IL SOLLEVAMENTO DEL METALLO LIQUIDO

IL SOLLEVAMENTO DEL METALLO LIQUIDO

Teoria delle miscele bifase

Generalità

Una fase è una regione del sistema caratterizzata da un valore uniforme delle proprietà intensive e specifiche; molto spesso coincide semplicemente con uno degli stati di aggregazione della materia e può essere un gas, un liquido o un solido. Si parla di flussi bifase quando due fasi (della stessa sostanza o di sostanze diverse) scorrono simultaneamente.

I flussi bifase obbediscono a tutte le leggi basilari della meccanica dei fluidi. Le equazioni sono semplicemente più complicate o più numerose di quelle dei flussi monofase.

Modelli analitici

Semplicissimi modelli analitici che non tengono conto dei dettagli del flusso possono essere abbastanza validi, sia per organizzare risultati sperimentali che per fare previsioni dei parametri di progetto. Si riporta di seguito una breve descrizione dei principali modelli teorici sviluppati per lo studio dei flussi bifase, che verranno analizzati più in dettaglio successivamente. In ciascun modello si fa riferimento al caso monodimensionale, trascurando le distribuzioni delle varie grandezze lungo la sezione trasversale del condotto e prendendo in considerazione solo il loro valor medio. Inoltre, tutte le equazioni sono scritte ipotizzando che il flusso sia a regime.

Il modello più semplice è quello omogeneo, in cui le componenti sono trattate come pseudo fluidi con proprietà intermedie, senza cercare una descrizione dettagliata della configurazione del flusso. Nel modello a flusso separato si assume che le fasi scorrano l’una accanto all’altra. Vengono scritte equazioni separate per ogni fase e sono considerate anche le interazioni tra le fasi.

Nel modello a flusso di scorrimento l’attenzione è rivolta prevalentemente al moto relativo tra una fase e l’altra.

Il modello di flusso a bolle è un’elaborazione più approfondita del caso generale di flusso di scorrimento.

Ciascuna teoria elementare può essere corretta opportunamente, aggiungendo le opportune ipotesi suggerite dal caso specifico in esame; talvolta, quando si cercano stime abbastanza grossolane che non richiedano calcoli troppo laboriosi, si possono sfruttare meccanismi di correlazione, applicando opportuni coefficienti correttivi empirici alle teorie elementari.

Configurazioni di flusso

Esistono diverse configurazioni dei flussi bifase; esse sono spesso facilmente determinabili da osservazioni visive o fotografiche, ma non sempre sono sufficienti a definire completamente il regime a causa di criteri distintivi addizionali, quali la differenza tra moto laminare e turbolento o l’importanza relativa di varie forze. Per gestire facilmente la terminologia, le numerose espressioni figurative che sono state usate in letteratura per descrivere configurazioni di flusso verranno omesse. E’ abbastanza semplice restringere la classificazione alla configurazione morfologica (per esempio, a bolle, a tappi, ad anelli e a gocce, in sistemi gas-liquido) e creare ulteriori suddivisioni in differenti regimi. Configurazioni di flusso ibride, che di solito rappresentano una regione di transizione da una configurazione ad un’altra, sono indicate da espressioni miste.

Per esemplificare la complessità di un flusso bifase, la figura 55 mostra la sequenza di configurazioni di flusso che si verifica in un evaporatore a mano a mano che il liquido evapora. Ovviamente le diverse parti dell’evaporatore richiedono diversi metodi di analisi, e deve anche essere considerato il problema di come il flusso evolva da una configurazione ad un’altra.

Definizioni

Le due componenti sono individuate, generalmente, dai pedici 1 e 2, o dai pedici f e g nei sistemi liquido-gas.

La portata in massa del flusso è rappresentata dal simbolo W.

