Indici di capacità

Indici di capacità

di un processo produttivo

1. Introduzione

La norma UNI EN ISO 8402 definisce un processo come “un insieme di risorse e di attività tra loro interconnesse che trasformano degli elementi in ingresso in elementi in uscita”. La norma chiarisce inoltre che le “risorse” possono comprendere personale, disponibilità finanziaria, mezzi, apparecchiature, tecnologie e metodologie. In generale, qualsiasi tipologia di processo si consideri, l’obiettivo è realizzare elementi in uscita (d’ora in poi per comodità li chiameremo prodotti o elementi) che siano il più possibile conformi a delle specifiche definite in fase di progetto. Il termine capacità di un processo indica l’abilità dello stesso a produrre elementi conformi alle specifiche. L’analisi della capacità dei processi (Process Capability Analysis) è un insieme di attività che, utilizzando tecniche statistiche, consente di quantificare la capacità e fornisce indicazioni per eventuali interventi migliorativi sul processo.

L’importanza dell’analisi della capacità dei processi è sottolineata anche nella norma UNI EN ISO 9004-4 che al punto 10.2 afferma quanto segue

“Si dovrebbe verificare che i processi siano in grado di realizzare prodotti conformi alle specifiche. Dovrebbero essere identificate le operazioni associate con le caratteristiche del prodotto o del processo che possono avere un effetto significativo sulla qualità del prodotto.

Dovrebbe essere stabilito un controllo appropriato per assicurare che queste caratteristiche rimangano nei limiti di specifica o che siano seguite modifiche o cambiamenti appropriati. La verifica dei processi dovrebbe comprendere materiali, attrezzature, sistemi di elaborazione dati e software, procedure e personale.”.

2. Capacità, limiti naturali e limiti di specificazione In un processo solitamente è ben individuabile una grandezza misurabile, detta caratteristica di qualità, strettamente legata con il prodotto finale. Di tale caratteristica sono di norma noti il valore obiettivo (detto anche valore target) ed i limiti di specificazione. In linea generale una caratteristica di qualità è caratterizzata da una variabilità intrinseca al processo produttivo, che si manifesta in oscillazioni rispetto al valore target. Quando il processo si trova in uno stato di controllo

statistico questa “variabilità naturale” può spesso essere descritta, almeno in modo approssimativo, dalla distribuzione normale. Indicando con X∼ N ( , ) µ σ la caratteristica di qualità si possono definire i limiti naturali di tolleranza del processo UNTL e LNTL ¹ (figura 2.1):

UNTL = + µ 3 σ LNTL = − µ 3 σ

Figura 2.1. Limiti naturali di tolleranza nella distribuzione normale Nel caso di distribuzione normale i limiti naturali di tolleranza includono il 99.73% dei valori della variabile, o in altre parole, solo lo 0.27%

dell’output del processo cade esternamente all’intervallo naturale di tolleranza: UNTL-LNTL. A differenza dei limiti di tolleranza, che dipendono esclusivamente dalle caratteristiche intrinseche del processo, i limiti di specificazione sono fissati generalmente su indicazioni derivanti dal progetto (in alcuni casi dall’esperienza o da studi empirici). Tali limiti vengono indicati con LSL e USL, limite di specificazione inferiore e superiore. Un elemento è definito non conforme (NC) se la misura riferita alla caratteristica di qualità non rientra nell’intervallo di specificazione: USL-LSL. Definiti i limiti naturali e di specificazione, per impostare l’analisi della capacità dei processi è opportuno ricordare che una scarsa capacità di un processo è sempre dovuta ad almeno una delle due cause seguenti (Montgomery, 1997): a) la variabilità del processo ( σ ) è troppo grande relativamente alla lunghezza dell’intervallo di specificazione (figura 2.2); b) il livello del processo è troppo lontano

1

dal punto centrale dell’intervallo di specificazione M USL LSL

= +

2 (figura 2.3).

Figura 2.2. Processo centrato con elevata variabilità

Figura 2.3. Processo non centrato

Gli studi sulla capacità dei processi possono essere condotti seguendo linee diverse. Per esempio, si può verificare se la caratteristica di qualità segue una distribuzione di probabilità con prefissate media e deviazione standard. Alternativamente, la capacità può essere misurata in termini di frazione di elementi non conformi, cioè la frazione di elementi in uscita che non rispetta le specifiche, oppure si può ricorrere a delle semplici misure quantitative dette indici di capacità.

3. L'indice C _p

Una semplice misura dell’abilità del processo a produrre elementi all’interno dei limiti di specificazione è l’indice di capacità C _p , detto anche indice di capacità potenziale:

C USL LSL

p = −

6 σ (3.1)

dove σ denota la deviazione standard di X. L’indice è dato dal rapporto tra l’intervallo di specificazione e l’intervallo naturale di tolleranza della caratteristica di qualità X. Sono desiderabili valori elevati dell’indice (almeno maggiori di 1) che indicano che il processo, se centrato, produce un’elevata frazione di elementi con misure comprese nell’intervallo di specificazione. Interessante è anche l’interpretazione di P

C p

= æ è çç ö

ø ÷÷

1 100

che rappresenta la percentuale dell’intervallo di specificazione utilizzato dal processo. Se X ∼ N ( , ) µ σ e µ = USL + LSL

2 -il punto centrale dell’intervallo di specificazione- allora la proporzione attesa, p, di elementi non conformi (NC) è data da

p d

= æ − èç ö

2 Φ σ ø÷ (3.2)

dove d USL LSL

= −

2 e Φ indica la funzione di ripartizione della normale standard. Segue dalla (3.1) che

C d

p = 3 σ ^(3.3)

e se µ = USL + LSL 2 allora

p = 2 Φ( − 3 C _p ) (3.4)

Quindi se C _p = 1 la proporzione attesa di NC è pari a 0.27%, tale valore è talvolta indicato come il valore minimo accettabile. Spesso nella pratica sono richiesti valori dell’indice pari a 1, 1.33, o 1.5, corrispondenti rispettivamente a USL-LSL=6 σ, 8σ o 9σ.

E’ importante notare che C _p = 1 non garantisce che la proporzione di NC sia effettivamente pari a 0.27%. Infatti quello che è garantito è che con l’assunzione X ∼ ^{N ( , )} µ σ , la proporzione di NC non è inferiore a 0.27%. Solo nel caso in cui µ = USL + LSL

2 il valore della proporzione attesa è del 0.27%. Di conseguenza, si nota che generalmente elevati valori di C _p , in assenza di informazioni sulla media, non garantiscono un’elevata capacità del processo.

