u t
il fatto he, nel piano (x;w), la retta di equazione w = x+x+w+hf
interse ain un sol punto il gra o massimalemonotono . A questo livello,
ioeindimensione1(ovvero ladimensionedeivalorixewda er are),tutto
iopotevaforseessere provatoan he peraltra via. Ad ognimodo, ilmetodo
quiusato metteinrisaltola aratterizzazionedelpuntodiintersezione ome
l'uni o punto di minimo di , la qual osa e interessante an he per even-
tuali algoritmi numeri i. Inoltre esso mette in evidenza la sua eÆ a ia he
puo essere fa ilmenteadattata an he a situazioniben piu omplesse, ioein
dimensione maggioredi 1,ovvero indimensione in nita.
