15 Serie di funzioni

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Serie di funzioni

15.1 Successioni e serie di funzioni

Sia {fn(x)} una successione di funzioni, tutte definite in un certo insieme E dello spazio Rⁿ; si dice che essa `e convergente nell’insieme E se, comunque si fissi un punto x₀ ∈ E, la successione di numeri {fn(x₀)} risulta convergente. Si pu`o allora dire che risulta definita in E una funzione f (x), con

f (x) = lim

n→∞f_n(x) (15.1)

Ne segue che, fissato il punto x ∈ E, ad ogni numero positivo ε è possibile far corrispon- dere un indice ν tale che per n > ν risulti |fn(x) − f(x)| < ε. Tale indice ν dipende dal numero ε fissato, ma in generale dipende anche dal punto x. Si può ritenere che, mantenendo fisso il numero ε, il predetto indice ν vari al variare del punto x in E, descrivendo un certo insieme I di numeri naturali. Se questo insieme risultasse limitato superiormente esisterebbe un indice ν₀ maggiore di tutti i possibili indice ν ed allora per n > ν₀ la |fn(x) − f(x)| < ε sussisterebbe per ogni punto p ∈ E. Ciò non accade in generale; il suo eventuale verifi- carsi rappresenta quindi una particolare proprietà della successione {fn(x)}, che si esprime dicendo che la successione converge uniformemente nell’insieme E.

Si pu`o dunque dare la seguente definizione. La successione di funzioni {fn(x)}, convergente in E alla funzione f(x), si dice uniformemente convergente nell’insieme E se, comunque si fissi ε > 0, esiste un indice ν, dipendente da ε ma non dal punto x, tale che per n > ν risulti

|fn(x) − f(x)| < ε (15.2)

qualunque sia il punto x ∈ E.

Per le successioni uniformemente convergenti vale un risultato analogo al criterio di convergenza di Cauchy (5.4.I). Si ha in questo caso il seguente risultato:

15.1.I Condizione necessaria e sufficiente affinch´e la successione di funzioni {fn(x)} sia uniformemente convergente nell’insieme E `e che, comunque si fissi ε > 0, esista indice ν dipendente da ε ma non dal punto x, tale che, presi ad arbitrio due indici m, n entrambi maggiori di ν, risulti

|fm(x) − fn(x)| < ε (15.3)

qualunque sia il punto x∈ E.

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Capitolo 15. Serie di funzioni

Come accade tra le successioni e le serie numeriche, cos`ı le serie di funzioni ereditano i risultati della teoria delle successioni di funzioni. Considerata una serie di funzioni

X∞ k=1

ϕ_k(x),

definite in un insieme E, le sue propriet`a possono essere studiate mediante la successione delle sue somme parziali

f_n(x) = Xn k=1

ϕ_k(x), (n = 1, 2, 3, . . .). (15.4)

Pertanto la serie si dirà uniformemente convergente nell’insieme E se è tale la successione {fn(x)} delle sue somme parziali. In tal caso, indicato con f(x) il limite di questa successione (cioè la somma della serie) si può affermare che, dato ε > 0, esiste un indice ν (dipendente da ε e non da x) tale che, per n > ν e qualunque sia p ∈ E, risulta |f(x) − fn(x)| < ε. Ma la differenza f(x) − fn(x) coincide evidentemente col resto

R_n(x) = X^∞

k=n+p

ϕ_k(x)

della serie data e perci`o si pu`o anche dire che la serie X∞

k=1

ϕ_k(x)

`e uniformemente convergente in E se, dato ε > 0, esiste un indice ν (dipendente da ε e non da x) tale che, per n > ν e qualunque sia p ∈ E, risulti

|Rn(x)| =

X∞ k=n+p

ϕ_k(x) < ε.

Il risultato (15.1.I) si pu`o adattare alle serie; basta supporre che sia m > n, porre m = n + p ed osservare che

f_m(x) − fn(x) = f_n+p(x) − fn(x) = Xn+p k=1

ϕ_k(x) − Xn k=1

ϕ_k(x) = Xn+p k=n+1

ϕ_k(x),

per ottenere:

15.1.II Condizione necessaria e sufficiente affinch´e la serie di funzioni X∞

k=1

ϕ_k(x)

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sia uniformemente convergente nell’insiemeE `e che, comunque si fissi ε > 0, esista un indice ν, dipendente da ε ma non dal punto x, tale che, per n > ν e p intero positivo arbitrario,

risulta

Xn+p k=n+1

ϕ_k(x) < ε, qualunque sia il punto x∈ E.