L’andamento, sotto l’ipotesi di normalità, della proporzione minima possibile ( 2 Φ( − C 3 p ) ) di elementi NC al variare dei valori di C _p è illustrato nella tabella. 3.1.

C _p 2.00 1

^2/3

1

^1/3

1.00 2/3 1/3

2 Φ( − C 3 p ) 0.0

⁶

2%

0.002 ppm

0.0

⁴

57%

0.57 ppm

0.0063%

63 ppm

0.27%

2700 ppm

4.55%

45500 ppm

31.73%

317300 ppm Tabella 3.1. Proporzioni attese “minime” di elementi NC (ppm parti per milione). Fonte Kotz-Johnson (1993)

Quando viene fornito un solo limite di specificazione si usano gli indici unilaterali

C USL

pu = − µ

σ

3 (3.5)

C LSL

pl = µ − σ

3 (3.6)

In questa situazione le frazioni attese p _u e p _l di elementi NC sono rispettivamente

p USL

u = − æ − C pu

èç ö

ø÷ = −

1 Φ µ Φ 3

σ ( ) (3.7)

p _l = Φ( − 3 C _pl ) (3.8) si noti che quando C _pu = 1 si ha p u = 0.135% e USL- µ=3σ.

Nella tabella 3.2 sono riportati alcuni valori “guida” (Montgomery, 1997) degli indici di capacità con riferimento alla tipologia del processo al quale sono collegati.

Tipo di processo C _p C pu ( C pl )

Processo esistente 1.33 1.25

Nuovo processo 1.50 1.45

Caratteristiche di qualità critiche o legate a parametri di sicurezza per un processo esistente

1.50 1.45

Caratteristiche di qualità critiche o legate a parametri di sicurezza per un processo nuovo

1.67 1.60

Tabella 3.2. Valori raccomandati di degli indici di capacità.

Esempio 3.1

Si consideri un processo che produce pistoni per automobili. La caratteristica di qualità è il diametro del pistone. Il valore target T è 74 mm, la variabilità del processo è supposta nota σ = 0 01 . ed i limiti di specificazione sono: USL=74.05 e LSL=73.95. L’indice di capacità potenziale del processo vale:

C USL LSL

p = −

= −

6 =

74 05 73 95 6 0 01 1667 σ

. .

( . ) .

Una misura di utilità pratica che si può ricavare è la percentuale dell’intervallo di specificazione occupato dal processo:

P = æ C _p è çç ö

ø ÷÷

1 100

Nel nostro caso P = 1

1 667 100

. =59.98

il processo occupa circa il 60% dell’intervallo di specificazione. •

3.1. Stima di C _p

Quando la variabilità del processo non è nota è necessario ricorrere ad una stima basandosi su dati campionari. Tipicamente si utilizza come stimatore di σ la deviazione standard campionaria:

s n X _j X

j n

= é − −

ë ê ù

û ú

å =

1 1

2 1

1 2

( )

/

(3.9)

dove X

n X _j j

n

=

å = 1

1 .

Uno stimatore per C _p è quindi

C USL LSL s

d s s C

p = − = = p

6 3

σ (3.10)

Al fine di ricavare la distribuzione di  C _p è utile ricordare che se X è distribuita normalmente con varianza σ ² , allora

s ² ∼ 1 1

2 1 2

n − σ χ ^{n −} (3.11)

e ricordando che

C s

d s C

p p

− ¹ = 3 = − ¹

σ ∼ 1

1 ¹

1

n n C p

− ⁻

χ − (3.12)

dove χ n − 1 = χ n − 1 2 1 2

( ) ^/ , segue che la distribuzione di  C _p è data da

C _p ∼ C n

p n

−

−

1

χ

1

(3.13)

Dalla (3.13) risulta che la forma della densità di  C _p è influenzata da varie componenti: n, ampiezza del campione; d-semiampiezza dell’intervallo di specificazione; σ- variabilità del processo; C p - valore vero dell’indice di capacità. La figura 3.4 illustra il grafico di tale distribuzione per alcuni valori di n e d

C p

σ = 3 .

Figura 3.4. Densità di probabilità di  C _p per diversi valori dell’ampiezza

campionaria e di d / σ . Fonte: Kotz-Johnson, 1993

Per ricavare i momenti di  C p è sufficiente ricordare che dalla (3.13) si ha

C _p ∼C f

p

χ f ^(3.14)

dove f=n-1. L’espressione del momento r-esimo risulta quindi

E C f C E

f C E

f C

f r f

p r

r

p r f r r

p r

f r

r

p r

(  ) ( )

( )

( )

= =

= é

ë ê ù

û ú

= æ èç ö ø÷

é − ëê

ù ûú æ èç ö

ø÷

−

− 2

2 2 2

2

2

1 2

2 χ χ

Γ Γ

(3.15)

In particolare la media, la media quadratica e la varianza, risultano rispettivamente

E C f

f

f C

b C

p p

f

(  ) = æ èç ö p

ø÷

æ −

èç ö

ø÷

æ èç ö ø÷

2 =

1 2 2

1

1 2 Γ

Γ

(3.16)

E C f

f C

p p

(  ) ^{2 2}

= 2

− (3.17)

Var C f

f b C

p f p

(  ) =

− − æ

è ç ö

ø ÷

−

2

2 2 (3.18)

dove il termine b f , detto fattore di correzione, è pari

b f

f

f = æ f èç

ö ø÷

æ èç ö ø÷

æ −

èç ö

ø÷

2 2

1 2

1

2 Γ

Γ

(3.19)

Da quando esposto segue che lo stimatore

1 C  _p = b C _f  _p (3.20) è stimatore corretto per C _p , la cui varianza vale

Var C fb

f C

p f

(  ) ₁ p 2

2

2 1

= é − − ë ê ê

ù û ú

ú (3.21)

A scopo illustrativo, nella tabella 3.3 sono riportati alcuni valori del fattore di correzione b f al variare di f=n-1. Quando f > 14 una semplice formula approssimata per b f è

b _f ≅ − 1 3 f ⁻ 4

1 (3.22)

f 4 9 14 19 24 29

b

f

0.798 0.914 0.945 0.960 0.968 0.974

f 34 39 44 49 54 59

b

f

0.978 0.981 0.983 0.985 0.986 0.987

Tabella 3.3. Valori del fattore di correzione b _f (Kotz e Johnson, 1993) Si nota che al crescere della numerosità campionaria il fattore di correzione si avvicina all’unità.