Il flusso totale è dato dalla somma dei flussi di ciascuna componente. Pertanto:

2

1 W

W W = +

La portata volumetrica del flusso è rappresentata dal simbolo Q. E’ ovvio che:

2 1 Q Q Q= + , 1 1 1 ρ W Q = , 2 2 2 ρ W Q =

Nei flussi gas-liquido, _{α rappresenta solitamente il grado di vuoto calcolato su una sezione del} condotto, definito come area occupata dalla fase 2 rispetto al totale:

2 1 2 A A A α = +

Spesso, in particolare nel caso di evaporazione e condensazione, conviene avere una misura della composizione riferita alla portata in massa. Si definisce, quindi, il titolo come

W W x₌ 2

Il simbolo j viene usato per rappresentare il flusso volumetrico o portata volumetrica per unità di superficie. Il flusso è in realtà una quantità vettoriale ma per il livello di sofisticazione per ora adottato, j verrà usato esclusivamente per rappresentare la componente scalare nella direzione del moto lungo un tubo o un condotto. Il flusso è collegato alla velocità e alla concentrazione locale del componente come segue:

(

)

1

1 1 v

j = −α ⋅ , j₂ =α⋅v₂ Il flusso locale totale è

2

1 j

j j= + I seguenti risultati sono evidenti:

∫

= j dA

Q_{1 1} , Q₂ =

∫

j₂dA Il flusso volumetrico medio attraverso la superficie A risulta

2 2 Q j A = Il flusso di massa è rappresentato dal simbolo G.

Chiaramente, per un piccolo elemento di volume in cui la densità di ciascun componente può essere considerata uniforme si ha:

1 1

1 j

G =ρ ⋅ , G₂ =ρ₂ ⋅ j₂, G =G₁+G₂ Il flusso medio di massa del componente 2 attraverso una superficie A è

2 2 W G A =

Sebbene la descrizione più generale di un flusso bi-componente richiederebbe la considerazione delle variazioni tridimensionali e temporali di tutte le quantità di cui sopra, ci accontenteremo, solitamente, di assumere monodimensionale il flusso e lavoreremo interamente in termini di medie sul condotto. In determinate circostanze, tuttavia, quando si verificano forti variazioni lungo il condotto, questa teoria si rivelerà inadeguata e saranno necessarie analisi più dettagliate.

Di seguito sono riassunte alcune relazioni utili per lo studio di flussi monodimensionali.

A Q j 1 1 = , A Q j 2 2 = , A Q Q j ₌ 1 + 2 α − = 1 1 1 j v , α 2 2 j v = A W G 1 1 = , A W G 2 2 = 1 1 1 = Q ⋅ρ W , W₂ = Q₂⋅_ρ2 αα − ⋅ = = 1 2 1 2 1 2 1 v v Q Q j j x x W W G G _{= =}1− 2 1 2 1

Dalle ultime quattro equazioni si ricava:

αα ρ ρ _⋅ − ⋅ = − 1 1 2 1 2 1 v v x x La velocità relativa è definita come:

(

2 1

)

12

21 v v v

v = − =−

Le velocità di scorrimento sono definite come la differenza fra la velocità del componente e la media, secondo quanto segue:

j v

v1_j = 1 − , v2j =v2 − j

Il flusso di scorrimento rappresenta il flusso volumetrico di un componente rispetto ad una superficie che si muove alla velocità media, per esempio:

(

v j

)

Con delle opportune sostituzioni si ottiene:

(

1 2

)

2

(

)

1 2 21 j j j j 1 j j = −α⋅ + = ⋅ −α −α⋅ , j₁₂ = j₁⋅α −

(

1−α

)

⋅ j₂ Pertanto: 12 21 j j =−

La simmetria è una proprietà utile ed importante del flusso di scorrimento. Continuando a sostituire si ottiene anche:

(

) (

1 2

)

(

)

12

12 1 v v 1 v

j =α⋅ −α ⋅ − =α⋅ −α ⋅

Si osserva che il flusso di scorrimento è proporzionale alla velocità relativa.

