ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA INGEGNERIA INFORMATICA (PROF. ACCASCINA) PROVA SCRITTA DELL’8 LUGLIO 1998 Tempo assegnato: 2 ore e 30 minuti PRIMO ESERCIZIO [7 punti] Sia A il sottoinsieme di R

ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA (PROF. ACCASCINA) PROVA SCRITTA DELL’8 LUGLIO 1998

Tempo assegnato: 2 ore e 30 minuti

PRIMO ESERCIZIO [7 punti]

Sia A il sottoinsieme di R⁴ formato dalle quaterne (x, y, z, w) soddisfacenti il seguente sistema di equazioni:







2x + 3y − w = 1

y + z = 2

x + 2y − z + 2w = 0

Dimostrare che A ha la cardinalit`a del continuo e trovare una corrispondenza biunivoca tra R e A.

SECONDO ESERCIZIO [8 punti]

In un gruppo G sia data la seguente relazione:

g∼ h se e solo se esiste un elemento k ∈ G tale che h = k⁻¹gk.

1. Dimostrare che questa relazione `e di equivalenza.

2. Dimostrare che [g]_∼`e formata dal solo elemento g se e solo se gk = kg per ogni elemento k di G.

3. Determinare l’insieme σ3/∼, dove (σ3,◦) `e il gruppo delle trasformazioni su 3 elementi con l’operazione di composizione.

TERZO ESERCIZIO [8 punti]

Si consideri la matrice:

A =





1 1 −2 0 2 −2 1 0 −1





1. Determinare una matrice di Jordan J ed una matrice M ∈ GL (3, R) tale che J = M⁻¹AM .

2. Calcolare, se `e possibile, √ A.

3. Determinare una matrice B∈ M (3, R) avente gli stessi autovalori di A, ma tale che√

A6=√ B.

QUARTO ESERCIZIO [7 punti]

Il quarto esercizio riguarda argomenti non facenti parte del programma del’anno accademico 1999-2000.

ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA (PROF. ACCASCINA) RISOLUZIONE DEL TEMA D’ESAME DELL’8 LUGLIO 1998

PRIMO ESERCIZIO

Verifichiamo innanzitutto che il sistema assegnato sia risolubile. Per far ci`o consideriamo la matrice dei coefficienti del sistema





2 3 0 −1

0 1 1 0

1 2 −1 2



,

e ne calcoliamo il rango. Per far ci`o possiamo considerare il minore

 2 3 0 1



che si ottiene intersecando le prime due righe con le prime due colonne della matrice dei coefficienti. Poich´e questo minore ha determinante non nullo, per calcolare il rango della matrice `e sufficiente considerare i minori di dimensione 3 che lo contengono. Uno di questi `e





2 3 0

0 1 1

1 2 −1





il cui determinante `e−3. Dunque il rango della matrice `e 3. Poich´e la matrice completa del sistema ha 3 righe e 5 colonne il suo rango non pu`o superare 3 ed `e, quindi, esattamente uguale a 3 (il rango della matrice completa non pu`o essere inferiore a quello della matrice del sistema). Per il teorema di Rouch´e-Capelli il sistema `e risolubile.

Risolviamo allora il sistema: determiniamone innanzitutto una soluzione par- ticolare. Poich´e il minore formato dalle prime tre colonne `e non nullo possia- mo fare ci`o assegnando alla variabile w un valore arbitrario (ad esempio 0) e risolvendo poi il sistema Crameriano cos`ı ottenuto:







2x + 3y = 1

y + z = 2

x + 2y − z = 0

che ha come soluzione x =−1, y = 1, z = 1. Risolviamo ora il sistema omogeneo associato al sistema dato







2x + 3y − w = 0

y + z = 0

x + 2y − z + 2w = 0

Assegnamo a w il valore 1 e otteniamo il sistema







2x + 3y = 1

y + z = 0

x + 2y − z = −2

che ha come soluzione x = 3, y = −5/3, z = 5/3. Dunque le soluzioni del sistema possono essere cos`ı espresse











x = −1 + 3t

y = 1 − ⁵₃t z = 1 + ⁵₃t

w = t

Dunque la funzione f : R→ A definita da f (t) = (−1 + 3t, 1 − 5/3t, 1 + 5/3t, t) realizza una corrispondenza biunivoca tra R e A che, pertanto ha la cardinalit`a del continuo.