Utilizzando l’approssimazione (3.22) è possibile riscrivere le varianze (3.18) e (3.21) utilizzando espressioni più semplici:

Var C f f

f f C

p p

(  ) ( )

( )( )

≅ +

− −

8 9

2 4 3 ²

2 (3.23a)

Var C f

f f C

p p

(  ) ( )

( )

1 8 9 2

16 2

≅ +

− (3.23b)

Al fine di esaminare alcuni importanti aspetti riguardo alle prestazioni degli stimatori di C _p , nella tabella 3.4 sono riportati i valori attesi e le relative deviazioni standard (D.S.) dello stimatore  C p per diversi valori di f e d / σ = 3 . Si noti che dal momento che E C C _p (  ) _p C _p e Var C (  ) _p C _p ² non dipendono da C _p , tutti i valori della tabella 3.4 si possono dedurre da quelli relativi alla combinazione C _p =1 ( / d σ = 3 . ) Si può osservare che quando f = 24 (n = 25) si ha che D.S. (  C _p ) è circa il 14-15% di E(  C p ). Questo rappresenta ancora una dispersione rilevante, quindi si otterrebbe una stima poco precisa. Se invece C _p = 1.33 (d/ σ ⁼ 4), corrispondente al valore raccomandato dell’indice per un processo esistente (Tab. 3.2), e f = 19 si ha E(  C p ) = 1.389 con D.S.(  C p ) = 0.240.

Questo significa che è elevato il rischio di sovrastimare C _p , infatti dalla (3.10) e (3.11) si ha Pr 

Pr[ ]

C

C ^p c fc

p

> f

é ë ê ê

ù û ú

ú = χ ² < ^{− 2} e con c = 1 l’espressione precedente diventa: Pr[  C p > 133 . ] Pr[ = χ 19 2 < 19 ] =53.3%.

d/σ (3C

p

) 2 3 4 5 6

f=n-1 E D.S E D.S E D.S. E D.S. E D.S.

4 0.836 0.437 1.253 0.655 1.671 0.874 2.089 1.092 2.507 1.310 9 0.729 0.198 1.094 0.297 1.459 0.396 1.824 0.496 2.189 0.594 14 0.705 0.145 1.058 0.218 1.410 0.291 1.763 0.364 2.116 0.436 19 0.694 0.120 1.042 0.180 1.389 0.240 1.736 0.300 2.083 0.360 24 0.688 0.104 1.033 0.156 1.377 0.209 1.721 0.261 2.065 0.313 29 0.685 0.094 1.027 0.140 1.369 0.187 1.711 0.234 2.054 0.281 34 0.682 0.086 1.023 0.128 1.364 0.171 1.705 0.214 2.046 0.257 39 0.680 0.079 1.020 0.119 1.360 0.159 1.700 0.198 2.039 0.238 44 0.678 0.074 1.017 0.111 1.357 0.148 1.696 0.186 2.035 0.223 49 0.677 0.070 1.016 0.105 1.354 0.140 1.693 0.175 2.031 0.210 54 0.676 0.067 1.014 0.100 1.352 0.133 1.690 0.166 2.028 0.199 59 0.675 0.063 1.013 0.095 1.351 0.127 1.688 0.158 2.026 0.190

∞ 0.667 - 1.000 - 1.333 - 1.667 - 2.000 -

Tabella 3.4. Momenti di  C _p :E =E[  C _p ]; D.S = D.S.(  C _p / C _p ). (Kotz e Johnson, 1993)

Se n è piccolo, per esempio n = 5 e C p = 1.33, D.S.(  C p ) = 0.87: si noti che questa deviazione standard rappresenta più della metà del valore di C _p . Da quanto esposto si può concludere che la stima di C _p per n piccolo non è molto precisa, mentre si può affermare che stime accurate dell’indice si possono ottenere quando n>50.

3.2. Intervalli di confidenza.

In alcuni casi è importante ricavare un intervallo di confidenza per C p . Riprendendo la (3.10) e la (3.11) si può scrivere

Pr 

Pr[ ( ) ]

C

C ^p c n c

p

> n

é ë ê ê

ù û ú

ú = χ 2 − 1 < − 1 − 2 (3.24) Poiché Pr[ χ n − 1 ≤ χ n − _,

ε

] = ε

2 1

2 , si può scrivere Pr

Pr

Pr  

, / , /

, / , /

, / , /

σ χ σ χ

χ

σ

χ

χ χ

α

α α

α α

α α

2

1 2

2 2 2

1 1 2 2

1 2 1 1 2

1 2 1 1 2

1 1

6 1 6 6 1

1 1 1

n s

n USL LSL

s n

USL LSL USL LSL

s n

C n C C

n

n n

n n

p n

p p

n

− ≤ ≤

− é

ë ê ù

û ú =

−

− ≤ − ≤ −

− é

ë ê ù

û ú =

− ≤ ≤

− é

ë ê ù

û ú = −

− − −

− − −

− − −

quindi



( )

; 

( )

, / , /

C n

C n

p n

p

χ −

α

χ n − −

α

− −

æ

è ç çç

ö

ø

÷ ÷÷

1 2

1 2

1 1 2 1

1 1 2

(3.25)

è un intervallo di confidenza 100(1- α)% per C p .

Esempio 3.2

Si supponga che un processo abbia limiti di specificazione superiore ed inferiore rispettivamente a: USL=62 e LSL=38. Un campione di ampiezza n=20 rivela che il processo è centrato approssimativamente sul punto centrale dell’intervallo di specificazione e che la deviazione standard campionaria è pari a s=1.75. La stima di C _p è pertanto:

 ( . ) .

C USL LSL

p = − s = − =

6

62 38 6 175 2 29 .

