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LEZ 9

mercoledì 22 dicembre 2021 12:00-13:30

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TERMODINAMICA TRASFORMAZIONI

CONSIDERAZIONI ENERGETICHE

TERMODINAMICA ISOTERMA D T = 0

dL = p dV = (nRT/V) dV

gas

sorgente termica calore

lavoro

p_A A

p_B B

V_B V_A

A àB B àA

p V = n R T

LEZ 9 SAPIENZA – Medicina e Chirurgia HT – FONDAMENTI DI FISICA –Fondamenti di fisica generale– A. Sciubba 2021-22

= nRT dV/V à L = nRT ln (V

/V

) dL = p dV = p d(nRT/p) = p nRT d(1/p)

dU = n c

dT = 0 à DU = 0

= p nRT (-dp/p

)

à Q = L + DU = L = Q = n RT ln (V

/V

)

= - nRT dp/p

à L = - nRT ln (p

/p

) = nRT ln (p

/p

)

TERMODINAMICA ISOBARA D p = 0

gas

sorgente termica calore

lavoro

dL = p dV à L = p (V

-V

)

dL = p dV = d(pV) = d(nRT) à L = nR (T

-T

) dU = n c

dT à DU = n c

(T

-T

)

à Q = L + DU = n R (T

-T

) + n c

(T

-T

) = n c

(T

-T

)

A B

V_B V_A

p

A àB B àA

p V = n R T

TERMODINAMICA ^{ISOCORA D V = 0}

gas

sorgente termica calore

dL = p dV à L = 0

dU = n c

dT à DU = n c

(T

-T

) à Q = L + DU = n c

(T

-T

)

p_B

A B

p_A

A àB B àA

p V = n R T

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TERMODINAMICA ADIABATICA dQ=0

p V

= costante T V

= costante T p

= costante

g = coefficiente adiabatico = c

/c

monoatomici γ = 5/3 = 1,67 biatomici γ = 7/5 = 1,40

poliatomici γ = 4/3 = 1,33

dQ = dL + dUà 0 = p dV + n c

dT = n RT dV/V + n c

dTà dV/V = -c

/R dT/T ln (V/V

) = ln[(T/T

)

] à V/V

= (T/T

)

à V T

= costante

dU = n c

dT à DU = n c

(T

-T

) à Q = 0 à L = -DU = - n c

(T

-T

)

gas lavoro

sorgente termica

p

p

B

V

V

A

A àB B àA

p V = n R T

c

– c

= R

TERMODINAMICA

Una mole di gas perfetto monoatomico alla temperatura T₁ = 600 K compie un'espansione adiabatica che ne aumenta il volume da V₁ = 1 m³ a V₂ = 2 m³. Calcolare la temperatura finale del gas e il lavoro compiuto nell'espansione.

ADIABATICA

p₁

p₂ 2

V₂ V₁

1 TV^g-1 = cost

T₂/T₁= (V₁/V₂)^g-1= (1/2)^5/3-1= 0,63

L = - DU

T₂ = 600 K x 0,63 = 378 K

= - n c_v (T₂-T₁) = - 3/2 R (378 – 600) = 2765 J T₁V₁^g-1 = T₂V₂^g-1

ESERCIZIO

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TERMODINAMICA TRASFORMAZIONI

identificare:

1) X e Y

2) la temperatura minore e quella maggiore 3) i quattro tipi di trasformazione

4) il segno del calore scambiato per ognuna delle trasformazioni

5) quale trasformazione produce il lavoro minore

T

T

T

T

X

Y

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LEZ 9

TERMODINAMICA TRASFORMAZIONE CICLICA

L > 0 espansione

L < 0

compressione

il gas assorbe lavoro dall'esterno

il gas compie lavoro verso l'esterno

trasformazione ciclica lavoro utile

T_fin = T_in à DU = 0 L = Q = Q_ass - |Q_ced|

in una trasformazione ciclica il gas torna allo stato iniziale

il lavoro complessivamente prodotto (lavoro utile) è pari

alla differenza fra il calore assorbito e quello ceduto dal gas

T

Q

L

TERMODINAMICA MACCHINE TERMICHE

per trasformare tutto Q in L occorre che sia DU = 0 come in una isoterma (h = 100%) dispositivo in grado di trasformare calore in lavoro

à ma una volta che il sistema è passato da A a B la macchina smette di funzionare!

