Forma canonica di Jordan

(1)

Matrici diagonalizzabili

• Se una matrice A ha n autovalori λⁱ reali distinti, allora ha anche n autovettori vi reali linearimente indipendenti tra di loro:

A v_i = λiv_i, i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}.

• In questo caso la matrice A pu`o essere diagonalizzata utilizzando una trasformazione T le cui colonne coincidono con gli autovettori vi:

T = v₁ v₂ v₃ . . . v_n

• Sulla diagonale della matrice A = T⁻¹AT sono presenti tutti gli autovalori λ_i della matrice A secondo l’ordine dato dalla sequenza degli autovettori vi

presenti all’interno della matrice T:

A = T⁻¹AT =







λ₁ λ₂

λ₃ . ..

λ_n







• Una matrice A pu`o essere diagonalizzata se e solo se per essa `e possibile tro- vare un numero di autovettori v_i linearmente indipendenti pari alla dimensione n della matrice stessa.

• Una matrice A pu`o essere diagonalizzata anche se non ha tutti gli autovalori λ_i reali distinti.

• Le matrici non diagonalizzabili possono essere portate in forma canonica di Jordan. Tale forma canonica `e quella che maggiormente si avvicina ad una forma diagonale.

• Una matrice A pu`o essere diagonalizzata anche se ha degli autovalori λⁱ complessi coniugati. In questo caso gli autovettori vi sono complessi coniugati e la matrice di trasformazione T `e complessa.

(2)

Forma canonica di Jordan

• Siano λⁱ, per i = 1, . . . , h, gli autovalori “distinti” della matrice A e siano r_i i corrispondenti gradi di molteplicit`a all’interno del polinomio caratteristico:

∆A(λ) = (λ − λ¹)^r¹(λ− λ²)^r² . . .(λ− λ^h)^r^h

• Una matrice A posta in forma canonica di Jordan A ha la seguente forma diagonale a blocchi:

A = T⁻¹AT =







J₁ 0 . . . 0 0 J2 . . . 0 ... ... ... ...

0 0 . . . Jh







• Ad ogni autovalore distinto λⁱ della matrice A corrisponde un blocco di Jordan J_i di dimensione pari alla molteplicità algebrica r_i dell’autovalore λi, cioè pari al grado di molteplicità ri dell’autovalore λi all’interno del polinomio caratteristico ∆A(λ).

• A sua volta ogni blocco di Jordan Jⁱ ha la struttura di una matrice diagonale a blocchi:

J_i =







J_i,1 0 . . . 0 0 J_i,2 . . . 0 ... ... ... ...

0 0 . . . J_i,m_i







dim J_i = ri

i = 1, . . . , h

• Sulla diagonale del blocco di Jordan Jⁱ sono presenti mi miniblocchi di Jordan J_{i, j}, dove mi è la molteplicità geometrica dell’autovalore λi, cioè il numero di autovettori linearmente indipendenti vi,j associati all’autovalore λi.

• La struttura di tutti i miniblocchi di Jordan J^{i, j} `e la seguente:

J_i,j =







λ_i 1 0 . . . 0 0 0 λi 1 . . . 0 0 0 0 λi . . . 0 0 ... ... ... ... ... ...

0 0 0 . . . λi 1 0 0 0 . . . 0 λi







dim J_i,j = νi,j

j = 1, . . . , mi

(3)

• La dimensione νî,j di ciascun miniblocco di Jordan Ji, j è pari al dimensione della catena di “autovettori generalizzati” che è possibile determinare a partire dall’autovettore vi,j.

• Valgono le seguenti relazioni:

n = ^X^h

i=1

r_i, r_i =

m_i

X

j=1

ν_i,j.

• La matrice A è diagonalizzabile se e solo se la dimensione νî,j di tutti i miniblocchi di Jordan Ji, j è unitaria: ν_i,j = 1.

• In questo caso tutti i miniblocchi di Jordan J^{i, j} = λi coincidono con il corrispondente autovalore λi e tutti i blocchi di Jordan Ji sono diagonali e caratterizzati dallo stesso autovalore λi:

J_{i, j} = λi, J_i =







λ_i 0 . . . 0 0 λi . . . 0 ... ... ... ...