L’intervallo di confidenza al 95% per C _p è ricavabile come segue:

USL LSL

s n C USL LSL

s n

C

n p

n

p

−

− ≤ ≤ −

−

≤ ≤

− − −

6 1 6 1

2 29 19 2 29

19

2

1

2

2

1 1

2

0 025 19 2

0 975 19 2

χ χ

χ χ

α

;

α

;

. ; . ;

. .

essendo χ 0 025 19

2 _{. ;} = 8 91 . e χ 0 975 19

2 _{. ;} = 32 85 . si ricava che 157 . ≤ C p ≤ 3 01 . è l’intervallo di confidenza al 95% per C p .•

3.3. Verifica di ipotesi su C p

Una pratica sempre più frequente nelle industrie è richiedere ad un fornitore di dimostrare la capacità dei suoi processi produttivi come parte integrante degli accordi contrattuali. Questo significa dimostrare che l’indice di capacità è uguale o superiore ad particolare valore target indicato con C _p0 . Questo problema può essere riformulato in termini di verifica d’ipotesi:

H C ₀ : _p < C _{p 0} (il processo ha scarsa capacità) H C ₁ : _p ≥ C _{p 0} (il processo ha buona capacità)

In questo modo rifiutare H ₀ equivale a dimostrare che il processo raggiunge i requisiti richiesti in termini di capacità. Questo tipo di test statistico è stato studiato da Kane (1986) il quale determina una serie di valori critici K che consentono di rifiutare H ₀ se  C p > . L’autore K costruisce il test definendo C _{p HIGH ( )} come il valore di capacità di un processo che si desidera accettare con probabilità 1 − α e C p LOW ( ) come il valore di capacità di un processo che si desidera rifiutare con probabilità 1− β . Nella tabella 3.5 sono riportati i valori di C _{p HIGH ( )} C _{p LOW ( )} e K C _{p LOW ( )} per varie ampiezze campionarie e α β = = 0 05 . e α β = = 01.. L’esempio 3.3 chiarisce l’uso della tabella 3.5.

Esempio 3.3

Un’azienda per concludere un contratto di fornitura richiede al fornitore di dimostrare che la capacità del suo processo è maggiore di C _p = 133 . . Il fornitore è quindi interessato ad implementare una procedura per verificare il seguente sistema d’ipotesi:

H C 0 : p < 133 . H C 1 : p ≥ 133 . .

Il fornitore vuole essere sicuro che qualora il processo abbia una capacità inferiore a 1.33 la probabilità di accettare H ₀ sia elevata (0.9), mentre se la capacità del processo supera 1.66 la probabilità di accettare H ₁ sia elevata (ancora 0.9). Questo significa definire C _{p LOW ( )} = 133 , C . p HIGH ( ) = 166 e . α β = = 01.. Per trovare l’ampiezza campionaria ed il valore critico per il test si calcola il rapporto

C C

p HIGH

p LOW

( )

( )

.

. .

= 166 =

133 125

ed in corrispondenza di α β = = 01. sulla tabella 3.5 si trova n=70 e K

C _{p LOW ( )} = 110. Utilizzando questi risultati si può calcolare .

α β = = 01. α β = = 0 05 . Ampiezza

camp. n C

C

p HIGH

p LOW

( )

( )

K C _{p LOW ( )}

C C

p HIGH

p LOW

( )

( )

K C _{p LOW ( )}

10 1.88 1.27 2.26 1.37

20 1.53 1.20 1.73 1.26

30 1.41 1.16 1.55 1.21

40 1.34 1.14 1.46 1.18

50 1.30 1.13 1.40 1.16

60 1.27 1.11 1.36 1.15

70 1.25 1.10 1.33 1.14

80 1.23 1.10 1.30 1.13

90 1.21 1.10 1.28 1.12

100 1.20 1.09 1.26 1.11

Tabella 3.5. Ampiezze campionarie e valori critici per test su C _p (Montgomery 1997)

K = C p LOW ( ) 110 133 110 . = . ( . ) = 146 .

quindi per accettare l’ipotesi H C ₁ : _p ≥ 133 . il fornitore deve realizzare un campione di n=70 elementi e l’indice C _p calcolato sulla base del campione deve risultare superiore a K=1.46.•

4. L’indice C pk

L’indice di capacità C _p non considera la posizione della media µ del processo rispetto ai limiti di specificazione, infatti C _p misura semplicemente l’ampiezza dell’intervallo di specificazione relativamente all’ampiezza dell’intervallo naturale di tolleranza (6-sigma) del processo.

Di conseguenza può accadere che processi con il medesimo valore di C _p abbiano una frazione di elementi NC diversa, come illustrato nell’esempio 4.1.

Esempio 4.1

Si considerino i seguenti processi:

processo (a) LSL=43, USL=57, µ=50, σ=2;

processo (b) LSL=43, USL=57, µ=53, σ=2.

I due processi hanno gli stessi valori dei limiti di specificazione e stessa variabilità, segue che hanno il medesimo valore di C _p :

C _p = 57 43 − = = 6 2

14 12 1166

* . .

Tuttavia, il comportamento in termini di frazione di elementi non conformi è notevolmente diverso a causa del fatto che il processo (b) ha un valore medio non centrato rispetto ai limiti di specificazione.

Processo (a):p=frazione di elementi NC p=pr(X<43)+pr(X>57)

( ) ( ) ( )

p p

= æ −

èç ö

ø÷ + − æ −

èç ö

ø÷

= − + − = − =

Φ Φ

Φ Φ Φ

43 50

2 1 57 50

2

35 . 1 35 . 2 3 5 . 0 000466 .

Processo (b):p=frazione di elementi NC p=pr(X<43)+pr(X>57)

( ) ( )

p p

= æ −

èç ö

ø÷ + − æ −

èç ö

ø÷

= − + − = ≅ + =

Φ Φ

Φ Φ

43 53

2 1 57 53

2

5 1 2 ( ) 0 0 022775 0 02275 . .

Dalle considerazioni precedenti risulta evidente la mancanza di una • relazione diretta tra C p e la probabilità di ottenere un elemento NC. In altre parole, anche con valori C _p > 1 si possono avere delle frazioni di elementi NC elevate, se la media del processo non è centrata rispetto ai limiti USL e LSL. La situazione può essere migliorata definendo una nuova misura di capacità che tenga conto della posizione di µ rispetto a USL e LSL, in modo da fornire una relazione diretta tra l’indice e la frazione di NC. Questo indice, denominato C _pk è definito nel modo seguente:

C C C

USL LSL

USL LSL

pk = pu pl

= æ − −

èç ö

ø÷

= − −

min( , )

min ,

min( , )

µ

σ µ

σ µ µ σ

3 3

3

(4.1)

Utilizzando la relazione min( , ) a b = 1 (| a b a b + − − | | |)

2 è possibile

esprimere l’indice C _pk secondo un’espressione equivalente:

C USL LSL USL LSL

USL LSL USL LSL

d LSL USL

LSL USL

d C

pk

p

= − − + −

= − − − +

= − − +

= − é − +

ë ê ê ê ê

ù

û ú ú ú ú 1

2 2 3

1

2 2

3 1 2 3

1 1 2

[| | | |] /

| | | |

| ( )|

| ( )|

µ σ

µ σ µ

σ µ

(4.2)

Inoltre, ricordando che C d

p = 3 σ si ha

C C

USL LSL

pk = p − | µ − ( + )|

σ 1 2

3 (4.3)

Esempio 4.2

Per il processo (a) dell’esempio 4.1 C _p = C _pk = 1166 . , in quanto il processo risulta centrato.

