APPLICAZIONE DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE AI SISTEMI DINAMICI ESERCIZIO 1: Determinare il movimento libero x(t) dello stato per il sistema lineare definito nello spazio degli stati e dotato di condizioni iniziali, così come di seguito esplicitato:
=
=
+
−
=
+
−
=
02 2
01 1
2 1
2
2 1
1
) 0 (
) 0 ( )
( 5 ) ( 2 ) (
) ( 6 ) ( 2 ) (
x x
x x
t x t x t
x
t x t x t
x
&
&
Ilsistemalineareassegnatoècaratterizzatodall’equazionedistato edallamatricedelladinamica così come di seguito esplicitato:
−
= −
⇒
=
⋅
=
5 2
6 2 )
0 (
) ( )
(
0
x A x
t x A t x&
La formula di Laplace stabilisce che il movimento libero dello stato xL(t), movimento dovuto solo all’azione delle condizioni iniziali e, quindi, con segnali d’ingresso nulli, viene determinato dalla relazione:
O At
L
t e x
x ( ) =
(1)e nel caso di sistemi di ordine n ≥≥≥≥ 2 il calcolo dell’esponenziale matrice eAt, che caratterizza il movimento libero, attiene a una procedura di non semplice utilizzo. Il risultato può essere ottenuto con il ricorso alla trasformata di Laplace, usufruendo della proprietà della derivata. Si ottiene:
) 0 ( ) (
· ) (
· )
( )
0 ( ) (
· )]
(
· [ )]
(
[ x t L A x t s X s x AX s s X s A X s x
L & = ⇒ − = ⇒ − =
da cui, in conformità a quanto stabilito dall’algebra lineare, si ottiene:
) 0 (
· ] [
) ( ]·
·[
] [
) 0 ( ) ( ]·
[ sI − A X s = x ⇒ sI − A
−1sI − A X s = sI − A
−1x )}
0 (
· ] {[
) ( )
0 (
· ] [
)
( s sI A
1x x t L
1sI A
1x
X = −
−⇒
L=
−−
−Si conclude, quindi, che il movimento libero dello stato xL(t) è definito dalla seguente posizione:
) 0 ( }·
] {[
)
( t L
1sI A
1x
x
L=
−−
− (2)Pertanto, il percorso che caratterizza la procedura risolutiva è così schematizzabile:
) 0 ( }·
] {[
) ( )
0 ( ] [
) ( )
(
· )
( t A x t X s sI A
1x
1x t L
1sI A
1x
x & = →
L= −
−
L→
− L=
−−
−Poiché il movimento libero dello stato x(t), a pari condizioni iniziali, È UNICO, il confronto fra le scritture (1) e (2) consente di relazionare come segue:
) 0 (
· )
0 ( }·
] {[
)
( t L
1sI A
1x e x
x
L=
−−
−=
At⇒
L
−1{[ sI − A ]
−1} = e
AtIl calcolo dell’esponenziale matrice eAt è sostituito dalla ricerca dell’antitrasformata di Laplace della matrice [sI–A]−−−−1.