0 0 . . . λi







,

dim J_i = ri

i = 1, . . . , h

• Una matrice A è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità algebrica rⁱ di ciascun autovalore λ_i è uguale alla molteplicità geometrica m_i, cioè se il numero m_i di autovettori vi,j linearmente indipendenti associati a ciascun autovalore λi

`e uguale alla molteplicit`a algebrica ri dell’autovalore λi all’interno del polinomio caratteristico ∆A(λ).

• ^Esempio. Matrice in forma canonica di Jordan:

A=







−1 1 0 −1

−3

−3 1 0 −3







=







J_1,1 J_2,1

J_2,2







=





J₁ J₂



,

∆^A(λ) = (λ + 1)²(λ + 3)³ n= 5, h = 2 λ₁ = −1, λ₂ = −3

r₁ = 2, r₂ = 3 m₁ = 1, m₂ = 2 La matrice A ha due autovalori distinti λ₁ = −1 e λ² = −3. L’autovalore λ¹ ha molteplicità algebrica r₁ = 2 e molteplicità geometrica m1 = 1. L’autovalore λ2 ha molteplicità algebrica r₂ = 3 e molteplicità geometrica m2 = 2. Il blocco di Jordan J1 ha dimensione r₁ = 2 ed è composto da un solo miniblocco J1,1. Il secondo blocco di Jordan J₂ ha dimensione r₂ = 3 ed è composto da m₂ = 2 miniblocchi J_2,1 e J_2,2.

(4)

• Gli mⁱ autovettori linearmente indipendenti vi,j associati all’autovalore λi si determinano risolvendo il seguente sistema lineare autonomo:

(λiI− A)v^i,j = 0, j = 1, . . . , mi.

• Il numero mⁱ degli autovettori linearmente indipendenti vi,j `e pari al numero di miniblocchi Ji,j presenti all’interno del blocco di Jordan Ji.

• Nel caso in cui si abbia mⁱ < r_i, il numero degli autovettori vi,j linearmente indipendenti non `e sufficiente per diagonalizzare la matrice. In questo caso occorre procedere alla determinazione delle catene v^(k)_i,j di autovettori generalizzati per i = 1, 2, . . . , h, j = 1, 2, . . . , mi e k = 1, 2, . . . , νi,j.

• Gli autovettori generalizzati v^i,j^(k) si determinano risolvendo il seguente sistema di equazioni lineari:











(A − λⁱI)v_i,j⁽²⁾ = v_i,j⁽¹⁾ = vi,j

(A − λⁱI)v_i,j⁽³⁾ = v_i,j⁽²⁾

... ...

(A− λⁱI)v^(ν_i,j^i,j⁾ = v_i,j^(ν^i,j⁻¹⁾

Il primo autovettore v⁽¹⁾_i,j = vi,j `e noto. Risolvendo la prima equazione del sistema si ricava l’autovettore generalizzato v⁽²⁾_i,j , il quale, sostituito nell’equazione successiva permette di determinare l’autovettore generalizzato v⁽³⁾_i,j, . . . e cos`ı via.

• La particolare struttura “quasi diagonale” dei miniblocchi di Jordan J^i,j si ottiene inserendo catene di autovettori generalizzati v^(k)_i,j tra le colonne della matrice di trasformazione T:

T = . . . v_i,j⁽¹⁾ v_i,j⁽²⁾ . . . v^(ν_i,j^i,j⁾ . . .

• Se la molteplicità geometrica mⁱ è uguale alla molteplicità algebrica ri, cioè se mi = ri, la catena di autovettori generalizzati v_i,j^(k) ha lunghezza unitaria ed

`e costituita dal solo autovettore vi,j.

(5)

• Esempio numerico in Matlab:

clc; echo on

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Matrice da portare in forma canonica di Jordan

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A =sym([...

73/129, -18/43, 1/129, 383/129, -1213/258;

2610/989, -2419/989, -687/989, 1759/989, -6889/1978;

2885/989, 655/989, -4039/989, 2310/989, -3905/989;

2273/989, -2079/989, 1565/989, -326/989, -5915/1978;

4456/2967, -3052/989, 9190/2967, 4778/2967, -13964/2967]);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Il comando "jordan(A)" porta la matrice A in forma canonica di Jordan

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

[V,AJ]=jordan(A);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

AJ %%% Forma di Jordan della matrice A

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

AJ =

[ -3, 1, 0, 0, 0]

[ 0, -3, 0, 0, 0]

[ 0, 0, -1, 1, 0]

[ 0, 0, 0, -1, 0]