Per il processo (b) invece,

( )

C C C

USL LSL

pk = pu pl

= æ − −

èç ö

ø÷

= æ − −

èç

ö

ø÷ = =

min( , )

min ,

min ( ) ,

( ) min . , . .

µ σ

µ σ

3 3

57 53 3 2

53 43

3 2 0 666 1 766 0 666

L’indice C _pk è una misura della capacità effettiva del processo a •

differenza di C _p che misura la capacità potenziale. La capacità del

processo aumenta al crescere del valore di C _pk ed è interessante far

notare che il numeratore dell’indice è la distanza (con segno) di µ dal

più vicino limite di specificazione. Generalmente C pk ≤ C p , l’uguaglianza vale solo nel caso in cui il processo è centrato

µ = +

æ èç ö

ø÷

USL LSL

2 , quindi C _pk se confrontato con C _p fornisce una misura della non centratura del processo. Valori negativi dell’indice indicano che il processo è completamente inadeguato, infatti si verificano quando µ > USL o µ < LSL .

Partendo dal valore dell’indice C pk è possibile determinare la frazioni di elementi NC associata al processo. Se X è distribuita normalmente, la frazione, p, di elementi NC è data da

p LSL USL

= æ −

èç ö

ø÷ + − æ −

èç ö

Φ µ Φ ø÷

σ

µ

1 σ (4.4)

nel caso in cui 1

2 ( USL + LSL ) ≤ ≤ µ USL si ha C USL

pk = − µ

σ

3 ed

essendo

LSL USL USL LSL

C pk C p

− µ = − − − = −

σ

µ σ

3 ( ) ( 3 ) 2

si ottiene che la frazione di elementi NC risulta

p = Φ [ ( − 3 2 C p − C pk )] + Φ ( − 3 C pk ) (4.5) Inoltre, dato che 2C _p − C _pk ≥ C _pk (perché C _pk ≤ C _p ), segue che la proporzione attesa di elementi non conformi è contenuta nell’intervallo

Φ ( − 3 C _pk ) ≤ ≤ p 2 Φ ( − 3 C _pk ) (4.6) e p = 2 Φ( − 3 C _pk ) solo quando il processo è centrato, cioè C _pk = C _p . In modo analogo si può trattare il caso in cui LSL ≤ ≤ µ 1 USL LSL +

2 ( ) .

4.1. Stima di C _pk

Nel caso in cui il livello del processo µ e/o la varianza σ ² non siano noti occorre stimarli dai dati campionari. Uno stimatore naturale di C _pk è

 | |

C

d X USL LSL

pk = − − s −

2

3 (4.7)

Ricordando che se X ∼ N ( , µ σ ² ) segue che X ∼ N ( , µ σ ² / ) n , s ∼ χ σ f f ^{1 2 /} , con X e s indipendenti. Sfruttando questi risultati è possibile ricavare i momenti di  C _pk , in particolare il momento r-esimo risulta:

E C E s

r

j d E X LSL USL

d f E

r

j d n E

n X USL LSL

pk r

r r

j j

r r j

j

r

f r

j j

r j

j

(  ) ( )

( )

( )

( )

( )

= æ èç ö ø÷

å − æ

è ç ö

ø ÷ æ − +

è çç ö

ø ÷÷

= æ è ç ö

ø ÷

−

å æ

è ç ö ø ÷ æ

èç ö ø÷

− +

é ëê

ù ûú é

ë ê ê ê ê ê

ù

û ú ú ú ú ú

−

=

−

−

=

1 3

1 2

3

1

1 2

0

0

σ χ

σ

σ

(4.8)

Per r = 1, 2 si ottengono la Media

E C f f

f d

n

n USL LSL USL LSL

n USL LSL

(  ) pk

exp

= æ èç ö ø÷

æ −

èç ö

ø÷

æ èç ö ø÷

− æ èç ö ø÷ × é

ë ê ê

× −

− æ +

èç ö

ø÷

é ë ê ê

ù û ú ú ì

í ï ï

î ï ï

ü ý ï ï

þ ï ï

−

− æ +

èç ö

ø÷ ×

× − æ − +

è ç ç ç ç

ö

ø

÷ ÷

÷ ÷ ì

í ïï î ï ï

ü ý ïï þ ï ï ù

û ú ú ú ú 1

3 2

1 2 2

2

2 2

2

1 2 2

1 2

2

2

Γ Γ

Φ

σ π

µ σ

µ σ

µ σ

(4.9)

e la Varianza

Var C f

f

d d

n

n USL LSL USL LSL

n USL LSL USL LSL

(  ) pk

( )

exp

= − æ

èç ö ø÷ − æ èç ö

ø÷ æ èç ö

ø÷

é ë

ê ê ×

é

ë ê ê ê

× −

− æ +

èç ö

ø÷

é ë ê ê

ù û ú ú ì

í ï ï

î ï ï

ü ý ï ï

þ ï ï +

− æ +

èç ö

ø÷ ×

× −

− − +

æ

è ç ç ç ç

ö

ø

÷ ÷

÷ ÷ ì

í ïï î ï ï

ü ý ïï þ ï ï ù

û ú ú ú ú +

− æ +

èç ö

ø÷

é ëê

ù ûú +

9 2 2 2

2 2

2

1 2 2 2

1 2

2

2

2

2

σ σ π

µ σ

µ σ

µ σ

µ Φ σ

[ ]

1

2

n

E C _pk

ù

û ú ú ú ú ú

− (  )

(4.10)

L’aspetto importante che si desidera sottolineare è che lo stimatore risulta distorto: E C (  ) _pk ≠ C _pk . Di conseguenza nelle situazioni reali risulta necessario considerare l’entità dell’errore che si può commettere, per non correre il rischio di prendere decisioni aziendali sbagliate. Uno studio dettagliato, al quale si rimanda, sul comportamento dello stimatore è riportato in Kotz e Johnson (1993). Qui è sufficiente ricordare che con piccoli campioni, n < 10, è assolutamente sconsigliato tentare di stimare C _pk ed anche quando n è circa 40 non è prudente prendere decisioni aziendali riguardo al processo in esame basandosi solo su  C _pk .

