Esercizio 2 Data la successione di funzioni f n (x) = 3+nn

Corso di ANALISI I (2008/09) - Foglio 5 del 3/04/09.

Esercizi sulle successioni di funzioni

Esercizio 1 Studiare la convergenza puntuale e uniforme in [0, 1] della successione di funzioni f _n (x) = n ² x

1 + n ³ x .

Esercizio 2 Data la successione di funzioni f _n (x) = _3+n ⁿ

^x

x

(i) calcolare f (x) = lim _n→+∞ f _n (x) per ogni x ≥ 0;

(ii) dire se la convergenza ` e uniforme in [0, +∞).

Esercizio 3 Studiare la convergenza puntuale in R della successione di funzioni

f _n (x) =







0 x < −1/n nx + 1 |x| ≤ 1/n 2 x > 1/n

.

Dire in quali sottoinsiemi di R tale convergenza `e anche uniforme.

Detta infine f (x) la funzione limite, verificare se

n→∞ lim Z ₁

−1

f _n (x) dx = Z ₁

−1

f (x) dx .

Esercizio 4 Usare la teoria svolta per calcolare lim _n→∞ R +3

−3 f _n (x) dx dove f n (x) :=

r

x ² + 1 n ²

Esercizio 5 Data la successione di funzioni

f n (x) = x ⁿ e ^nx

(i) calcolare il limite puntuale f (x) = lim _n→+∞ f _n (x) per ogni x ∈ [0, +∞[ . (ii) dire se la convergenza ` e uniforme in [0, +∞[ .

1

Esercizio 6 Si consideri nell’insieme [0, 1] la successione f n (x) =

 nx 0 ≤ x < 1/n 1 1/n ≤ x ≤ 1 . Sudiarne la convergenza, puntuale e uniforme, e verificare che

n→∞ lim ( lim

x→0

f n (x)) 6= lim

x→0

( lim

n→∞ f n (x)) .

Esercizio 7 Si consideri nell’insieme [0, +∞[ la successione f n (x) = n sin x

n ;

se ne studi la convergenza, in particolare dove converge uniformemente.

Esercizio 8 Dimostrare che se f _n ` e una successione di funzioni limitate che converge uniforme- mente nell’intervallo (a, b) alla funzione f , allora f ` e limitata.

Esercizio 9 Nelle ipotesi dell’esercizio precedente dimostrare che allora esiste M tale che |f _n (x)| ≤ M per ogni n e per ogni x ∈ (a, b).

Esercizio 10 Dimostrare che se f _n e g _n convergono rispettivamente ad f e g, uniformemente sullo stesso intervallo, allora f n + g n converge uniformemente a f + g.

Esercizio 11 Dimostrare che se f n e g n sono due successioni di funzioni limitate che, sullo stesso intervallo, convergono uniformemente, rispettivamente ad f e a g, allora la successione dei prodotti punto per punto f _n g _n converge uniformemente al prodotto f g.

Esercizio 12 Trovare due successioni f _n e g _n definite nell’intervallo (0, 1), uniformemente conver- genti, rispettivamente ad f e g, tali che la successione dei prodotti f _n g _n , pur convergendo puntual- mente al prodotto f g, non converge uniformemente. Osservare che, in virt` u del precedente esercizio almeno una delle successioni deve consistere di funzioni non limitate.

2

Qualche esercizio di ripasso

Esercizio 13 Sia a n = sin(nπ/4). Trovare l’estremo superiore, l’estremo inferiore, i punti di accumulazione e il massimo e minimo limite di a _n .

Esercizio 14 Sia b _n = sin(nπ/4) + n/(n + 1). Trovare l’estremo superiore, l’estremo inferiore, il massimo e minimo limite ed i punti di accumulazione di b _n .

Esercizio 15 Dimostrare o confutare: Se f ` e una funzione continua definita sulla semiretta [0, +∞) e lim x→+∞ (f (x) − log x) = 0, allora f ` e uniformemente continua.

Esercizio 16 Dimostrare l’uniforme continuit` a in R della funzione f (x) = x sin(arctan x)).

Esercizio 17 Calcolare i seguenti integrali definiti Z π/2

0

sin x

1 + cos ² x dx ,

Z 0

−1

e ¹⁺

√ x dx .

Esercizio 18 Calcolare i seguenti integrali indefiniti Z 2x + 1

x ³ + x dx ,

Z x + 4

x ³ − 4x ² + 4x dx .

Esercizio 19 i) Dimostrare, usando un criterio di convergenza, che il seguente integrale improprio

`

e convergente

Z ∞ 0

t ² e ^−t dt ; ii) calcolarne il valore.

Esercizio 20 Dimostrare (senza calcolarne il valore) che ` e convergente l’ integrale improprio Z 1

0

x

(1 − x ² ) ^3/4 dx .

Esercizio 21 Studiare la convergenza degli integrali impropri Z 1

0

1

x arctan 1 x dx ,

Z +∞

1

1

x arctan 1 x dx .

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