Qualsiasi sistema di unità di misura può essere usato per le equazioni precedenti, purché siano rispettati i vincoli di coerenza e compatibilità.

Dato che il simbolo x è stato già scelto per rappresentare il titolo, si eviterà di usarlo per descrivere un sistema di coordinate. Di solito z sarà la coordinata misurata nella direzione del flusso e y quella misurata da un confine, come una parete del condotto. La distanza radiale dall’asse di un tubo verrà indicata con r.

Flusso omogeneo

Generalità

La teoria dei flussi omogenei costituisce la tecnica più semplice per analizzare i flussi bifase (o multifase). Vengono determinate adeguate proprietà medie e la miscela è trattata come uno pseudofluido che obbedisce alle consuete equazioni dei flussi mono-componente. Possono essere applicati tutti i metodi standard della meccanica dei fluidi.

Le proprietà medie richieste sono velocità, grandezze termodinamiche (es. temperatura e densità), grandezze caratteristiche del trasporto (es. viscosità). Queste pseudo proprietà sono medie pesate e non coincidono necessariamente con quelle di una delle fasi. Il metodo per determinare accettabili proprietà è spesso quello di partire con equazioni più complesse e rielaborarle poi finché non sembrano equivalenti a quelle di un flusso monofase.

In alcuni casi l’uso della teoria omogenea è ovviamente inappropriato. Per esempio, flussi controcorrente verticali, che sono guidati dall’azione della gravità sulle differenze densità delle fasi, non possono essere descritti da un’adeguata velocità “media”.

Equazioni di base

Le equazioni di base sono

Continuità: W =ρ_m⋅v⋅A=const

Quantità di moto: ⋅ =− ⋅ −P⋅_τ −A⋅_ρ ⋅g⋅cos_ϑ dz dp A dz dv W _{w m} Energia: _      ⋅ + + ⋅ = − g e _h v _{g z} dz d W dz dw dz dq 2 2

Nelle equazioni precedenti A e P rappresentano l’area e il perimetro della sezione trasversale del condotto, τw è lo sforzo di taglio medio sulla parete, dqe/dz è il flusso termico per unità di lunghezza

del condotto, zg è la coordinata verticale, e θ è l’inclinazione del condotto rispetto alla verticale. In

molti casi nell’equazione dell’energia si assumono nulli i termini che rappresentano lo scambio di lavoro meccanico. Spesso è possibile usare l’equazione della quantità di moto e quella dell’energia in forma integrale, quando si è interessati solo alle variazioni tra punti particolari del condotto. L’equazione della quantità di moto viene spesso riscritta in forma esplicita rispetto al gradiente di pressione: ϑ ρ τ − ⋅ − ⋅ ⋅cos ⋅ − = g dz dv A W A P dz dp m w

I tre termini al secondo membro possono essere visti come componenti del gradiente di pressione, rispettivamente di attrito, di accelerazione e di gravità. Dato che gli ingegneri (essendo pessimisti) sono maggiormente interessati alle cadute di pressione, si adottano di solito le seguenti definizioni :

w ATTR A P dz dp τ ⋅ =       − , dz dv A W dz dp ACC ⋅ =       − ,  =_ρ ⋅ ⋅cos_ϑ      − g dz dp m GRAV

Il gradiente di pressione totale è dato dalla somma delle tre componenti sopra definite:

GRAV ACC ATTR dz dp dz dp dz dp dz dp       +       +       =

Oltre alle equazioni di cui sopra anche le equazioni di stato dei componenti danno informazioni utili. Per una miscela acqua-vapore, ad esempio, si possono usare le tabelle dei vapori saturi o il diagramma di Mollier. Per una miscela formata da un gas ed un solido si può derivare un’equazione di stato equivalente assumendo che le componenti siano sempre in equilibrio o facendo altre supposizioni adeguate.