4.2. Intervalli di confidenza per C _pk

Come per C p , può risultare utile e/o necessario costruire un intervallo di confidenza per C _pk . La costruzione di un intervallo di questo tipo non è semplice e può essere fatta seguendo due linee:

a) utilizzare la distribuzione esatta di  C _pk

b) ricorrere ad intervalli di confidenza approssimati.

Generalmente, la prima possibilità è poco operativa perché la distribuzione da esaminare è molto complicata. In via alternativa, per avere un’idea della regione di incertezza per C _pk si possono costruire separatamente gli intervalli di confidenza, al livello 100(1-α)%, per µ e σ (in quanto C _pk = ( , ) f µ σ ^):

X t − _{f , 1 −} × ≤ ≤ − s X t _{f , −} × s

2 1 2

α

µ

α

intervallo di confidenza per µ

s f s f

f f

χ _{, 1}

_α

σ χ _,

_α

2 2

−

≤ ≤ intervallo di confidenza per σ

Utilizzando tali intervalli è possibile quindi individuare una regione di confidenza, R, per la coppia (µ σ) del tipo visualizzato in figura 4.1 e di conseguenza scegliere come estremi dell’intervallo di confidenza per

C _pk :

min( C _pk ) = f ( , ) µ σ max( C _pk ) = f ( , ) µ σ con (µ σ)∈R.

Figura 4.1

E’ importante sottolineare che la probabilità che l’intervallo per C _pk , individuato seguendo la procedura sopra illustrata, includa effettivamente il valore vero è minore di 1 − α . Ad esempio, se ciascun intervallo separato è al livello di confidenza 100 1 ( − α )% e i due eventi sono indipendenti, allora la probabilità complessiva è:100 1 ( − α ) % ² < 100 1 ( − α )% . Inoltre, possono esistere coppie di valori (µ σ)∉R. che portano a valori di C pk entro l’intervallo.

Alcuni autori hanno studiato formule approssimate per ricavare gli intervalli di confidenza per C _pk ad esempio:

 ( ) 

( )

C z n

n n C

n n

pk ± − pk

− +

− +

−

æ èç ö

ø÷

ì í î

ü ý

− þ

1

2

1 2

2

1

9 3

1

2 3 1 6

α

1 (Heavlin,1998)

  

( )

C z

n C C

pk pk n

± + pk

− ì í

ï îï

ü ý ï

− þï

1

2

2 1

2

2

1

9 2 1

α

per n≥30

(Franklin e Wasserman, 1992)

5. L’indice C _pm

L’indice C pk considera la posizione della media del processo rispetto ai limiti di specificazione, quindi costituisce un miglioramento dell’indice C _p . Tuttavia, C _pk utilizzato senza ulteriori integrazioni è ancora una misura inadeguata della centratura del processo, in particolare della posizione della media del processo rispetto al valore target. Inoltre, C _pk dipende inversamente da σ diventando sempre più grande per σ →0, pertanto un valore elevato dell’indice non è molto informativo sulla posizione di µ all’interno dell’intervallo di specificazione.

Esempio 5.1

LSL=35 USL=65 Valore target T=50 Processo A: µ A = 50 , σ A = 5, C p = 1, C pk = 1 Processo B: µ B = 57 5 . , σ B = 2 5 . , C p = 2 , C pk = 1

Il processo B, pur non essendo centrato, ha lo stesso indice C _pk di A. Tale risultato dipende dal fatto che B presenta una variabilità ridotta rispetto ad A.•

Una strada per superare i problemi illustrati è quella di utilizzare una nuova misura di capacità: l’indice C _pm (Chan, Cheng e Spring 1988).

L’indice è definito come segue

C USL LSL T

USL LSL d

pm = −

+ − = − =

6 [ σ ² ( µ ) ] ²

¹²

6 τ 3 τ (5.1) dove T è il valore target, che molto spesso coincide con il punto centrale dell’intervallo di specificazione, e τ ² = σ ² + ( µ − T . Le figure 5.1 e ) ² 5.2 illustrano il diverso comportamento di C _pk e C _pm al variare di µ e σ : si può notare che l’indice C _pm tende ad essere meno sensibile di C _pk a variazioni di σ ^.

Figura 5.1. Indice C pk come funzione di µ e σ (LSL=5.5, USL=8.5) Fonte: Mittag e Rinne (1993)

Figura 5.2. Indice C _pm come funzione di µ e σ (LSL=5.5, USL=8.5).

Fonte: Mittag e Rinne (1993)

E’ interessante notare che τ ² si può esprimere come somma di due componenti che esprimono la “variabilità totale” del processo attorno al valore target:

τ ² = σ ² + ( µ − T ) ² = E X ( − T ) ² = E X ( − µ ) ² + ( µ − T (5.2) ) ² Anche l’indice C _pm può essere scritto come funzione di C _p , infatti dalla (5.1) e ricordando che C d

p =

3 σ segue che:

C C C

T

C

pm p p

p

= =

+ − =

= + ⁻

σ

τ σ µ

σ ζ

1

1

2 2

2 2

¹2

( )

( )

(5.3)

dove ζ µ

= σ − T , risulta quindi che C pm ≤ C p con C pm = C p solo se µ = T .

Esempio 5.2

LSL=35 USL=65 Valore target T=50 Si considerino 3 processi

Processo A: µ A = 50 , σ A = 5, C p = 1, C pk = 1, C pm = 1 Processo B: µ B = 57 5 . , σ B = 2 5 . , C _p = 2 , C pk = 1, C pm = 0 63 . Processo C: µ c = 6125 . , σ c = 125 . , C _p = 4 , C pk = 1, C pm = 0 44 . In questo esempio si nota che all’allontanarsi della media del processo dal valore target C _pm tende a ridursi, mentre risulta insensibile a questo aspetto, l’indice C _p . Infatti, l’indice C _p aumenta essenzialmente perché si riduce la variabilità del processo. L’indice C _pk invece, rimane costante nonostante i tre processi presentino caratteristiche completamente differenti. • E’ utile sottolineare che l’indice C pm è una misura adeguata di capacità di un processo solo quando il valore target coincide con il punto centrale dell’intervallo di specificazione: T = = m ¹ 2 ( USL LSL + ) . Infatti, si può notare che C _pm rimane inalterato se E X ( ) = − T δ o E X ( ) = + T δ ( δ>0):

C d

T

d

pm =

+ − =

+ 3 [ σ ² ( µ ) ] ²

¹²

3 [ σ ² δ ² ]

¹²

mentre la proporzione attesa di elementi non conformi può cambiare, anche consistentemente, se T ≠ . m

Per esempio, supponendo che X abbia una distribuzione simmetrica, se T = ³ 4 USL + 1 LSL

4 e δ = ¹ 4 − = 1

( USL LSL ) 2 d , quando E X ( ) = + = T δ USL , ci si attende almeno il 50% di elementi NC.