I seguenti risultati sono adattati direttamente da analoghi riguardanti le successioni di funzioni.

15.1.III (Teorema del limite) Se la serie di funzioni X∞

k=1

ϕ_k(x)

`e uniformemente convergente nell’insiemeE e se, essendo x₀ un punto di accumulazione di E, per ogni indice k esiste finito il

xlim→x0ϕ_k(x), allora sussiste la

xlim→x0

X∞ k=1

ϕ_k(x) =X^∞

k=1

xlim→x0ϕ_k(x).

15.1.IV Se la serie di funzioni

X∞ k=1

ϕ_k(x)

`e uniformemente convergente nell’insieme illimitatoE e se, per ogni indice k, esiste finito il

xlim→∞ϕ_k(x), allora si ha

xlim→∞

X∞ k=1

ϕ_k(x) =X^∞

k=1

xlim→∞ϕ_k(x).

15.1.V (Teorema della continuit`a) Se la serie di funzioni X∞

k=1

ϕ_k(x)

è uniformemente convergente nell’insieme E ed ogni suo termine è una funzione continua in E, allora anche la somma f (x) della serie è una funzione continua in E.

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15.1.VI (Teorema di derivazione per serie) Se la serie di funzioni X∞

k=1

ϕ_k(x)

`

e convergente nell’intervallo A dell’asse x, se ogni funzione ϕ_k(x) `e derivabile in A e se la serie delle derivate

X∞ k=1

ϕ⁰

k(x)

`

e uniformemente convergente in A, allora in ogni punto x∈ A sussiste la d

dx X∞ k=1

ϕ_k(x) = X^∞

k=1

d

dx[ϕ_k(x)], (15.5)

cio`e la derivata della serie `e uguale alla serie delle derivate.

15.1.VII (Teorema di integrazione per serie (I)) Se la serie X∞

k=1

ϕ_k(x),

di funzioni continue in un dominio limitato e misurabileT , `e uniformemente convergente in T , allora vale la

Z

T



X^∞

k=1

ϕ_k(x)



 dT =X^∞

k=1

Z

T

ϕ_k(x) dT, (15.6)

cio`e l’integrale della serie `e uguale alla serie degli integrali.

15.1.VIII (Teorema di integrazione per serie (II)) Sia X∞

k=1

ϕ_k(x),

una serie di funzioni generalmente continue e sommabili nel dominioA misurabile, limitato o illimitato, e siano verificate le seguenti ipotesi

a) esiste in A un insieme N , chiuso e di misura nulla, tale che tutte le funzioni ϕ_k(x) siano cintinue in A− N;

b) esiste una funzione non negativa F (x), generalmente continua e sommabile in A, continua in A− N, tale che per ogni punto x ∈ A − N e per ogni intero n, risulti

X∞ k=1

ϕ_k(x)

6 F (x);

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c) la serie data `e uniformemente convergente in ogni dominioT della famiglia Φ costituita dai domini limitati e misurabili contenuti in A− N.

Allora la somma della seire data (che riesce ovviamente definita in ogni punto x∈ A−N) risulta generalmente continua e sommabile inA ed `e valida la (15.6) (scritta con A in luogo di T ).

15.2 La serie di Taylor

Se, nell’intervallo A dell’asse x, la funzione (reale) f(x) ammette le prime n + 1 derivate continue, allora, fissato in A un punto x₀, sussiste la formula di Taylor

f (x) = Xn k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k+ R_n(x), (15.7) ove per il resto R_n(x) si possono adottare varie forme, fra cui particolarmente importanti sono le

R_n(x) = (x − x₀)ⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n + 1)! (resto di Lagrange), (15.8)

R_n(x) = (x − x₀)(x − ξ)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

n! (resto di Cauchy), (15.9)

essendo ξ (in generale diverso da una formula all’altra) un opportuno punto interno all’intervallo che ha per estremi i punti x₀, x.

Si supponga ora che sia f(x) ∈ C^∞(A). In tal caso la (15.7) pu`o essere scritta con n arbitrariamente grande e si pu`o considerare la serie

X∞ k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k, (15.10)

che si chiama la serie di Taylor relativa alla funzione f(x) ed al punto iniziale x₀ (serie di Mac Laurin se x₀ = 0).