La densità media può essere espressa in funzione del grado di vuoto o del titolo:

(

)

1 2 1 α ρ ρ α ρm = ⋅ + − ⋅ , 1 2 1 1 ρ ρ ρ x x m − + =

La massa per unità di volume di ciascun componente può essere espressa in funzione di α o di x, formando le seguenti equazioni:

2 ρ α ρ = ⋅ ⋅ m x ,

(

1−x

)

⋅_ρm =

(

1−_α

)

⋅_ρ1

Per flussi omogenei a regime con equilibrio nelle velocità il grado di vuoto e il titolo sono

j j Q Q Q ₂ 2 1 2 ₌ + = α , G G W W W x 2 2 1 2 ₌ + = Perdite di carico

Come nel caso monofase, si possono distinguere perdite di carico distribuite lungo il condotto e perdite di carico concentrate in corrispondenza di elementi di discontinuità (valvole, deviazioni, variazioni di sezione trasversale, ecc…).

Per quantificare le perdite distribuite si deve definire un opportuno coefficiente di attrito (noto anche come coefficiente di fanning), che in sistemi monofase in regime turbolento dipende dal numero di Reynolds e dalla rugosità del tubo.

Le perdite di pressione su un tratto di tubo di lunghezza L possono essere espresse come:

2 1 2 4 1 2 f H C p p p w L L D ρ ⋅ − ∆ = = ⋅ ⋅ ⋅

dove DH è il diametro idraulico, proporzionale al rapporto tra l’area e il perimetro bagnato

(

D_H 4⋅A p

)

. Essendo anche

w p A p L _τ ∆ ⋅ = ⋅ ⋅

sostituendo e rielaborando si ottiene l’espressione del coefficiente di attrito:

2 8 _w f C w τ ρ ⋅ = ⋅

Eccetto che in casi estremi, il valore reale non differisce molto dal valore stimato empiricamente 005

, 0 ≅ f

C . In situazioni reali in cui i tubi sono soggetti a corrosione, distorsione e variazioni di dimensione, la precisione con cui la caduta di pressione può essere valutata in un flusso monofase spesso non è migliore del 25% e sarebbe presuntuoso aspettarsi una valutazione migliore nel caso bifase. Si potrebbero sfruttare opportune correlazioni sperimentali per migliorare il grado di precisione, ma ci accontenteremo di usare un valore costante: C_f =0,005.

Il consueto modo di calcolare le perdite di carico concentrate per flussi monofase è quello di sostituire all’elemento che introduce una caduta di pressione un tratto equivalente di tubo. La stessa

Flusso separato

Generalità

Il modello a flussi separati tiene conto del fatto che le due fasi possono avere differenti proprietà e velocità. Può essere sviluppato con vari gradi di complessità. Nella versione più sofisticata vengono scritte equazioni di continuità, della quantità di moto e dell’energia separate per ciascuna fase e queste sei equazioni sono risolte simultaneamente, insieme con altre equazioni che descrivono come le fasi interagiscono fra loro e con le pareti del condotto. Nella versione più semplice si assume che solo un parametro possa differire fra le fasi mentre le equazioni di conservazione vengono scritte solo per il flusso combinato. Quando il numero di variabili che devono essere determinate supera il numero di equazioni disponibili devono essere introdotte correlazioni o semplificazioni.

Equazioni di base

Supponiamo che una delle ipotesi di flusso omogeneo in equilibrio sia ridimensionata per permettere differenti velocità fra le due fasi. Le leggi di conservazione della massa, del momento e dell’energia per un flusso mono-dimensionale a regime possono allora essere derivate in funzione delle due velocità v1 e v2. In alternativa, il grado di libertà extra del sistema può essere scelto

introducendo sia il grado di vuoto che il titolo nelle equazioni. CONTINUITA’

Normalmente, non si aggiunge al flusso massa dall’esterno del condotto e la portata in massa complessiva è costante. Pertanto:

const W

W

W = 1+ 2 =

In assenza di cambiamenti di fase, sia W1 che W2 sono individualmente costanti.