per essere utile la macchina deve lavorare ciclicamente rendimento: h = L/Q va massimizzato!

per tornare da B ad A occorre esattamente lo stesso lavoro che è stato prodotto:

non è sufficiente disporre di una sola sorgente termica

la macchina termica più semplice ha bisogno di due sorgenti termiche

TERMODINAMICA MACCHINE TERMICHE

Q_A calore a temperatura T₂ assorbito dalla macchina Q_B calore a temperatura T₁ ceduto dalla macchina

rendimento: h = L/Q

dQ = 0 dQ = 0

T

T

Q

> 0

Q

< 0 T

T

Q

Q

L

ciclo di CARNOT

dU < 0 dU > 0

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TERMODINAMICA MACCHINE TERMICHE

dispositivo in grado di trasformare calore in lavoro rendimento: h = L/Q va massimizzato!

ISOTERMA (se AàB)

dL = p dV = n RT dV/V à L = n RT ln (V_B/V_A) à Q = L + DU = n RT ln (V_B/V_A)

ADIABATICA (se AàB)

dU = n c_v dT à DU = n c_v (T_B-T_A) à Q = 0 à L = -DU = - n c_v (T_B-T_A) p V^g = costante

T V^g-1= costante T p^1/g-1 = costante

AD: T₂ V_A^g-1= T₁ V_D^g-1 BC: T₂ V_B^g-1= T₁ V_C^g-1 V_B/V_A= V_C/V_D

h = L/Q = (L_AB+L_BC+L_CD+L_DA)/Q_A=

alto rendimento se T₁à 0 e T₂ à ∞

= nRT_% lnV₍

V₎ − n c_, T_- − T_% + nRT_- lnV_/

V₀ − n c_, T_% − T_- nRT_%lnV₍

V₎

= nRT_% lnV₍

V₎ + nRT_- lnV_/ V₀ nRT_%lnV₍

V₎

= 1 + T_- lnV_/ V₀ T_%lnV₍ V₎

= 1 − T_- lnV_/ V₀ T_%lnV_/ V₀

= 1 − T_- T_%

fissati T₁ (refrigerante) e T₂ (caldaia) , alto lavoro utile L se V_C >> V_A alta potenza se elevato numero di giri al secondo: P = f L

ciclo di CARNOT

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TERMODINAMICA

^ESERCIZIO

acqua all'ebollizione a pressione atmosferica come sorgente ad alta temperatura.

Un ciclo della macchina dura 0,1 s.

Determinare il rendimento della macchina e la sua potenza.

L'espansione isoterma inizia da 300 kPa e termina a 150 kPa.

L = L_AB+L_BC+L_CD+L_DA =

= nRT_% lnV₍

V₎ − n c_, T_- − T_% + nRT_- lnV_/

V₀ − n c_, T_% − T_-

= nRT_% lnV₍

V₎ + nRT_- lnV_/ V₀

= R T_% lnV₍

V₎ + T_- lnV_/ V₀ AD: T₂ V_A^g-1= T₁ V_D^g-1

BC: T₂ V_B^g-1= T₁ V_C^g-1 V_B/V_A= V_C/V_D

= R T_% − T_- lnV₍ V₎

p V = n R T p_A V_A = p_B V_B

V_B/V_A = p_A/p_B = 300 kPa/150 kPa= 2

= 8,31 x 100 ln 2 = 576 J à P = f L = 5760 W ISOTERMA (se AàB)

L = n RT ln (V_B/V_A) ADIABATICA (se AàB) L = - n c_v (T_B-T_A)

h = ^{1 −} _T^T-

% = T_% − T_-

T_% = 100 K

373,15 K = 26,8 %

Queste sono le date della prova scritta. Su richiesta del singolo studente fisserò un orale prima del giorno previsto per la

verbalizzazione congiunta con Fondamenti di fisica medica:

martedì 1 febbraio (verbalizzazione martedì 8 febbraio) martedì 15 febbraio (verbalizzazione martedì 22 febbraio) mercoledì 1 giugno (verbalizzazione giovedì 9 giugno)

giovedì 16 giugno (verbalizzazione giovedì 23 giugno) martedì 5 luglio (verbalizzazione martedì 12 luglio)

lunedì 5 settembre (verbalizzazione martedì 6 settembre)

martedì 13 settembre (verbalizzazione martedì 20 settembre)

Prossime lezioni (gennaio): Lun 17 Merc 19 x 2 Lun 24 x 2

4 esercizi di meccanica + 2 di termodinamica in 2 ore

=>

=?

