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G.W. Bohrnstedt-D. Knoke, Statistica per le scienze sociali Fondamenti e metodi per l'analisi empirica nelle scienze sociali

(2)

88

rie possibili è uguale alla media della popolazione dalla quale i campioni sono stati estratti in modo casuale. Inoltre, la vartanza dt questa nuova ipotetica distribuzione è uguale a l/l'l della varranza della popolazione. Non è necessario formulare alcun assunto sulla forma della distribuzione.

La distribuzione ipotetica di tutte le possibili medie di campioni di numerosità N è chiamata disribuzione campionaria delle medie campionarie. Una distribuzione campion arra dr medie è format a dalle medie di tutti i campioni di numerosità N che sarebbe possibile estrarre da una data popolazione. Poiché qualsiasi popol azione di una certa dimensione contiene miliardi e miliardi di possibili campioni differen- ti, nessuno può veramente calcolare le medie che formano una distribuzione campionaria. Questa, cioè, rappresenta un costrutto puramen- te teorico. Tuttavia, poiché il teorema del limite centrale mette in rela- zione due parametri della popolazione (&y e a?) con la media e la vartanza della distribuzione campionaria, la forma di quest'ultima è com- pletamente determrnata da questi due soli parametri. Il teorema del limite cenmale garantisce che la media campionaria approssima sempre più la media della popolazione mano a mano che la dimensione del campione (N) aumenta, in quanto Ia vartanza della distribuzione campionaria diminuisce all'aumentare di ^/. La deviazione standard di una distribuzione campionaria è detta errore standard. Questo equivale alla radice quadrata della vafranza della distribuzione campionaria:

( r v - z riw

Sapendo che le medie campionarie seguono una distribuzione normale, indipendentemente dalla popolazione dalla quale i corrisponden- ti campioni sono stati estratti, e assumendo che N sia grande, possiamo giungere a importanti conclusioni. Supponiamo di estrarre un campione casuale di numerosità paîr a 400 osservaziom da una popo- Iazione con py = 100 e cv - 15. L'errore standard della distribuzione campionaria delle medíe, in questo caso, può essere calcolato come segue:

A y = -

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! 4 0 0

Ciò che sappiamo della curva normale ci dice che il 95% di tutte le medie campionarie sono comprese in un intervallo di +1,96 errori standard intorno alla media della popolazione. Pertanto, in questo esempio lI 95% delle medie campionarie rientrano in un intervallo compreso fra 98,53 e 101,47, cioè nell'intervallo 100+(1,96)(0,75). il teorema del limite centrale ci dice che a) la media di una distribuzione

campionaria di medi, caso 100), e b) solo i rientrano nell'interva di aumen tare la dime La conseguenza di c colo, cioè:

Pertanto, con la t campionarie sarannc 100t(1 ,96)(0,47 ). Dt naria su venti non rir fiducia nel fatto che ci darà una stim a ac(

stato estratto.

Sebbene il teorer campioni di numeror lire precisamente qu Alcuni manuali sugl altri indicano una nL rienza, possiamo dir 100 casi, la clistribuzi soddisfacente una di o meno casi, al cont pionaria normale. F 100, si può assumerc applicabile, a meno di interesse abbia ur

6. Stime campionar Il teorema del lir media di un campio gola della media dell estratto. La media ca popolazione, perché che costruire un inte consente di esprimer contenga la vera me

Anche in questo to, permettendoci di di confidenza caratte

(3)

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(4)

90

per calcolare il limite inferiore e quello confidenza dr livello a è la seguente:

superiore di un intervallo dí

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Per calcolare il limite superiore di confi denza (LSC) bisogna ag- giungere alla media campionaria il prodotto del valore critico (2,,r) moltiplicato per I'errore standard della media campionaria. Per calcolare, invece, il limite inferiore di confidenza (LIC) bisogna sotmarre questo prodotto dalla media campionaria. Per esempio, se scegliamo un livello a - 0,05, i valori critici 2.1, che ci permettono di collocare il 2,5"A dell'area sottesa alla curva normale in ciascuna delle due code della distribuzione normale stessa sono -1,96 e 1,96. Possiamo allora aspettarci che 1I 95"/" degli intervalli compresi fra +1,96 errori standard dalla media campionaria contengano la media della popolazione py. Per un intervallo di confidenza del95% il limite inferiore di con-

frdenza è pari a Y -1,96cy, mentre il limite superiore di confidenza è uguale a Y +1,96oy. Analogamente, per un intervallo di confidenza

del99"/" il limite inferiore di confidenza è pari a Y -2,58oy, mentre il limite superiore di confidenza è uguale a Y +2,58rry, Come si può vedere, minore è il livello a, più ampio è l'intervallo di confidenza.