Mentre, se E X ( ) = − = T δ m la proporzione di NC risulta molto più piccola, pertanto le proprietà di C _pm valgono quando T = . m

6. Relazioni tra C _p , C _pm , C _pk

Tra gli indici di capacità esaminati intercorrono relazioni ² utilizzabili per ricavare ulteriori informazioni sulla capacità del processo.

Ricordando le definizioni di C _p (3.1), C _pk (4.2) e C _pm (5.1) si ha

C m

d C C

pk = − é − p p

ëê

ù ûú ≤

1 | µ | (6.1)

C m

C C

pm = + æ − p p

èç ö

ø÷

é ë ê ê

ù û ú

ú ≤

−

1

2

¹2

µ

σ ^(6.2)

da cui segue che: max( C pm , C pk )≤ C p e C p = C pm = C pk quando µ = m . Combinando la (6.1) e la (6.2) si può scrivere

C C m

d

m

pk = pm é − −

ëê

ù ûú + æ −

èç ö

ø÷

é ë ê ê

ù û ú

1 1 ú

2

¹2

| µ | µ

σ ^(6.3)

da cui risulta:

C _pk ≥ C pm se 1 1

2

¹2

− −

é ëê

ù ûú + æ −

èç ö

ø÷

é ë ê ê

ù û ú ú

| µ | µ

σ m

d

m ≥ 1 (6.4a)

C _pk ≤ C pm se 1 1

2

¹2

− −

é ëê

ù ûú + æ −

èç ö

ø÷

é ë ê ê

ù û ú ú

| µ | µ

σ m

d

m ≤ 1 (6.4b)

Partendo dalla relazione precedente, (6.4), è possibile ricavare espressioni più semplici ed utili, infatti ponendo ³ k m

= µ d − _{segue che}

2

Le relazioni ricavate nel seguito valgono nel caso in cui il valore target coincide con il punto centrale dell’intervallo di specificazione

3

Usualmente k<1, altrimenti µ sarebbe oltre i limiti di specificazione

C _pk ≥ C pm se ( 1 ) 1

2 2

1 2

− + æ èç ö ø÷

é ë ê ê

ù û ú

k d ú

σ k ^{≥ 1 (6.5a)}

C pk ≤ C pm se ( 1 ) 1

2 2

1 2

− + æ èç ö ø÷

é ë ê ê

ù û ú

k d ú

σ k ^{≤ 1 (6.5b)}

da cui con semplici passaggi si ricava

C _pk ≥ C pm se d k

k k

σ æ èç ö

ø÷ ≥ −

−

2

2

2 1

( )

C _pk ≤ C pm se d k

k k

æ σ èç ö

ø÷ ≤ −

−

2

2

2 1

( )

e ricordando che C d

p =

3 σ l’espressione precedente diventa

C _pk ≥ C pm se C k

k k

p 2

2

2

≥ 9 1 −

−

( ) (6.6a)

C _pk ≤ C pm se C k

k k

p 2

2

2

≤ 9 1 −

−

( ) (6.6b)

Si può notare, Tab. 6.1, che la funzione 2

9 1 ²

−

− k

k ( k ) raggiunge un minimo di 1.23 per k≈0.4.

k 0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1

2

9 1 ²

−

− k k ( k )

∞ 1.56 1.23 1.33 1.62 4.17 ∞

Tabella 6.1. Alcuni valori della funzione ² − _{9 1}

2

k −

k ( k )

Pertanto se

• C p ≤ 1 allora C pk ≤ C pm

• C p 2 > . ( C 123 p > 111 . ) allora si può avere C pk > C pm , purché k non sia troppo vicino a 0 o 1.

• k=0, ( µ = m allora C ) _pk = C _pm = C _p .

7. Indici di capacità e non-normalità

Un'operazione necessaria prima del calcolo degli indici di capacità, è controllare che la caratteristica di qualità X relativa al processo segua la distribuzione Normale. Questo perché le proprietà enunciate nelle pagine precedenti, riguardanti gli indici di capacità, rimangono valide solo se non si rifiuta l’ipotesi di normalità. Quando si presenta un allontanamento significativo dalla distribuzione Gaussiana si possono seguire due strade: la prima consiste nello studiare le proprietà degli indici di capacità e dei relativi stimatori quando la distribuzione assume specifiche forme distributive; la seconda prevede di sviluppare metodologie che consentono di trattare la non normalità, giungendo alla costruzione di indici di capacità robusti cioè non troppo influenzati dalla forma distributiva.

7.1 Effetti della non normalità

Si considerino, a titolo esemplificativo, le seguenti distribuzioni per una caratteristica di qualità X (Gunter, 1989):

1. un chi-quadrato con 4.5 gradi di libertà ( χ 4 5 2

. ) (distribuzione asimmetrica con limite inferiore finito)

2. una t con 8 gradi di libertà (distribuzione con code pesanti) 3. una distribuzione uniforme.

4 una distribuzione normale X ∼ ^{N ( ,} µ σ ^{2 )}

I grafici delle distribuzioni standardizzate sono riportati nella figura 7.1.

Figura 7.1: Fonte: Kotz e Johnson (1993)

Per costruzione le distribuzioni hanno la stessa media µ e la stessa deviazione standard σ, di conseguenza hanno gli stessi valori per C pk e C _p . Tuttavia, le proporzioni (in parti per milione ppm) di elementi NC al di fuori dei limiti ±3σ sono notevolmente diverse:

nel caso 1) 14000 (tutti al di sopra di 3σ );

nel caso 2) 4000 (metà sopra 3 σ e metà sotto −3σ );

nel caso 3) 0;

nel caso 4) 2700 (metà sopra 3 σ e metà sotto −3σ ).

