MECCANICA RAZIONALE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
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aSessione, appello unico, 01 settembre 2015
LEGENDA. Il numero che compare a sinistra di ogni domanda `e il pun- teggio massimo assegnato alla risposta completa e corretta. Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate e devono essere ripor- tate sulla cartella intestata a sei facciate. Si deve consegnare solo una cartella a sei facciate contenente il presente testo, anche nel caso in cui ci si ritiri, senza fogli di brutta copia. La soglia per la sufficienza `e 18/30. Tempo a disposizione: 120 minuti.
1. Si consideri una lastra circolare piana, omogenea, di raggio R e densit`a [4]
ρ, avente un foro di raggio a il cui centro C `e posto a distanza d dal centro O della lastra stessa. Scrivere, senza riportare i calcoli, il momento di inerzia della lastra forata rispetto all’asse passante per O e C.
2. Nel piano cartesiano (x, y), si consideri un punto materiale di massa m [9]
vincolato a muoversi lungo l’asse x. Il punto `e connesso tramite una molla ideale di costante k1 al punto di coordinate (0, a) e tramite una molla ideale di costante k2 al punto di coordinate (b, c). Sul sistema agisce la gravit`a.
(a) Si determinino la posizione di equilibrio del punto materiale nel caso di vincolo ideale (assenza di attrito) e la reazione vincolare agente su di esso.
(b) Si determinino le posizioni di equilibrio del punto nel caso di vincolo non ideale, in presenza di attrito statico di coefficiente fs.
3. Esporre la teoria dei battimenti e della risonanza per un oscillato- [12]
re armonico forzato (con forzante di tipo coseno, ad esempio) non smorzato.
4. Due punti materiali di massa rispettivamente m1ed m2 (m1 6= m2) sono [10]
vincolati a muoversi senza attrito su un’asta inclinata rispetto al piano orizzontale di un angolo α, sotto l’azione della gravit`a. I due punti sono connessi da una molla ideale di costante elastica k (si consideri l’asta di lunghezza infinita).
(a) Si scrivano le equazioni di Newton per i due punti materiali, proiettando parallelamente ed ortogonalmente all’asta.
(b) Determinare le reazioni vincolari sui due punti materiali.
(c) Scrivere e risolvere la prima equazione cardinale della dinamica per il sistema considerato.
(d) Scrivere e risolvere l’equazione differenziale soddisfatta dalla dif- ferenza delle posizioni dei due punti materiali.