Il simbolo Zorz,, introdotto nel pangrafo 3.4, può essere ora defini- to con maggiore precisione. Nella tavola B1 riportata nell'appendice B, Zorzdenota il valore che delimita un'area della coda destra della curva normale paîr a q/2. Se vogliamo essere <<fiduciost>, aI95"/" che un certo intervallo contenga p,y,, allota ne consegue necessariamente che a = 0,05 e cr/2 = 0,025.

Gli intervalli di confidenza devono essere interpretati con una certa cautela. La tenîazione più forte è quella di concludere che un dato intervallo ha il 95% di probabilità di contenere la media della popolazione. Di fatto, però, una volta che un dato intervallo è stato costruito, la probabilità che esso contenga la media della popolazione può essere solo pari a 1 o a zeîo, a seconda che la media della popolazione sia inclusa o meno nell'intervallo. Dunque, l'unica afferm azione che possiamo fare è che se costruissimo molti intervalli di confiden za dello stesso tipo, rI 95% di questi intervalli includerebbe la media della popolazione.

Laftgura 3.6 illustra il concetto di intervallo di confidenza.Lali- nea verticale rappresenta la vera media della popolazione, una costante pari - in questo esempio - a50,5. Le linee orrzzontali, invece, rappre- sentano diversi intervalli di confid enza costruiti intorno alle medie di 15 campioni casuali estratti dalla stessa popolazione. Come si può vedere, tutti gli intervalli tranne due (il quinto e i1 quattordicesimo dal- l'alto) includono la media della popolazione py. Le stime puntuali (cioè le medie campionarie) sono riportate accanto a ciascun intervallo. Se potessimo cosruire gli intervalli di confidenza di tutti í possibili

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In generale, per ur pionarie maggiori pro sapere che oy - 15 e c numerosità pari a 100 Jel 95 "/" avrà. un limit un limite superiore ugr trra di passare a un cal rnvariati gli altri valor

(5)

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(6)

92 ^ALE

95% avrà un limite inferiore pari a 5I-Ig6(Ij/^[i,00) = 49,69 e un limite superiore uguale a 5I+1,96(15/^ISOO) = 52,J1. Per un dato livello a, dunque, I'ampiezza dell'intervallo di confidenza diminuisce all'aumentare della numerosità N del campione.

Per costruire un intervallo di confidenza intorno a una media campionaria è necessario che siano soddisfatte tre condizioni: 1) il campione deve essere stato estratto casualmente; 2) lV deve essere <<sufficientemente>> grande (almeno maggiore di l0); )) lavarranza della popolazione (o?) deve essere nota, in modo tale che I'errore standard oy possa essere calcolato. Nella maggior parte dei casi I teno requisito ri- mane insoddisfatto. Chiaramente, se conoscessimo ol, non avremmo bisogno di anahzzare i dati di un campione. Quando l{ è sufficientemente grande, il problema può essere risolto; in questi casi, infatti, una buona stima dell'errore standard della distribuzione campionaria può essere ottenuta utrhzzando la devrazione standard del campione, cioè sr. Un accento circonflesso posto sopra o7 indica che si tratta di un valore stimato:

à r =

I dati riportati nella tabella 2.3 danno una stima campionaria degli anni medi di istruzione formale pari a I2,9, con una deviazione standard parr a 2,98.I1 campione su cui si basano queste statistiche ha una dimensione uguale a L510 casi. Inserendo tali statistiche campionarie nella formula appena mostrata possiamo ottenere la seguente stima dell'errore standard:

= 2,98/38,86 - 0,077

Dunque, possiamo essere <<fiduciosí>> al 95"/" che i veri anni medi di istruzione formale sono compresi nell'interv allo !2,9+ (r,96) (0,077 ), cioè fra t2,,75 e 13,05 anni.

Un'alffa importante applic azione del teorema del limite centrale consiste nel determinare la numerosità campionaria necessaria per conseguire un determinato livello di accuratezza nella stima della media della popolazione. In un campione sufficientemente grande, e assumendo una popolazione distribuita in modo normale, si ha:

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Dunque, Per raggit cessario disporre di ur l'accuratezza fino a ur sono invece necessari i

7. La distribuzione t L'esempio Precede zione campionaria (cic glia di distribuzioni tt ctrndizion e. La distribr c h é \ i l . S . G o s s e t t , c L

;.roblema, firmò il su .lent>. La formula di r

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, /.'ffi - stima dell'e La somighanza fra z.r è che i primi (r) si .i ), mentre i second