[ 0, 0, 0, 0, -3]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

V %%% Matrice degli autovettori generalizzati della matrice A

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

V =

[ -522/989, -242/989, 4760/2967, 1231/989, 6450201/4106690]

[ -406/989, -3334/2967, 2380/2967, 3334/2967, -142348/293335]

[ -290/989, -3275/2967, 2975/2967, 3275/2967, -903187/1642676]

[ -348/989, -418/989, 1785/989, 418/989, -186498/2053345]

[ -580/989, -718/2967, 4760/2967, 718/2967, 966065/821338]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Verifica: le colonne di V sono gli autovettori generalizzati di A

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(A-(-3)*eye(5))*V(:,1)==0 % --> Vero (A-(-3)*eye(5))*V(:,2)==V(:,1) % --> Vero (A-(-1)*eye(5))*V(:,3)==0 % --> Vero (A-(-1)*eye(5))*V(:,4)==V(:,3) % --> Vero (A-(-3)*eye(5))*V(:,5)==0 % --> Vero

(6)

• L’evoluzione libera di un sistema discreto `e la seguente:

x(k) = A^kx₀ = (TAT⁻¹)^kx₀ = TA^kT⁻¹x₀

= T







J₁ 0 . . . 0 0 J₂ . . . 0 ... ... ... ...

0 0 . . . Jh







k

T⁻¹x₀ = T







J^k₁ 0 . . . 0 0 J^k₂ . . . 0 ... ... ... ...

0 0 . . . J^k_h







T⁻¹x₀

• L’evoluzione libera di un sistema tempo-continuo `e la seguente:

x(t) = e^Atx₀ = Te^AtT⁻¹x₀

= T e







J₁ 0 . . . 0 0 J₂ . . . 0 ..

. .. .

.. .

.. . 0 0 . . . J_h







t

T⁻¹x₀ = T







e^J¹^t 0 . . . 0 0 e^J²^t . . . 0 ... ... ... ...

0 0 . . . e^J^h^t







T⁻¹x₀

• Per poter calcolare la potenza A^k e l’esponenziale e^At della matrice gene- rica A `e sufficiente saper calcolare la potenza e l’esponenziale del generico miniblocco di Jordan di dimensione ν:

J =







λ 1 0 . . . 0 0 0 λ 1 . . . 0 0 0 0 λ . . . 0 0 ... ... ... ... ... ...

0 0 0 . . . λ 1 0 0 0 . . . 0 λ







= λI + N

• La matrice J pu`o essere espressa come somma della matrice diagonale λI e di una matrice nilpotente N che ha elementi non nulli e unitari solo sulla prima sovradiagonale. Nel caso ν = 5, si ha:

N =







0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0







(7)

• Le potenze della matrice N hanno la seguente struttura:

N² =







0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0







N³ =







0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0







. . .

cio`e, la matrice N^k ha elementi non nulli solo sulla k-esima sovradiagonale.

• La matrice N `e nilpotente di ordine ν perch`e soddisfa alla seguente relazione:

N^ν = 0 dove ν = dim N.

• La potenza k-esima della matrice J pu`o essere espressa nel seguente modo:

J^k = (λI + N)^k = λ^kI +







k 1





λ^k⁻¹N+







k 2





λ^k⁻²N² + . . . + N^k

• Sapendo che le potenze N^h sono nulle per h ≥ ν, si ha che:

J^k = (λI + N)^k

= λ^kI+







k 1





λ^k⁻¹N+







k 2





λ^k⁻²N² + . . . +







k ν−1





λ^k^−ν+1N^ν⁻¹

=







λ^k kλ^k⁻¹ ^k^(k−1)₂ λ^k⁻² . . .





k ν−2



λ^k^−ν+2





k ν−1



λ^k^−ν+1

0 λ^k kλ^k⁻¹ . . . ... ^^ k

ν−2



λ^k^−ν+2

0 0 λ^k . . . ... ...

... ... ... ... ... ...

0 0 0 . . . λ^k kλ^k⁻¹

0 0 0 . . . 0 λ^k







• Con il simbolo







k h





 si `e indicato il seguente coefficiente binomiale:







k h





 = k(k − 1) . . . (k − h + 1) h!

• Le funzioni f(λ, k) che compaiono all’interno della matrice J^k sono i modi del sistema discreto associati all’autovalore λ.