Procedendo in tal senso si ottiene:
−
−
= +
−
− −
=
− 2 5
6 2
5 2
6 2 0
] 0
[ s
s s
A s sI
) 2 )·(
1 ( 2 3 12
) 5 )·(
2 5 (
2
6 ] 2
det[ = + − + =
2− + = − −
−
−
= +
− s s s s s s
s A s
sI
⇒ =
⇒ =
=
−
⇒ =
⇒ =
=
⇒ −
=
−
⇒ −
=
− 2 0 2 2
1 1
0 0 1
) 2 )·(
1 ( 0
] det[
2 1
λ λ s
s
s s s
s A
sI
Sisonoottenutidue autovalori reali, distinti ed entrambe positivi; pertanto, il sistema in esame È INSTABILE.Ilcalcolodella matrice inversa[sI–A]−−−−1 si esprimenelle scritture diseguitoriportate:
+
−
−
−
= −
+
−
−
= −
−
−2 2
6
· 5 ) 2 )·(
1 (
1 2
2
6
· 5 ] det[
] 1
[
1s s
s s
s s
A A sI
sI
Si constata la ricorrenza di due tipi di funzioni razionali fratte sulle quali operare nella successiva fase di antitrasformazione; si tratta, quindi, di considerare le seguenti tipologie di funzioni usando il metodo dei fratti semplici di Heaviside
⇒
⇒
⇒
⇒ ( 1 )·( 2 )
) 2
( ) (
) 2 )·(
1 (
) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 )·(
1
( − −
+
−
= +
−
−
− +
= − + −
= −
−
− +
s s
B A s
B A s
s
s B s
A s
B s
A s
s
s α
Il principio di identità dei polinomi implica quanto segue:
+
= +
−
⇒ =
−
= +
=
⇒ + +
− +
=
+ α
α α α
2
) 1 ( 2
) 1 2
( )
( B
A B
A B B A
A s
B A s
La procedura di antitrasformazione fornisce:
− + +
− +
= −
+ −
= −
−
−
+
− − − −−
) 2 (
2 )
1 (
) 1 ( )
2 ( )
1 ( )
2 )·(
1 (
1 1
1 1
1
L s L s
s L B s
L A s
s
L s α α α
Consegue, pertanto, che per αααα = −−−5, si perviene alla relazione: −
t
t
e
s e s L
L
L s L s
s s
L s
2 1
1
1 1
1
3 ) 4
2 ( 3 1 ) 1 ( 4 1
) 2 (
5 2 )
1 (
) 5 1 ( )
2 )·(
1 (
5
−
=
− −
= −
=
− + −
−
−
= −
−
−
−
−
−
−
−
−
mentre per αααα = 2, si ottiene:
t
t
e
s e s L
L
L s L s
s s
L s
2 1
1
1 1
1
4 ) 3
2 ( 4 1 ) 1 ( 3 1
) 2 (
25 2 )
1 (
) 2 1 2 (
) 2 )·(
1 (
5
+
−
=
+ −
− −
=
=
− + +
− +
= −
−
− +
−
−
−
−
−
⇒ ⇒
⇒ ⇒
) 2 )·(
1 (
) 2
( ) (
) 2 )·(
1 (
) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 )·(
1
( − −
+
−
= +
−
−
− +
= − + −
= −
−
− s s
B A s
B A s
s
s B s
A s
B s
A s
s β
Il principio di identità dei polinomi implica quanto segue:
=
−
⇒ =
−
= +
=
⇒ + +
− +
= β
β β β
B A B
A B B A
A s
B
A 2
) 0 2
( ) (
La procedura di antitrasformazione fornisce:
+ −
−
= −
+ −
= −
−
−
−
−
−
−
−
) 2 ( )
1 ( )
2 ( )
1 ( )
2 )·(
1 (
1 1
1 1
1
L s L s
s L B s
L A s
L s β β β
Consegue, pertanto, che per βββ = 6, si perviene alla relazione: β
t
t
e
s e s L
s L
L
1s
1 16 6
2) 2 (
6 )
1 (
6 )
2 )·(
1 (
6 = − +
+ −
−
= −
−
−
−
−
−
mentre per βββ = −β −−−2, si ottiene:
t
t
e
s e s L
s L
L
1s
1 12 2
2) 2 (
2 )
1 ( 2 2
) 2 )·(
1 (
2 = −
− + −
= −
−
−
−
− −−
La conclusione della procedura di antitrasformazione di Heaviside attesta il seguente risultato:
[ ]
{ }
+
−
−
+
−
= −
−
=
− −t t
t t
t t
t t
At
e e e
e
e e e
A e sI L
e
2 22 1 2
1
4 3 2
2
6 6 3
4
Si è ora in condizione di determinare il movimento libero xL(t) dello stato; infatti, dalla relazione xL(t) = eAt xO si ottiene la seguente scrittura matriciale:
⋅
