Modellazione ottica di un telescopio

Lezione n.

Parole chiave:

Corso di Laurea:

Principi di Ray Tracing

4

PSF, ray tracing,

ottimizzazione ottica, encircled energy, funzione di

trasferimento ottica

Corso di Laurea:

Insegnamento:

Email Docente:

A.A. 2009-2010

Laurea magistrale in

Astrofisica e Scienze dello Spazio

Tecnologie Astronomiche

brescia@na.astro.it

Modellazione ottica di un telescopio

A questo punto la domanda sorge spontanea: ora che sappiamo come progettare otticamente un telescopio e come calcolare analiticamente le aberrazioni, come facciamo a modellare le ottiche in modo da minimizzare il contributo delle aberrazioni nel telescopio?

Ray Tracing - 1

Per la progettazione di un sistema ottico si fa uso di strumenti software denominati programmi di ray tracing (tracciamento dei raggi).

Il ray tracing è un procedimento basato, da un punto di vista teorico, sulle proprietà dell’ottica geometrica: la propagazione della luce in un mezzo omogeneo e la legge della rifrazione e riflessione di Snell, che a sua volta discende dal noto Principio di Fermat: in un sistema ottico il percorso seguito da un raggio luminoso tra due punti qualsiasi nello spazio è quello che ha il tempo di percorrenza minore.

Il ray tracing è un metodo di rendering ottico basato sulla modellazione di dispositivi ottici in base all’analisi dei fasci luminosi che li percorrono.

Questo metodo traccia dei raggi di luce da una sorgente fino al piano immagine. I raggi vengono testati in modo da determinare e ottimizzare le loro intersezioni con gli stop inseriti nel modello.

Nel ray tracing un raggio di luce viene tracciato lungo la direzione scelta per il percorso ottico da una sorgente al piano immagine. Esso è rivelato sottoforma di un pixel dell’immagine finale. Il pixel sarà quindi rivelato in termini di immagine policromatica del fascio incidente.

Alcune definizioni - 2

In un sistema ottico (OS) esistono delle limitazioni fisiche al numero di raggi che lo possono attraversare. Ciò che delimita i raggi passanti si chiama stop di apertura. Esso dunque controlla la luminosità dell’immagine.

Nel piano focale invece si trova lo stop di campo: un diaframma che delimita la regione del piano focale capace di accogliere i raggi. Esso dunque limita la dimensione dell’oggetto visto (FOV).

Dallo stop di apertura di un sistema si risale a:

Pupilla di entrata: immagine dello stop di apertura prodotta dalla parte di OS che lo precede.

Pupilla di uscita: immagine dello stop di apertura prodotta dalla parte di OS che lo segue.

Alcune definizioni - 3

La posizione e dimensioni degli stop e pupille è importante perché condiziona la correzione delle aberrazioni e la qualità dell’immagine. Ridurre il diametro del fascio di raggi soddisfa meglio la condizione parassiale, ma ovviamente riduce la luminosità dell’oggetto (la brillanza del telescopio). Inoltre lo stop evita l’effetto del vignetting. In un telescopio l’obiettivo è la pupilla di entrata mentre quella di uscita è la sua immagine prodotta sul rivelatore.

Molto importante è il raggio passante per il centro dello stop di apertura (chief ray). Tutti gli altri raggi convergono laddove il chief ray forma l’oggetto se e solo se l’OS è privo di aberrazioni.

Il cono dei raggi che giunge al centro dell’immagine si definisce come l’F/#

Il cono dei raggi che giunge al centro dell’immagine si definisce come l’F/#

Figure di merito

La figura di merito è lo strumento analitico con cui verificare la “bontà” di un sistema ottico.

Infatti il passo successivo alla definizione dei parametri ottici dell’OS è decidere quando

“accettare” una soluzione come “la migliore” in termini di qualità dell’immagine (che spesso è frutto di un compromesso tra requirements scientifici e costruttivi dell’OS).

In un generico strumento di ray tracing, le principali figure di merito (MF) utilizzate sono:

Point Spread function (PSF) Spot Diagram (SD)

Encircled Energy (EE)

Modulation Transfer Function (MTF)

Point Spread Function - 1

Nel caso di aperture circolari (specchi di telescopi) la distribuzione d’intensità luminosa segue quello che viene definito come il profilo di Airy (Airy pattern): una serie di anelli concentrici sempre meno luminosi (dovuti al fenomeno già visto della diffrazione). Questo profilo è un esempio di ciò che viene chiamata PSF: la distribuzione d’intensità luminosa sul piano immagine.

La PSF di un OS è la distribuzione di irraggiamento sul piano immagine che scaturisce da una sorgente (esempio: un telescopio che forma l’immagine di una stella). Sebbene la sorgente sia puntiforme, la sua immagine non lo è (diffrazione+seeing+aberrazioni).