(8)

• Nel caso tempo-continuo l’esponenziale e^Jt si calcola nel seguente modo:

e^Jt = e^(λI+N)t = e^λIte^Nt = e^λtIe^Nt

= e^λt ^X^∞

n=0

tⁿ

n!Nⁿ = e^λt^ν^X⁻¹

n=0

tⁿ n!Nⁿ

= e^λtI+ tN + ^t₂²N² + . . . + _(ν−1)!^t^ν⁻¹ N^ν⁻¹

=







e^λt te^λt ^t₂²e^λt _3!^t³e^λt . . . ^t^ν⁻³

(ν−3)!e^λt ^t^ν⁻²

(ν−2)!e^λt ^t^ν⁻¹

(ν−1)!e^λt 0 e^λt te^λt ^t₂²e^λt . . . ... _(ν−3)!^t^ν⁻³ e^λt _(ν−2)!^t^ν⁻² e^λt 0 0 e^λt te^λt . . . ... ... _(ν−3)!^t^ν⁻³ e^λt

0 0 0 e^λt . . . ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 . . . e^λt te^λt ^t₂²e^λt

0 0 0 0 . . . 0 e^λt te^λt

0 0 0 0 . . . 0 0 e^λt







• Le funzioni del tempo f(λ, t) che compaiono all’interno della matrice e^Jt sono i modi del sistema tempo-continuo associati all’autovalore λ.

• La forma di Jordan `e valida anche nel caso di autovalori λⁱ complessi coniugati. Esempio numerico in Matlab:

A =[ 1 6 -3 -7; --> AJ=[-5.15+4.77i 0 0 0;

-5 -8 2 7; 0 -5.15-4.77i 0 0;

-20 -16 -15 -17; 0 0 -2.85+3.86i 0;

10 6 8 6] 0 0 0 -2.85-3.86i]

[T,AJ]=eig(A) % Porta la matrice A in forma di Jordan AJ

T=[-0.49-0.17i -0.49+0.17i 0.67 0.67;

0.54 0.54 -0.60+0.25i -0.60-0.25i;

0.30-0.42i 0.30+0.42i -0.31-0.05i -0.31+0.05i;

-0.22+0.36i -0.21-0.36i -0.01-0.13i -0.01+0.13i]

• Nel caso di autovalori λⁱ complessi coniugati anche le matrici T e AJ sono “complesse” e quindi di “problematica” utilizzazione. In questo caso si preferisce utilizzare la forma reale di Jordan.

(9)

• Forma reale di Jordan. Si faccia riferimento ad una matrice A di dimensione 6 caratterizzata da due autovalori complessi coniugati λ1,2 con molteplicit`a algebrica r = 3 e molteplicit`a geometrica m = 1:

λ_1,2 = σ ± jω, ∆A(λ) = (λ − λ¹)³(λ − λ²)³ = [(λ − σ)² + ω²]³ Sia v1, v2 e v3 la catena di autovettori generalizzati associati all’autovettore complesso v1. Applicando ad A la trasformazione di coordinate “complessa”:

x = T x, T = v₁ v₂ v₃ v^∗₁ v^∗₂ v₃^∗ si ottiene una matrice “complessa” A in forma canonica di Jordan:

A = T⁻¹AT =







λ₁ 1 0 0 0 0 0 λ₁ 1 0 0 0 0 0 λ₁ 0 0 0 0 0 0 λ^∗₁ 1 0 0 0 0 0 λ^∗₁ 1 0 0 0 0 0 λ^∗₁







Si ottengono due miniblocchi di Jordan “complessi” di dimensione 3.

• Siano v^iR e viI la parte reale e la parte immaginaria dell’autovettore generalizzato vi. Utilizzando la seguente trasformazione di coordinate:

x = ˜Tx,˜ T˜ = v_1R v_1I v_2R v_2I v_3R v_3I la matrice A viene posta in “forma reale di Jordan”:

A˜ = ˜T⁻¹A ˜T =







σ ω 1 0 0 0

−ω σ 0 1 0 0

0 0 σ ω 1 0

0 0 −ω σ 0 1

0 0 0 0 σ ω

0 0 0 0 −ω σ







(1)

• In questo modo le evoluzioni libere dei sistemi lineari possono essere espresse come combinazione lineare di soli termini reali:

x(k) = A^kx₀ = ˜T Ã^kT˜⁻¹x₀, x(t) = eÂtx₀ = ˜TeÂt^˜ T˜⁻¹x₀.