Dall’esempio si comprende che si corre il rischio di giungere a conclusioni errate se si valuta la capacità di un processo con gli indici tradizionali quando la caratteristica di qualità non segue la distribuzione normale.

Sempre a scopo illustrativo si consideri la seguente situazione. Sia

( )

ϕ ^{x; ;} µ σ la funzione di densità di una variabile casuale normalmente distribuita, con media µ e scarto σ , e si consideri il processo

“contaminato” con funzione di densità data da

( ) ( )

p x ϕ ; µ σ ₁ ; ₁ + − ( 1 p ) ϕ x ; µ σ ₂ ; ₂ (7.1) con 0<p<1, ( ^{µ σ 1 , 1} ) ( ^{≠ µ σ 2 , 2} ) ^.

Se p è prossimo a 1, 1-p è piccolo e la seconda componente della (7.1) rappresenta la contaminazione della distribuzione base rappresentata dalla prima componente. Il risultato è che con i test convenzionali è spesso difficile distinguere questo tipo di non normalità, tuttavia il comportamento di C pk può variare anche sostanzialmente (Gunter, 1989).

7.2 Il metodo di Clements

Un metodo per costruire gli indici C _p e C _pk , basato sull’assunzione che la distribuzione del processo possa essere adeguatamente rappresentata da una variabile casuale appartenente al sistema delle distribuzione di Pearson è stato proposto da Clements (1989).

Il sistema di distribuzioni di Pearson è definito per funzioni di densità, f(x), che soddisfano l’equazione differenziale:

d f x

dx

a x c c x c x

(log ( )) ( )

= − +

+ +

0 1 2

2 (7.2) Il valore dei parametri c 0 , c 1 , c 2 , determina la forma del grafico di f(x).

La forma delle curve può variare sensibilmente e dipende dalle radici dell’equazione di secondo grado:

c ₀ + c x c x ₁ + ₂ ² = 0 (7.3)

Alcune distribuzioni appartenenti al sistema di curve di Pearson sono:

- c 0 > 0 ; c 1 = c 2 = 0 (distribuzione Normale) - ; c ₁ ≠ 0 ; c ₂ = 0 (distribuzione Gamma) - radici reali, ma di segno opposto (distribuzione Beta)

- c ₁ = 0 ; , c c _{0 2} > 0 (distribuzione t-Student).

Ricordando che

C USL LSL d

p = − =

6 σ 3 σ

dove 6 σ rappresenta l’intervallo naturale di tolleranza, µ + 3 σ − ( µ − 3 σ ) che nel caso di X ∼ ^{N ( ,} µ σ ^{2 )} è tale che

( )

{ }

Pr X ∉ + µ 3 σ µ , − 3 σ = 0 0027 , Clements propone come intervallo . di tolleranza naturale

U _p − L _p (7.4)

Dove U _p è il percentile U _{99 865 .} , cioè ^Pr { ^{X ≥ U p} } = 0 00135, e L ^. p è il percentile L _{0 135 .} ( ^Pr { ^{X ≤ L p} } = 0 00135) della distribuzione della ^. considerata.

L’indice di capacità calcolato secondo il metodo di Clements risulta quindi

C USL LSL

U L

p

p p

= −

− (7.5)

Se si considerano i percentili standardizzati,

θ µ

u σ U p

= −

e θ µ

l σ L p

= −

si ha

U _p = + µ θ σ _u ^{e L} p = + µ θ σ l

e quindi ^{U p − L p =} ( ^{θ u − θ σ θσ l} ) ^{= con θ u − θ l = θ}

per cui

C USL LSL

p = −

θσ (7.6)

Il metodo ha i seguenti meriti: quando la distribuzione è Normale gli indici sono esattamente gli stessi di quelli ottenuti con il metodo tradizionale (θ u = 3 θ l = −3 e θ = 6); è relativamente facile da calcolare manualmente o con un calcolatore; non richiede una trasformazione matematica dei dati.

Nella tabella 7.1 (Kotz e Johnson 1993) sono riportati i percentili standardizzati θ U e θ l per distribuzioni appartenenti alla famiglia della curve di Pearson. I percentili sono tabulati in funzione dei valori dell’indice di asimmetria β ₁ , e del coefficiente di Kurtosi ⁴ β ₂ ^.

Riguardo a C pk Clements propone di calcolarlo nel seguente modo

( )

C _pk = min C C _pl , _pu (7.7)

dove

4

L’indice di asimmetria è dato dall’espressione:

β 1 = µ σ 3 3 dove ^{µ 3} [ ³ ] ³

1

= − = 1 −

å =

M x x

n x _i x

i n

( ) ( )

mentre l’indice di Kurtosi si determina in questo modo:

β 2 = µ σ 4 4

dove µ è calcolato in maniera analoga a µ .

Tabella 7.1. Per ogni combinazione ( β β 1 , ) 2 la prima riga contiene il percentile θ l , la seconda θ u . Se β 1 < invertire θ 0 l con θ u . Fonte Kotz e Johnson (1993).

C Mediana LSL Mediana L

pl

p

= −

− C USL Mediana

U Mediana

pu p

= −

− (7.8)

Nel caso di normalità C _pl C _pu e C _pk calcolati con il metodo di Clements coincidono con gli indici calcolati nel caso generale

Esempio 7.1

Si supponga che β 1 = e β 1 2 = . Sulle tavola si trova 5 θ l = −2 023 . e θ u = 4 539 . , quindi θ = 2 023 4 539 6 572 . + . = . . L’indice varrà quindi

C USL LSL

p = −

6 572 .. σ •

A fini operativi per il calcolo degli indici di capacità l’autore propone un utile foglio di lavoro (Clements 1989), facilmente implementabile in un qualsiasi foglio elettronico. Nella tabella 7.2 è descritto il foglio di lavoro e nell’esempio 7.2 si illustra il suo utilizzo. Per le tabelle necessarie al suo utilizzo si rimanda al lavoro originale.

Esempio 7.2

Relativamente ad un processo produttivo sono dati i seguenti limiti di specificazione: USL=32, LSL=4. Utilizzando un campione si calcolano le seguenti statistiche relative al processo:

media X =10.5

scarto quadratico medio s=3.142 indice di asimmetria β 1 =1.14 indice di Kurtosi β 2 =2.58

Utilizzando la tavola 1a (in quanto β 1 è positivo) si determina il percentile 0.135 standardizzato:

θ l = 2.026 (mentre effettuando la doppia interpolazione lineare di

ricaverebbe θ l = 1.911).