+
−
−
+
−
= −
=
= ⇒
02 01 2
2
2 2
2 1
0
2 2 3 4
6 6 3
4 ) (
) ) (
( )
( x
x e
e e
e
e e e
e t
x t t x
x x
e t
x
t t t tt t
t t
L At
L
L
L , ovvero:
−
−
−
−
−
= −
=
) 4 3 ( )
2 2 (
) 6 6 ( )
3 4 ( )
( ) ) (
(
202 2
01
02 2 01 2
2 1
t t
t t
t t
t t
L
x e e x e e
e e x e
e x t
x t t x
x
L L
Pertanto, il movimento libero relativo alle due componenti xL1(t) e xL2(t) dello stato xL(t) risulta caratterizzato dalle seguenti relazioni:
) 6 6 ( )
3 4 ( )
(
01 2 02 21 t t t t
e e x e
e x t
x
L= − − −
x
2( t ) x
01( 2 e
t2 e
2t) x
02( 3 e
t4 e
2t)
L
= − − −
Si osservi che i coefficienti degli esponenti degli esponenziali sono gli autovalori della matrice A della dinamica del sistema e precisamente:
t
t
e e
e
e
λ1=
λ2=
2ESERCIZIO 2: Determinare il movimento libero x(t) dello stato per il sistema lineare definito nello spazio degli stati e dotato di condizioni iniziali, così come di seguito esplicitato:
=
=
=
=
+
−
=
−
=
1 )
0 (
1 )
0 ( )
( ) ( )
(
) ( )
(
02 2
01 1
2 1
2
1 1
x x
x x
t x t x t
x
t x t
x
&
&
Il sistema lineare dinamico assegnato viene caratterizzato da una matrice A della dinamica di tipo triangolare bassa i cui autovalori sono, pertanto, costituiti dagli elementi posti sulla diagonale principale.
0 0 1
1 1
1 0 1
2 1 2
1
>
⇒ <
=
−
⇒ =
−
= −
λ λ λ
A λ
Sistema INSTABILEIlsistema lineareassegnato può essere risolto, ai fini della determinazione del movimento libero xL(t) dello stato, utilizzando il metodo di sostituzione, quindi, senza ricorrere all’uso delle matrici.
La soluzione così ottenuta dovrà poi soddisfare le condizioni iniziali e le equazione di stato.
Procediamo applicando la trasformata di Laplace e le sue proprietà alle equazioni di stato; si ha:
+
−
=
−
=
⇒ +
+
−
=
−
−
=
−
) 0 ( ) ( )
( )
(
) 0 ( ) ( )
( )
( )
( )
0 ( ) (
) ( )
0 ( ) (
2 1
2 2
1 1
1 2
1 2
2
1 1
1
x s X s
X s sX
x s X s sX s
X s X x
s sX
s X x
s sX
da cui, con i necessari passaggi algebrici, consegue:
+ +
−
=
−
= +
⇒
+
−
=
−
= +
) 0 ) (
1 (
) 0 ) (
( )·
1 (
) 1 (
) 0 ) (
( )
0 ( ) ( )
( )·
1 (
) 0 ( ) ( )·
1 (
1 2 2
1 1
2 1
2
1 1
s x s x
X s
s s x
X x
s X s
X s
x s X
s
, ovvero:
+ −
−
− +
=
= +
) 1 (
) 0 ( )
1 )·(
1 (
) 0 ) (
(
) 1 (
) 0 ) (
(
2 2 1
1 1
s x s
s s x
X
s s x
X
L’applicazione della procedura di antitrasformazione consente di relazionare come segue:
e
ts x L
s x L x
s X L t
x
− − − =
−
= +
= +
= ( 0 )·
) 1 ( )· 1 0 ) (
1 (
) 0 )] (
( [ )
(
1 1 1 1 1 1 11
⇒
x
1( t ) = · 1 e
−t= e
−t
+ −
−
− +
=
=
+ −
− +
= −
+ −
− +
= −
=
−
−
−
−
−
−
) 1 ( )· 1 0 ) (
1 )·(
1 ( )· 1 0 (
) 1 (
) 0 ( )
1 )·(
1 (
) 0 ( )
1 (
) 0 ( )
1 )·(
1 (
) 0 )] (
( [ )
(
1 2
1 1
1 2 1 1
2 1 1
1 2 2
L s s x
L s x
s L x s
s L x
s x s
s L x
s X L t x
È necessario, quindi, procedere all’antitrasformazione del primo addendo; utilizziamo al riguardo il metodo dei residui applicato al caso dei poli reali semplici e distinti, cioè con molteplicità νννν=1.