(10)

• Indichiamo con |λ| e θ il modulo e la fase del numero complesso λ = σ +jω:











|λ| = √

σ² + ω² θ = arctan ω

σ











σ = |λ| cos θ ω = |λ| sin θ

|λ| λ θ

σ ω

• Il miniblocco reale di Jordan J pu`o essere espresso nel seguente modo:

J =







σ ω

−ω σ





 = |λ|







cos θ sin θ

− sin θ cos θ





.

• Valgono le seguenti relazioni:

e^Jt =







e^σtcos ωt e^σtsin ωt

−e^σtsin ωt e^σtcos ωt





, J^k = |λ|^k







cos kθ sin kθ

− sin kθ cos kθ





.

• Esempio in Matlab:

syms sig w t J=[sig w; -w sig]

EJt=simplify(expm(J*t))

J = EJt =

[ sig, w] [ exp(sig*t)*cos(t*w), exp(sig*t)*sin(t*w)]

[ -w, sig] [ -exp(sig*t)*sin(t*w), exp(sig*t)*cos(t*w)]

• La potenza k-esima Ã^k della matrice reale di Jordan Ã in (1) è la seguente:

A˜^k=







|λ|^k

"

cos kθ sin kθ

− sin kθ cos kθ

#

k|λ|^k⁻¹

"

cos(k−1)θ sin(k−1)θ

− sin(k−1)θ cos(k−1)θ

#

k(k−1) 2 |λ|^k⁻²

"

#

0 |λ|^k

"

cos kθ sin kθ

− sin kθ cos kθ

#

k|λ|^k⁻¹

"

#

0 0 |λ|^k

"

cos kθ sin kθ

− sin kθ cos kθ

#







• L’esponenziale eÂt^˜ della matrice reale di Jordan Ã in (1) è la seguente:

e^At^˜ =







e^σtcos ωt e^σtsin ωt te^σtcos ωt te^σtsin ωt ^t₂²e^σtcos ωt ^t₂²e^σtsin ωt

−e^σtsin ωt e^σtcos ωt −te^σtsin ωt te^σtcos ωt −^t₂²e^σtsin ωt ^t₂²e^σtcos ωt 0 0 e^σtcos ωt e^σtsin ωt te^σtcos ωt te^σtsin ωt 0 0 −e^σtsin ωt e^σtcos ωt −te^σtsin ωt te^σtcos ωt

0 0 0 0 e^σtcos ωt e^σtsin ωt

0 0 0 0 −e^σtsin ωt e^σtcos ωt







(11)

Esempio. Dato il seguente sistema dinamico:

˙x(t) =







1 0 1

2 1 1

1 −1 2







x(t), x₀ =







1 1 1







determinare l’evoluzione libera x(t) del sistema a partire dalla condizione iniziale x(0) = x₀. La soluzione formale del problema `e la seguente:

x(t) = e^A^tx₀ = Te^A^tT⁻¹x₀

dove T `e la matrice di trasformazione che “diagonalizza” la matrice A. Per determinare T occorre calcolare gli autovalori e gli autovettori di A:

det(sI − A) =

s− 1 0 −1

−2 s − 1 −1

−1 1 s− 2

= s(s² − 4s + 5) = s[(s − 2)² + 1)]

Gli autovalori sono s_1,2 = 2 ± j e s³ = 0. L’autovettore complesso v1 corrispondente all’autovalore s₁ = 2 + j `e il seguente:

(s1I− A)v¹= o ⇔







1 + j 0 −1

−2 1 + j −1

−1 1 j







v₁= o ⇒ v₁=







1 2 − j 1 + j







= v1R+ jv1I

L’autovettore reale v₃ corrispondente all’autovalore s₃ = 0 `e:

(s3I− A)v³ = −Av³ = o ↔ −







1 0 1

2 1 1

1 −1 2







v₃ = o → v₃ =







1

−1







La seguente matrice di trasformazione T:

T = ^h v_1R v_1I v₃ ⁱ =







1 0 1

2 −1 −1 1 1 −1







, T⁻¹ = 1

5







2 1 1

1 −2 −3 3 1 −1







porta la matrice A nella forma “reale” di Jordan:

A = T⁻¹AT =







2 1 0

−1 2 0 0 0 0







L’evoluzione libera x(t) del sistema a partire dalla condizione iniziale x0 `e quindi la seguente:

x(t) = T







e^2tcos t e^2tsin t 0

−e^2tsin t e^2tcos t 0

0 0 1







T⁻¹x₀.