SECONDO ESERCIZIO

1. Dobbiamo verificare che la relazione∼ `e riflessiva, simmetrica e transitiva.

(a) ∼ `e riflessiva: infatti per ogni g ∈ G, si ha che g = 1⁻¹G g1G, e, dunque g∼ g.

(b) ∼ `e simmetrica: infatti se g ∼ h allora esiste k ∈ G tale che h = k⁻¹gk.

Moltiplicando entrambi i membri di questa relazione a sinistra per k e a destra per k⁻¹ otteniamo la seguente khk⁻¹ = g. Posto ¯k = k⁻¹, risulta allora g = ¯k⁻¹h¯k ovvero h∼ g.

(c) ∼ `e transitiva: infatti se g ∼ h e h ∼ l allora esistono k, j ∈ G tali che h = k⁻¹gk e l = j⁻¹hj. Ma allora l = j⁻¹ k⁻¹gk
j = (kj)⁻¹g (kj) ovvero g∼ l.

2. La classe [g]_∼ `e formata da tutti gli elementi del tipo k⁻¹gk al variare di k∈ G.

Ma allora [g]_∼ `e formata dal solo g se e solo se k⁻¹gk = g per ogni k ∈ G.

Moltiplicando a sinistra per k entrambi i membri di questa relazione, troviamo la relazione equivalente gk = kg per ogni k∈ G.

3. Elenchiamo innanzitutto gli elementi di σ3. Questi sono Id =

 1 2 3 1 2 3



r1=

 1 2 3 2 3 1



r2=

 1 2 3 3 1 2



s1=

 1 2 3 1 3 2



s2=

 1 2 3 3 2 1



s3=

 1 2 3 2 1 3



In base a quanto detto al punto 2 si ha che [Id]_∼={Id}. Per ogni altro elemento g∈ σ3`e necessario calcolare k<sup>−1</sup>gk al variare di k in σ3. Osserviamo per`o che, se per qualche k si ha kg = gk, allora k⁻¹gk = g. In particolare se k `e una potenza di g si ha che k⁻¹gk = g.

Determiniamo allora [r₁]_∼: poich´e r₂ = r²₁, e r₁◦ Id = Id ◦r1, `e sufficiente calcolare s⁻¹₁ ◦ r1◦ s1, s⁻¹₂ ◦ r1◦ s2, s⁻¹₃ ◦ r1◦ s3. Dunque:

s⁻¹₁ ◦r1◦s1=

 1 2 3 1 3 2



◦

 1 2 3 2 3 1



◦

 1 2 3 1 3 2



=

 1 2 3 3 1 2



= r₂,

s⁻¹₂ ◦r1◦s2=

 1 2 3 3 2 1



◦

 1 2 3 2 3 1



◦

 1 2 3 3 2 1



=

 1 2 3 3 1 2



= r2,

s⁻¹₃ ◦r1◦s3=

 1 2 3 2 1 3



◦

 1 2 3 2 3 1



◦

 1 2 3 2 1 3



=

 1 2 3 3 1 2



= r2. Ma allora [r1]_∼={r1, r2}.

Determiniamo ora [s1]_˜. Come prima non calcoliamo s⁻¹₁ ◦ s1◦ s1e Id⁻¹◦s1◦ Id.

Ora

s⁻¹₂ ◦s1◦s2=

 1 2 3 3 2 1



◦

 1 2 3 1 3 2



◦

 1 2 3 3 2 1



=

 1 2 3 2 1 3



= s3,

s⁻¹₃ ◦s1◦s3=

 1 2 3 2 1 3



◦

 1 2 3 1 3 2



◦

 1 2 3 2 1 3



=

 1 2 3 3 2 1



= s2. E inutile proseguire oltre: infatti [s` 1]_˜ contiene a, b e c. Dunque deve necessa- riamente essere [s1]_˜={s1, s2, s3} (ricordiamo che le classi di equivalenza sono a due a due disgiunte).

TERZO ESERCIZIO

1. Calcoliamo il polinomio caratteristico della matrice A:

det(A− λI) =      

1− λ 1 −2

0 2− λ −2

1 0 −1 − λ

− λ + 2λ²− λ³=−λ (λ − 1)²

Dunque gli autovalori di A sono λ₁= 0 di molteplicit`a algebrica 1 e λ<sub>2</sub>= 1 di molteplicit`a algebrica 2.