Si ottiene:
+ −
= +
+ −
= +
− +
−
−
−
−
1
· 1 1
· 1 1
1 )
1 )·(
1 (
1
11 2 2 1
1 1 1
L s s K
L s K
K s
L K s
L s
Il calcolo dei coefficienti Ki, attiene alla procedura di seguito esplicitata:
2 1 1 1
1 )
1 (
1 )
1 )·(
1 (
1
) 1 ( )
1 (
1
= −
−
= −
= −
− +
= +
−
=
−
= s
s
s
s s
K s
2 1 1 1
1 )
1 (
1 )
1 )·(
1 (
1
) 1 ( )
1 (
2
=
= +
= +
− +
= −
=
= s
s
s
s s
K s
Noto il valore dei residui Ki il calcolo dell’antitrasformata porge la seguente relazione:
t
t
e
s e s L
s L
L s ·
2
· 1 2 1 1
· 1 2 1 1
· 1 2 1 )
1 )·(
1 (
1
1 11
= − +
+ −
− +
=
− +
−
−
−
−
Si può, quindi, determinare il movimento libero x2(t) dello stato esplicitando le seguenti scritture:
2 2 2
2 2
)· 2 0 2 (
)· 2 0 (
) 1 ( )· 1 0 ) (
1 )·(
1 ( )· 1 0 ( )
(
2 1
1 2
1 1
2
t t t t t t t t t
t
t
e e
e e e e
e e e
e x x e
L s s x
L s x t
x
−
−
−
−
−
−
+
= +
−
=
+
− +
−
=
+
− +
−
=
=
+ −
−
− +
=
In definitiva, il movimento libero xL(t) dello stato attiene alla relazione seguente:
= +
=
−−
t t
t
L
e e
e t
x t t x
x
2 1 2
) 1 (
) ) (
(
2 1
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Verifica del soddisfacimento delle condizioni iniziali01 0 1
0 1
( ) lim ( ) 1 ( 0 )
lim x t e
tx x
t
t
=
−= = =
→
→
02 0 2
0 2
1 ( 0 )
2 1 2 1 2
1 2
lim 1 ) (
lim x t e
te
tx x
t
t
= + = = =
+
=
−→
→
⇒
⇒
⇒
⇒
Verifica del soddisfacimento delle equazioni di stato) ) (
) (
(
11
e x t
dt e t d
x
tt
−
=
−
=
=
−−
&
) ( ) 2 (
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
) 1
(
1 22
e e e e e e e x t x t
dt t d
x
t t t t t t t = − +
+
+
−
= +
−
=
+
=
− − − −&
Tanto l’equazione di stato, quanto le condizioni iniziali sono soddisfatte dalla soluzione xL(t) che, pertanto, rappresenta effettivamente il movimento libero dello stato del sistema dinamico dato.
ESERCIZIO 3:Determinare il movimento dell’uscita y(t), dovuto all’ingresso u(t)=sca(t), per il sistema dinamico lineare definito nello spazio degli stati e dotato di condizioni iniziali come di seguito esplicitato:
=
=
=
+ +
=
+
=
02 2
01 1
2
2 1
2
2 1
) 0 (
) 0 ( )
( ) (
) ( ) ( ) ( 6 ) (
) ( ) ( ) (
x x
x x
t x t y
t u t x t x t x
t u t x t x
&
&
Il sistema lineare dinamico assegnato è caratterizzato dalla matrice A della dinamica, di seguito riportata, i cui autovalori, radici del polinomio caratteristico, sono reali e distinti, uno negativo e l’altro positivo; consegue che il sistema è instabile. Infatti si verifica che:
=
1 6
1
A 0
⇒( 1 ) 6 6
1 6
]) 1
det([ = − − =
2− −
−
−
= −
− s s s s
s A s
sI
⇒
>
=
<
−
=
0 3
0 2
2 1
λ λ
Si applica la trasformata di Laplace sia alle equazioni di stato sia alla trasformazione dell’uscita tenendo presente la proprietà della trasformata della derivata di una funzione trasformabile ƒƒƒƒ(t) e che la trasformata del segnale canonico scalino unitario è L[sca(t)]=(1/s).