Le portate in massa possono essere espresse in funzione di altre variabili in molti modi. Per esempio, se le aree delle sezioni trasversali delle due correnti fluide sono A1 e A2, abbiamo

1 1 1

1 v A

W =ρ ⋅ ⋅ , W₂ =ρ₂⋅v₂⋅A₂ I flussi di massa di ciascuna corrente fluida sono quindi,

(

α

)

ρ ⋅ ⋅ − = _{1 1} 1

1 v

G , G2 =_ρ2 ⋅v2 ⋅_α

Usando la definizione di x, le due equazioni precedenti possono essere usate per dare due alternative espressioni del flusso di massa complessivo, come segue:

x v G − − ⋅ ⋅ = 1 1 1 1 α ρ , x v G=_ρ2⋅ 2⋅α

QUANTITA’ DI MOTO

Varie forme alternative dell’equazione della quantità di moto possono essere derivate manipolando le relazioni tra α, x, G, v1, v2, e altre variabili. Per flussi a regime in tubi circolari, per esempio, una

versione è

(

)

[

]

[

α ρ

(

α

)

ρ

]

ϑ τ _{1 1 cos} 4 1 2 1 2 + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − x v x v dz d G D dz dp _w ENERGIA

Conviene scrivere l’equazione dell’energia in funzione del titolo:

[

]

cosϑ 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ₂2 ₁2 1 2 + ⋅      ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =       − ⋅ x v x v g dz d h x h x dz d dz dw dz dq W e

Per risolvere queste equazioni, oltre a conoscere i legami fra le proprietà termodinamiche, si devono ricavare altre due relazioni, analizzando ogni componente separatamente, oppure usando correlazioni empiriche per τw e α in funzione della geometria, delle portate e delle proprietà del

flusso. Il metodo di soluzione è determinato prevalentemente dalla forma di queste correlazioni. Quando si usano le correlazioni per riempire le lacune della teoria, si dovrebbe ricordare che esse si stabiliscono di solito per flussi adiabatici con bassi gradienti di pressione. In condizioni di rapidi cambiamenti di fase e accelerazione si potrebbero introdurre errori significativi.

Un metodo comune per correlare lo sforzo di taglio delle pareti nei flussi gas-liquido venne trovato da Martinelli e dai suoi collaboratori. Lo sforzo di taglio reale è espresso con un fattore moltiplicativo _φ2 _{rispetto allo sforzo di taglio che si avrebbe nel flusso monofase corrispondente.}

La correlazione per il grado di vuoto è spesso espressa, per una mistura vapore-liquido di una certa sostanza, nella forma

( )

p,x α α =

Flusso di scorrimento

Generalità

Nel modello a flusso di scorrimento l’attenzione è focalizzata sul moto relativo piuttosto che sul moto di ciascuna fase. Sebbene la teoria possa essere sviluppata in un modo abbastanza generale, risulta particolarmente utile se il moto relativo è determinato da pochi parametri chiave e non dipende dalle portate delle singole fasi. Per esempio, in un flusso a bollicine alle basse velocità in grandi tubi verticali, il moto relativo tra le bollicine e il liquido è governato da un equilibrio tra

Flusso di scorrimento

Il flusso di scorrimento j21 è stato introdotto per rappresentare il flusso volumetrico di ciascuna

componente rispetto ad una superficie che si muovesse alla velocità volumetrica media j. Può essere espresso in funzione della velocità relativa

(

α

)

α⋅ − ⋅ = ₂₁ 1 21 v j o in funzione dei flussi delle componenti

(

)

2 1

21 1 j j

j = −α ⋅ −α⋅ Dato che j= j₁+ j₂, si possono ottenere le forme alternative:

(

)