Ricordiamo che la molteplicit`a algebrica di un autovalore fornisce la somma delle dimensioni di tutti i blocchi di Jordan relativi a quell’autovalore presenti nella forma canonica di Jordan della matrice. Avremo pertanto un blocco di Jordan di dimensione 1 relativo all’autovalore 0. Determiniamo un autovettore v1di A relativo all’autovalore 0. Se v1= (x, y, z) deve essere (A− 0 · I)^tv1= 0 ovvero







x + y − 2z = 0

2y − 2z = 0

x − z = 0

che, risolto, d`a x = y = z. Possiamo dunque scegliere come vettore v₁il vettore (1, 1, 1).

Consideriamo ora l’altro autovalore λ2 = 1: sia η l’endomorfismo di R³ la cui matrice rispetto alla base canonica{e1, e2, e3} di R³sia A, e sia η1= η− 1 · I.

Determiniamo le immagini dei vettori della base canonica tramite le potenze successive di η1 (dobbiamo proseguire fino a che troviamo una potenza ηⁱ₁ tale che dim ker ηⁱ₁= ma (1) = 2, ovvero dim Im ηⁱ₁= 1):

e₁ → e3 → −2e1− 2e2− 2e3

e₂ → e1+ e₂ → e1+ e₂+ e₃ e₃ → −2e1− 2e2− 2e3 → 2e1+ 2e₂+ 2e₃

Si nota facilmente che dim Im η1= 2 e dim Im η₁²= 1 e, dunque, dim ker η1= 1 e dim ker η₁²= 2. Poich´e dim ker η1= 1 avremo un solo blocco di Jordan relativo

all’autovalore 1, e tale blocco avr`a dimensione 2. Consideriamo allora la seguente successione dei nuclei (sulla prima riga della tabella abbiamo riportato le loro dimensioni) e le seguenti catene di autovettori generalizzati:

0 < 1 < 2 {0} ⊂ ker η1 ⊂ ker η₁²

0 ← v₂ ← v₃

Occorre allora scegliere v₃in ker η₁²− ker η1: ad esempio scegliamo v₃= e₁+ e₃. Determiniamo cos`ı v2= η1(v3) =−2e1−2e2−e3. Consideriamo ora la matrice

M =





1 −2 1 1 −2 0 1 −1 1





le cui colonne sono, rispettivamente, le componenti dei vettori v₁, v₂ e v₃ rispetto alla base canonica. Risulta allora M⁻¹AM = J , dove

J =





0 0 0 0 1 1 0 0 1



.

2. Al punto 1 abbiamo determinato gli autovalori di A e la sua forma canonica di Jordan: in particolare da questa possiamo osservare che l’autovalore 0 ha indice 1 e l’autovalore 1 ha indice 2 (ricordiamo che l’indice di un autovalore coinci- de con la massima dimensione dei blocchi di Jordan relativi a quell’autovalore presenti nella forma canonica). Ora, `e possibile definire√

A, se e solo se, posto f (x) = √

x, la funzione f `e definita sullo spettro di A, ovvero se sono definiti i valori f (0) =√

0, f (1) =√

1, f⁰(1) = ¹

2√

1. Tali condizioni sono ovviamente soddisfatte. Dunque f `e definita sullo spettro di A. Per calcolare√

A possiamo seguire due strade:

• Calcoliamo√

J : questa si ottiene nel modo seguente

√J =





√0 0 0

0 √

1 ¹

2√ 1

0 0 √

1



=





0 0 0

0 1 1/2

0 0 1





Ora√

A = M√ J M⁻¹.

• Alternativamente osserviamo che il grado del polinomio minimo di A (che

`

e x (x− 1)²) `e 3 e, pertanto, esiste un polinomio p (x) di grado minore di 3 che coincide con f sullo spettro di A, ovvero p (0) = f (0), p (1) = f (1), p<sup>0</sup>(1) = f<sup>0</sup>(1). Se p (x) = a + bx + cx<sup>2</sup> (e, dunque, p<sup>0</sup>(x) = b + 2cx) ci`o significa che:







a = 0

a + b + c = 1

b + 2c = 1/2

Risolvendo questo sistema troviamo a = 0, b = 3/2, c = −1/2. Dunque

√A = p (A) ovvero

√A = 3 2A−1

2A²

e, sviluppando i calcoli, troviamo

√A =





2 0 −2

1 1 −2

3

2 −¹₂ −1



.

3. Si osserva immediatamente che √ A6= √

J , mentre A e J hanno, ovviamente, gli stessi autovalori.