= λ S

=>

=?

= h S ∆T

=>

=?

= εσ S T

costante di Stefan-Boltzmann σ = 5,67 x 10

W/m

K

l (T) = l(T

) [1+ a (T-T

)]

∆ℓ

ℓ

= α ∆T

∆V

V

= γ ∆T = 3α ∆T

DILATAZIONE TERMICA TRASMISSIONE DEL CALORE

FORMULARIO

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TRASFORMAZIONI ^FORMULARIO

dU = n c_v dT energia interna di un gas perfetto dQ = dL + dU 1° principio della termodinamica p V = n R T equazione di stato dei gas perfetti

h = L/Q_A = 1 − T_- T_%

ISOTERMA

p_A A

p_B B

V_B V_A

ISOBARA

A B

V_B V_A

p

ISOCORA

p_B

A B

p_A

V

ADIABATICA

p_A

p_B B

V_B V_A

A

dL = p dV = n RT dV/V à à L_AàB = n RT ln (V_B/V_A)

p V

= costante

monoatomici γ = 5/3 = 1,67 biatomici γ = 7/5 = 1,40 poliatomici γ = 4/3 = 1,33

TERMODINAMICA

Una macchina termica utilizza una mole di gas perfetto biatomico e compie il ciclo A->B->C->A dove la trasformazione A->B è isoterma, la trasformazione B->C è isobara e la trasformazione C->A è adiabatica. Sapendo che p_A = 200 kPa, p_B = 100 kPa e V_A = 20 x 10^-3 m³ ricavare, dopo aver disegnato la trasformazione:

a) i valori di pressione, volume e temperatura in A, B, C b) il rendimento della macchina termica.

B A

C p_A

p_B,C

V_B V_A V_C

A:(200 kPa; 20 x 10^-3 m³;481,3 K) pV = n RT à T = pV/R

B:(100 kPa; 40 x 10^-3 m³;481,3 K) pV = n RT à V = RT/p pV = cost

C:(100 kPa; pV^g = cost

p_AV_A^g = p_CV_C^g

200 x 20^1,4 = 100 x V_C^1,4 32,8 x 10^-3 m³;

pV = n RT à T = pV/R 394,7 K)

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ESERCIZIO

TERMODINAMICA

Una macchina termica utilizza una mole di gas perfetto biatomico e compie il ciclo A->B->C->A dove la trasformazione A->B è isoterma, la trasformazione B->C è isobara e la trasformazione C->A è adiabatica. Sapendo che p_A = 200 kPa, p_B = 100 kPa e V_A = 20 x 10^-3 m³ ricavare, dopo aver disegnato la trasformazione:

a) i valori di pressione, volume e temperatura in A, B, C b) il rendimento della macchina termica.

= 9,1 % A:(200 kPa; 20 x 10^-3 m³;

C:(100 kPa;

B A

C p_A

p_B,C

V_B V_A V_C

481,3 K) B:(100 kPa; 40 x 10^-3 m³;481,3 K)

32,8 x 10^-3 m³;394,7 K) h = L/Q_A = (L_AàB+L_BàC+L_CàA)/Q_ASS

h_Carnot =

L_AàB = n RT ln (V_B/V_A) = R 481,3 ln(40/20) L_BàC = p (V_C-V_B) = 100 k (32,8-40) x 10^-3

L_CàA = - n c_v (T_A-T_C) = - 5/2 R (481,3 – 394,7) Q_ASS = L_AàB = n RT ln (V_B/V_A) = R 481,3 ln(40/20) 1- 394,7/481,3 = 18%

T

T

T

T

Q

L

Q

TERMODINAMICA MACCHINA FRIGORIFERA

T

T

Q

Q

L

L

> 0

L

< 0 Q

< 0

Q

> 0

Q_A = n RT₂ ln (V_A/V_B) < 0 Q_B = n RT₁ ln (V_C/V_D) > 0

V_A V_D V_B V_C Q_A = L + Q_B

h = L/Q_A

Q_B = Q_A - L = L/h - L = L (1/h – 1) COP = Q_B/L = 1/h – 1

coefficiente di prestazione

= T_- T_% − T_-

= T_% − T_- T_%

= 1 − T_- T_%