21

1 1 j j

j = −α ⋅ − , j₂ =α⋅ j+ j₂₁

Il flusso volumetrico della componente 1 è la somma delle concentrazioni volumetriche moltiplicate per i flussi volumetrici e un flusso − j₂₁ = j₁₂ dovuto al moto relativo. Il flusso di scorrimento è pertanto analogo al flusso di diffusione nella diffusione molecolare dei gas e costituisce un modo conveniente di modificare la teoria omogenea tenendo conto del moto relativo. Infatti, tutte le proprietà del flusso, come il grado di vuoto, la densità media, e il flusso di quantità di moto possono essere espresse come nel caso omogeneo con l’aggiunta di un fattore correttivo o di un termine addizionale che dipende dal rapporto fra j21 e i flussi delle componenti.

Per esempio, il grado di vuoto è:

      − ⋅ = 2 21 2 ₁ j j j j α La densità media è

(

)

j_j j j j m 1 1 2 2 + 1− 2 ⋅ 21 ⋅ + ⋅ = ρ ρ ρ ρ ρ

Quando j21 è nullo questi risultati si riducono ai valori del flusso omogeneo.

La teoria dei flussi a scorrimento è particolarmente conveniente per analizzare flussi in cui la gravità (o una qualche altra forza di massa) è equilibrata dal gradiente di pressione e dalle forze tra le componenti. Per flussi verticali le equazioni si riducono a:

α ρ − + ⋅ − − = 1 0 12 1 F g dz dp , α ρ 12 2 0 g F dz dp − ⋅ − − = Sottraendo la seconda dalla prima si ottiene

(

) (

1 2

)

12 =α⋅ 1−α ⋅g⋅ ρ −ρ

F

In assenza degli effetti delle pareti, F12, la forza mutua di trascinamento per unità di volume, è una

funzione delle proprietà delle componenti, della loro geometria, del grado di vuoto, e del moto relativo, pertanto F12 è funzione solo di α e di j21.

Quindi, j21 deve essere funzione solo di α e delle proprietà del sistema. Evidentemente, in assenza

di infinite velocità relative, j21 deve valere 0 per α =1 e α =0. Esistono metodi grafici per la

soluzione di problemi di questo tipo.

Il flusso di scorrimento viene adimensionalizzato dividendolo per la velocità terminale v_∞ di una singola particella in un fluido infinito.

(

)

n v j α α⋅ − = ∞ 1 21

n è una funzione di un numero di Reynolds opportunamente definito, e n=3 è un valore intermedio per sistemi fluido-particelle. Generalmente, _α è la concentrazione volumetrica della componente dispersa.

Flusso “a bolle”

Generalità

La configurazione di flusso “a bolle” è caratterizzata da una sospensione di bollicine discrete in un liquido continuo. Il grado di vuoto varia dal caso estremo di bollicina singola isolata in un grande contenitore al flusso quasi continuo di una schiuma, contenente meno dell’un per cento di liquido nel volume. Le interazioni tra le forze che sono dovute a tensione superficiale, viscosità, inerzia e galleggiamento producono una varietà di effetti che sono evidenziati abbastanza spesso da forme e traiettorie differenti delle bolle. Il regime in cui le bolle sono così grandi che assumono una forma cilindrica e riempiono quasi del tutto il condotto in cui stanno fluendo è abbastanza importante da garantirsi un nome ed un modello diversi, flusso “a tappi”.

Finché gli sforzi tangenziali sono piccoli e i profili di velocità e di concentrazione sono approssimativamente uniformi, si può applicare il modello a flusso di scorrimento descritto in precedenza all’analisi del flusso a bolle in un condotto verticale.

La chiave per una comprensione ottimale del fenomeno è trovare un’espressione per il flusso di scorrimento jgf in funzione delle quantità di base. Per la maggior parte delle applicazioni pratiche

l’equazione empirica introdotta nel modello a flusso di scorrimento è una buona approssimazione:

(

)

n gf v

j = _∞ ⋅_α⋅ 1−_α

Velocità di salita delle singole bolle

La dipendenza della velocità terminale di salita di una singola bolla, v_∞, dalle proprietà del fluido è stata determinata sperimentalmente da numerosi studiosi. In letteratura esistono molte correlazioni, tra esse le più comprensibili sono forse quelle di Peebles e Garber, che suggeriscono le equazioni riportate in tabella 6 (per un gas di densità trascurabile rispetto a quella del liquido).