L’applicazione della trasformata di Laplace trasforma un sistema di equazioni differenziali lineari nel dominio del tempo in un sistema lineare algebrico nelle incognite X1(s) e X2(s) nel dominio della variabile complessa s; si ottiene, infatti, ciò che di seguito si riporta:
=
+ +
=
−
+
=
−
) ( )
(
) ( ) ( )
( 6 ) 0 ( ) (
) ( ) ( )
0 ( ) (
2
2 1
2 2
2 1
1
s X s Y
s U s X s X x
s sX
s U s X x
s sX
=
−
−
=
− +
+
=
−
) ( )
(
) ( ) 0 ( )
( )
( )
( 6
) ( ) 0 ( ) ( )
(
2
2 2
2 1
1 2
1
s X s Y
s U x
s sX s X s X
s U x
s X s sX
Il sistema lineare algebrico, nelle incognite X1(s) e X2(s), assume la forma seguente:
−
−
=
− +
+
=
−
) ( ) 0 ( )
( ) 1 ( ) ( 6
) ( ) 0 ( ) ( )
(
2 2
1
1 2
1
s U x
s X s s
X
s U x
s X s sX
Dato che si richiede il movimento dell’uscita y(t) = x2(t) risulta conviene procedere alla soluzione del sistema lineare algebrico rivolgendo l’attenzione al calcolo della sola componente X2(S) dello stato ricorrendo al metodo di riduzione; si ottiene l’espressione dell’incognita X2(s) moltiplicando la prima equazione per il numero 6, la seconda equazione per la variabile s e poi sottrarre membro a membro la prima equazione dalla seconda. Si ottiene:
−
−
=
− +
+
=
−
) (
· ) 0 (
· ) (
· )·
1 ( ) ( 6
) ( 6 ) 0 ( 6 ) ( 6 ) ( 6
2 2
1
1 2
1
s U s x
s s X s s s
sX
s U x
s X s
sX
Sottraendo membro a membro la prima equazione dalla seconda, si giunge alla relazione seguente:
) ( 6 ) (
· ) 0 ( 6 ) 0 (
· ) ( 6 ) (
· )·
1
( − s s X
2s + X
2s = − s x
2− x
1− s U s − U s
, ovvero:) ( )·
6 ( ) 0 ( 6 ) 0 (
· ) ( ]·
6 ) 1
·(
[ s − s + X
2s = − s x
2− x
1− s + U s
, da cui si ottiene:) ( )·
6 ( ) 0 ( 6 ) 0 (
· ) ( )·
6
( − s
2+ s + X
2s = − s x
2− x
1− s + U s
Immediato è ricavare l’espressione della componente X2(s) dello stato; infatti, si ottiene:
) ( ) · 6 (
) 6 ( ) 6 (
)·
0 ( )
6 (
) 0 ( ) 6
(
2 1 22 22
U s
s s
s s
s
s x s
s s x
X − −
+ +
− + −
−
= −
Poiché dalla traccia viene stabilito che l’uscita y(t) del sistema in esame è data da y(t)=x2(t), si h:
) ( )
(
22
s X s
Y =
⇒· ( )
) 6 (
) 6 ( ) 6 (
)·
0 ( )
6 (
) 0 ( ) 6
(
2 1 22 2U s
s s
s s
s
s x s
s s x
Y − −
+ +
− + −
−
= −
Inserendo l’espressione della trasformata del segnale di ingresso u(t)=sca(t), cioè L[sca(t)]=(1/s) e che il polinomio a denominatore altro non è che il polinomio caratteristico, si ottiene:
) 3 )·(
2
·(
) 6 ( )
3 )·(
2 (
)·
0 ( )
3 )·(
2 (
) 0 ( ) 6
(
1 2− +
+ +
− + +
−
= +
s s
s s s
s
s x s
s s x Y
Il movimento dell’uscita y(t) si ricava antitrasformando Y(s) ottenendo così la parte relativa al movimento libero yL(t) afferente le condizioni iniziali e la parte attinente al movimento forzato yF(t) dovuto al segnale d’ingresso costituito dal gradino unitario u(t)=sca(t); si ha:
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 2
1
4 4
4 3
4 4
4 2
1 4 4 4 4 4
4 3
4 4 4 4 4
4 2
1
) ( '
) ( 1
) (
2 1 1
) 3 )·(
2
·(
) 6 ( )
3 )·(
2 (
)·
0 ( )
3 )·(
2 (
) 0 ( ) 6
(
t y uscita dell movimento
t y forzato movimento t
libero y
movimento L F
s s
s L s s
s
s x s
s L x t
y
− +
+ +
− + +
−
=
−+
− , ovvero:
− +
+ +
− + +
−
=
−+
− −) 3 )·(
2
·(
) 6 ( )
3 )·(
2 (
)·
0 ( )
3 )·(
2 (
) 0 ( ) 6
(
1 1 1 2 1s s
s L s s
s
s L x
s s
L x t y
Per l’operazione di antitrasformazione si ricorre alla procedura dei residui relativa alla tipologia dei poli semplici reali e distinti; il calcolo dei coefficienti Ki caratterizzanti i residui resta definito dalla relazione seguente:
)
)]
()·(
( [ )]
)·(
( [ lim
i i s pi
p
i s
F s s pi K F s s pi
K
=→
− ⇒ = −
=
Nel caso specifico in esame si hanno le seguenti relazioni:
) 3 ( ) 2 ( ) 3 )·(
2 (
6
1 2+ −
= +
−
+ s
K s
K s
s
⇒
=
= +
− +
= −
−
=
= −
− +
= +
=
=
−
=
−
=
5 6 )
2 (
6 )
3 )·(
2 (
) 3
·(
6
5 6 )
3 (
6 )
3 )·(
2 (
) 2
·(
6
) 3 ( )
3 ( 2
) 2 ( )
2 ( 1
s s
s s
s s
s K s
s s
s K s
) 3 ( ) 2 ( ) 3 )·(
2 (
2 1
+ −
= +
−
+ s
K s
K s
s
s
⇒
=
= +
− +
= −
=
= −
− +
= +
=
=
−
=
−
=
5 3 )
2 ( )
3 )·(
2 (
) 3
·(
5 2 )
3 ( )
3 )·(
2 (
) 2
·(
) 3 ( )
3 ( 2
) 2 ( )
2 ( 1
s s
s s
s s s
s s K s
s s s
s s K s
) 3 ( ) 2 ( )
3 )·(
2
·(
) 6
(
1 2 3+ − + +
− = +
+
s K s
K s
K s
s s
s
6 1 6 ) 3
·(
2 6 )
3 )·(
2 (
) 6 ( )
3 )·(
2
·(
)·
6 (
) 0 ( )
0 (
1
= − = −
= −
− +
= +
− +
= +
=
= s
s
s s
s s
s s
s K s
5 2 10
4 ) 3 2
·(
2
) 6 2 ( )
3
·(
) 6 ( )
3 )·(
2
·(
) 2 )·(
6 (
) 2 ( )
2 (
2
= =
−
−
− +
= −
−
= +
− +
+
= +
−
=
−
= s
s
s s
s s
s s
s K s
5 3 15
9 ) 2 3
·(
3 ) 6 3 ( )
2
·(
) 6 ( )
3 )·(
2
·(
) 3 )·(
6 (
) 3 ( )
3 (
3
= =
+
= +
+
= +
− +
−
= +
=
= s
s