Ci si pu`o domandare se la serie (15.10) converga e, in questa eventualit`a, se abbia per somma f(x). Sussiste al riguardo il seguente risultato:

15.2.I Condizione necessaria e sufficiente affinch´e la serie di Taylor (15.10) relativa alla funzione f (x) converga, nell’intervallo A, verso la f (x) stessa `e che in ogni punto x ∈ A risulti

nlim→∞R_n(x) = 0, (15.11)

ove R_n(x) `e il resto della formula di Taylor, di ordine n, della funzione f(x).

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15.3 La serie di Fourier

Consideriamo una funzione y = f(x), periodica¹ di periodo L = 2π, derivabile con derivata continua. Si vuole approssimare la f(x) in tutti i punti del periodo [−π, π).

Nelle ipotesi menzionate si considerano, per ogni intero positivo k, i numeri reali:

a₀ = 1 2π

Z π

−π

f (x) dx, a_k = 1 π

Z π

−π

f (x) cos(kx) dx, (15.12) che si chiamano coefficienti di Fourier rispetto al coseno, ed i numeri:

b_k = 1 π

Z _π

−π

f (x) sin(kx) dx, (15.13)

che si chiamano coefficienti di Fourier rispetto al seno. Si pu`o allora costruire la serie:

a₀+X^∞

k=1

a_kcos(kx) + b_ksin(kx), (15.14)

che `e la forma trigonometrica della serie di Fourier per la funzione f(x), oppure lo sviluppo in serie di Fourier di f(x).

Osserviamo che a₀ è il valor medio della funzione f sul periodo. Inoltre, se f è una funzione pari — sussiste, cioè, la: f(−x) = f(x) — tutti i coefficienti b_k determinati dalle (15.13) sono nulli². Se, invece, f è una funzione dispari — vale la: f(−x) = −f(x) — si prova, in modo analogo, che tutti i coefficienti a_k determinati dalle (15.12) sono nulli.

Come conseguenza delle ipotesi poste su f(x), i numeri (15.12) e (15.13), considerati come funzioni di k, risultano infinitesimi per |k| → ∞. Inoltre, se la funzione f `e infinitamente derivabile, si deduce che i suoi coefficienti {a_k} e {b_k} costituiscono successioni convergenti a 0 esponenzialmente (pi`u rapidamente di una qualunque potenza di 1/k) per |k| → ∞.

Il fatto che i coefficienti (15.12) e (15.13) siano infinitesimi per |k| → ∞ (proprietà che vale anche se f(x) è discontinua, purché limitata), implica che esiste un’ampia classe di funzioni

1Esiste un numero L > 0, detto periodo, tale che per ogni intero relativo k ed ogni x risulta:

f (x + kL) = f (x).

2Posto ˜x = −x, si ha:

Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = Z 0

−π

f (x) sin(kx) dx + Z π

0

f (x) sin(kx) dx

= Z π

0

f (−˜x) sin(−k ˜x) dx + Z π

0

f (x) sin(kx) dx.

La somma nell’ultima riga `e nulla, esendo f (−˜x) = f (˜x) e sin(−k ˜x) = − sin(k ˜x).

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per le quali ha senso considerare lo sviluppo in serie di Fourier. Diventa allora naturale porre il problema di valutare sotto quali ipotesi la serie che ne deriva sia convergente. Il risultato pu`o essere espresso come segue.

1. Se esiste finito l’integrale di |f| sul periodo e f ha, al pi`u, (un numero finito di) punti x_h, (h = 1, 2, . . . , m) di discontinuit`a a salto, in corrispondenza dei quali esistono i valori limite da destra e da sinistra di f [f(x⁺

h), f(x⁻

h)] e di f⁰ [f⁰(x⁺

h), f⁰(x⁻

h)], allora la serie di Fourier converge nei punti x_h al valor medio:

a₀ +X^∞

k=1

a_kcos(kx_h) + b_ksin(kx_h) = f (x⁺

h) + f(x⁻

h)

2 , h = 1, 2, . . . , m (15.15)

2. Se f `e una funzione continua, si dimostra che la serie di Fourier (15.14) `e uniformemente convegente a f.

Una qualunque funzione, definita nell’intervallo [−π, π), può pensarsi estesa all’intero asse reale replicandola periodicamente, con periodo 2π. Se la funzione non è genuinamente periodica i suoi valori in −π e π saranno differenti. Ne consegue che il risultato espresso dalla (15.15) può essere considerato valido per una qualunque funzione che verifichi le ipotesi poste, non necessariamente periodica. La serie di Fourier, in tal caso, agli estremi dell’intervallo non converge al valore della funzione, ma alla media dei valori negli estremi, in accordo con la (15.15).