Il campo di validità di ciascuna equazione è determinato in funzione dei seguenti gruppi adimensionali: f b f b R v µ ρ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 ∞ Re , ₃ 4 1 σ ρ µ ⋅ ⋅ = f f g G , ₃ 3 4 4 2 σ ρf b v R g G = ⋅ ⋅ ∞ ⋅

Tabella 6: Velocità terminale di una singola bolla nei liquidi

Si noti che nella regione 4 la velocità di salita delle bolle è indipendente dalla taglia. Il limite superiore è raggiunto quando la velocità di salita diviene confrontabile con il valore

f b g R ρ σ ⋅ ⋅ ≥ 2 che definisce un’ulteriore regione 5.

Velocità terminale Campo di validità

Regione 1

(

)

f g f b g R v µ ρ ρ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ∞ ₉ 2 2 2 Reb < Regione 2 1,28 52 , 0 76 , 0 33 , 0 _b f f R g v _ ⋅       ⋅ ⋅ = ∞ _µ ρ 0,214 1 02 , 4 Re 2< _b < ⋅G − Regione 3 50 , 0 35 , 1 _       ⋅ ⋅ = ∞ b f R v ρ σ 25 , 0 1 214 , 0 1 Re 3,10 02 , 4 ⋅G − < _b < ⋅G− 75 , 5 32 , 16 ⋅G₁0,144 <G₂ < Regione 4 0,25 1,53 f g v σ ρ ∞  _⋅  = ⋅_ _   b G Re 10 , 3 0,25 1 < ⋅ − 2 75 , 5 <G

Influenza del grado di vuoto

L’influenza del grado di vuoto è convenzionalmente rappresentata dalla scelta di valori accettabili per l’indice n.

L’uso del valore di velocità di salita delle bolle dato da Peebles e Garber nella regione 4 della tabella 6 porta al risultato

(

)

2 4

(

)

1 2 1 53 , 1 _{f f g} gf g j = ⋅_α⋅ −_α ⋅_ρ − ⋅ _σ⋅ ⋅ _ρ −_ρ

Si hanno indicazioni che il valore di n non sia esattamente 2, sebbene per bassi valori di α nella regione principale di applicazione della teoria dei flussi a bolle questa variazione non sia particolarmente significativa. Studi sperimentali indicano che i seguenti valori di n sono applicabili nelle varie regioni definite in Tabella 6:

Regione 1: n=2 Regione 2: n=1,75 Regione 3: n=1,75 Regione 4: n=1,5

Quando la taglia delle bolle è grande, gli effetti tridimensionali diventano importanti e si ha un effetto di scia tra le bolle. Ne consegue un aumento di velocità relativa e del numero di bolle, pertanto l’indice n diventa minore di uno. Questa nuova configurazione di flusso, nota come agitata-turbolenta, sembra rappresentare una regione di transizione tra il flusso a bolle ideale, in cui le bolle salgono uniformemente e a regime, e il flusso a tappi, in cui grandi bolle riempiono il tubo e scorrono interamente l’una in scia all’altra.

Nella regione di regime agitato-turbolento le bolle salgono con la velocità caratteristica della regione 4 di tabella 1, relativa alla velocità media volumetrica della mistura. La velocità di scorrimento delle bolle è, pertanto,

(

)

4 ₂ 53 , 1 f g f gf g v ρ ρ ρ σ⋅ ⋅ − ⋅ =

cui corrisponde un flusso di scorrimento pari a

(

)

4 ₂ 53 , 1 f g f gf g j ρ ρ ρ σ α⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = e il valore di n è zero.