Sfera che rotola su calotta con profilo circolare
Figure 1:
Una sfera omogenea di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un profilo di sezione semicircolare di raggio R.
Determinare per quale valore θM la sfera si stacca dal profilo.
Soluzione
Scriviamo la prima equazione cardinale:
m~g + ~Fs+ ~N = m~a (1)
essendo ~Fs l’attrito statico fra sfera e profilo e ~N la reazione normale del vincolo.
Conviene scrivere questa equazione in coordinate polari; prendiamo ˆeθ
positivo verso destra e ˆez entrante.
−mg cos θ + N = −m ˙θ2(R + r)
mg sin θ − Fs = mtheta(R + r)¨ (2) Questo sistema ha due equazioni e tre incognite: N, Fs, θ(t). per cui `e nec- essaria una terza equazione. La terza equazione necessaria si ottiene proiet- tando la seconda equazione cardinale lungo l’asse z (le altre due proiezioni sono nulle). Prendiamo come polo il punto di contatto fra profilo e sfera che chiamiamo P .
rmg sin θ = IPω˙ (3)
1
essendo ω la velocit`a angolare di rotazione della sfera intorno all’asse istan- taneo di rotazione passante per P e diretto lungo z.
Attenzione ad evitare gli automatismi: ω non `e uguale a ˙θ(t)! La re- lazione fra le due funzioni si pu`o trovare come segue:
ω = vC
r = (R + r) ˙θ
r (4)
Alternativamente, si puøtrovare ω in maniera geometrica facendo riferimento alla figura 2 e notando che:
ω = d
dt(φ + ∆θ) = d dt(R∆θ
r + ∆θ) = (R + r) ˙θ
r (5)
Figure 2:
Sostituendo ω nella eq.3:
θ =¨ mr2g
Ip(R + r)sin θ (6)
La soluzione di questa equazione, non integrabile in termini di funzioni ele- mentari, fornisce θ(t).
Moltiplicando ambo i membri della 6 per 2 ˙θ e integrando nel tempo:
θ˙2 = 2mr2g
Ip(R + r)(1 − cos θ) (7)
2
Sostituendo nella prima equazione del sistema 2 si ricava la reazione vincolare normale:
N = mg cos θ − m(R + r) 2mr2g
Ip(R + r)(1 − cos θ) = mg(cos θ +2mr2
Ip (cos θ − 1) (8) Finalmente possiamo imporre la condizione di distacco: N = 0. Esplici- tiamo il momento di inerzia Ip = mr2+ 2/5mr2 = 7/5mr2 per ricavare il valore cercato:
0 = cos θM +10
7 (cos θM− 1) → cos θM = 10
17 (9)
3