Se il periodo della funzione y = f(x) `e L (in generale, diverso da 2π), considerato l’intervallo [−L/2, L/2), si introduce la nuova variabile ξ = πx/(L/2), che descrive l’intervallo [−π, π) quando x descrive [−L/2, L/2).

Rispetto a ξ i coefficienti di Fourier di f si scrivono nella forma a₀ = 1

2π Z _π

−π

f (ξ) dξ, a_k = 1 π

Z _π

−π

f (ξ) cos(kξ) dξ, b_k = 1 π

Z _π

−π

f (ξ) sin(kξ) dξ. (15.16) Con il cambio di variabile x = [L/(2π)]ξ negli integrali (15.16) si ottiene la nuova espressione dei coefficienti di Fourier:

a₀ = 1 L

Z L/2

−L/2

f (x) dx, a_k = 2 L

Z L/2

−L/2

f (x) cos2π L

kx

dx,

(15.17) b_k = 2

L Z L/2

−L/2

f (x) sin2π L

kx

dx.

`E importante notare che lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione y = f(x), cos- tituisce una rappresentazione della f del tutto analoga a quella che si adotta quando si

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scrive un vettore mediante una particolare base dello spazio cui il vettore appartiene. Data, infatti, in uno spazio vettoriale n-dimensionale una base di vettori mutuamente ortogonali {e_k, k = 1, 2, . . . , n}, un generico vettore v si pu`o scrivere come:

v= Xn k=1

v_ke_k,

in cui la componente v_k del vettore v secondo il vettore di base e_k `e data da:

v_k = (v, e_k) (e_k, e_k)

avendo indicato con (·, ·) l’ordinario prodotto scalare euclideo.

Per la serie di Fourier il sistema di funzioni base `e il seguente:

{ϕ₀(x) ≡ 1, ϕ_k= cos(kx), ψ_k = sin(kx), k = 1, 2, . . .} (15.18) ed il prodotto scalare tra due funzioni g e h `e definito da:

(g, h) =Z π

−π

g(x) h(x) dx. (15.19)

Con la definizione di prodotto scalare (15.19), due qualunque funzioni di base (15.18) risultano ortogonali. Infatti, utilizzando le formule di prostaferesi, si verifica facilmente che

(ϕ_p, ϕ_q) = (ψ_p, ψ_q) = 0 per p 6= q,

(ϕ_p, ϕ_p) = (ψ_p, ψ_p) = π per p > 1, (ϕ₀, ϕ₀) = 2π.

Il fatto che le funzioni base (15.18) siano ortogonali permette di calcolare la componente della funzione f rispetto alla base prescelta valutando il prodotto scalare (15.19) tra quest’ultima e la f. Ricordando le (15.12) e (15.13), si ottiene allora:

(f, ϕ₀) =Z _π

−π

f (x) ϕ₀(x) dx =Z _π

−π

f (x) dx = 2πa₀ = (ϕ₀, ϕ₀) a₀, (15.20)

(f, ϕ_k) =Z π

−π

f (x) ϕ_k(x) dx =Z π

−π

f (x) cos(kx) dx = πa_k = (ϕ_k, ϕ_k) a_k, (15.21) (f, ψ_k) =Z π

−π

f (x) ψ_k(x) dx =Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = πb_k = (ψ_k, ψ_k) b_k. (15.22)

In perfetta analogia con quanto ricordato sopra per i vettori, si pu`o riscrivere la funzione f nella base trigonometrica come:

f (x) = (f, ϕ₀)

(ϕ₀, ϕ₀)ϕ₀(x) +X^∞

k=1

"

(f, ϕ_k)

(ϕ_k, ϕ_k)ϕ_k(x) + (f, ψ_k)

(ψ_k, ψ_k)ψ_k(x)

#

, (15.23)

che, come si verifica immediatamente guardando le (15.20), (15.21) e (15.22), coincide con lo sviluppo in serie di Fourier (15.14) della f.