0 1

1 ρ

ε ρ

< <

< <

Q punto sul fronte d’onda W P punto sul piano immagine Ɛ ostruzione

D diametro pupilla

s ρ

θ

z pupilla d’uscita

piano immagine D

ɛ

Q P

R W

r ψ

Point Spread Function - 2

La PSF, nel caso comune di un telescopio con primario di diametro D e con ostruzione ɛ (secondario in configurazione cassegrain), si può formalizzare genericamente come:

( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

2

1 2 1

2 2 0

, 1 2

,

1

I r J v J v

PSF r

I v v

ψ ε

ψ ε

ε ε

 

= =  − 

−  

Ove J₁ è la funzione di Bessel di ordine 1, mentre ν è una variabile adimensionale che vale:

2 1

2 D rD

v r D

R f

r

R f f

π π π α ωπ

λ λ α

λ

   

= =  =  = =  =  =

  =

 

Ove dal raggio lineare r siamo passati al raggio angolare α (che rappresenta l’angolo dell’oggetto Ove dal raggio lineare r siamo passati al raggio angolare α (che rappresenta l’angolo dell’oggetto in cielo) e introdotto un angolo adimensionale ω.

Se l’ostruzione non c’è si ottiene allora la PSF come:

_{PSF r} ( ) _, ^{2 J v}

( )

ψ = ^  v ^ 

 

Il primo minimo di questa funzione si

ha per da cui:

1

1.22 ω =

1

1.22 D α = λ

E infatti l’equazione PSF(r, ψ) prende il nome di funzione di Airy

Point Spread Function e risoluzione angolare

Per un’immagine con due sorgenti di pari magnitudine, quando le due sorgenti distano meno del primo anello di Airy, risultano indistinguibili e la relativa PSF appare unica.

In tal caso vale il “sparrow criterion”: il limite di risoluzione è la separazione angolare θ per cui non vi è un minimo tra i due centri di un pattern combinato di due sorgenti.

θ=λ/D θ=1.22λ/D

Ricordiamo il “criterio di Rayleigh”: la risoluzione angolare è il più piccolo angolo θ tra due sorgenti per cui possono essere distinguibili

91%

λ/D

83.9%

Secondo anello di Airy

primo anello di Airy

Sparrow Rayleigh

Point Spread Function - 3

λ = 2mm, FOV = 0.7°, ɛ = 0.2 λ = 2mm, FOV = 0.7°, ɛ = 0.5 Al diminuire della lunghezza d’onda e a parità di prestazioni (FOV e ostruzione), la PSF diviene più sensibile alle aberrazioni, che prevalgono sulla distribuzione di luminosità diffrattiva [confronto fra (1) e (3)]. Se si aumenta invece l’ostruzione, la PSF subisce una diminuzione dell’intensità luminosa [confronto fra (1) e (2)]

(1) (2)

λ = 0.1mm, FOV = 0.7°, ɛ = 0.2

(2)

(3)

Point Spread Function - 4

Già sappiamo cos’è una variazione di fronte d’onda ∆W, o variazione di cammino ottico OPD.

Esiste un criterio qualitativo per stabilire il limite della massima tolleranza accettabile di OPD uno strumento ottico non si discosta molto dalle prestazioni ideali, se la variazione di cammino ottico di un fronte d’onda non supera ¼ della lunghezza d’onda.

Nelle condizioni di Rayleigh, in condizioni di pura diffrazione senza aberrazioni e senza ostruzione, l’84% dell’energia cade dentro il primo minimo (disco di Airy).

Effetto di diffrazione per una fenditura circolare di diametro 0.5µm a λ=0.6µm (red- circolare di diametro 0.5µm a λ=0.6µm (red- light) a varie distanze dal centro del campo, [da 1mm a 10mm] in step di 1mm

(Si noti il movimento dell’immagine, ossia la diffusione verso l’esterno della distribuzione di energia via via che ci si allontana dal centro del campo)

Point Spread Function - 5

Quando le distorsioni del fronte d’onda sono locali (è il caso ad esempio di zone di M1 deformate a causa di gradienti termici/gravitazionali) si preferisce usare il valore R.M.S. (Root Mean Square) della variazione di cammino ottico (o di fronte d’onda):

2

rms

OPD OPD

= ∑ n

ove il numeratore sotto radice rappresenta le differenze “locali” tra il fronte d’onda locale e quello ideale (detto il best fit).

Per valutare il fronte d’onda in termini di PSF si usa definire il rapporto di Strehl S come il rapporto tra il picco della PSF reale o aberrata e quella al limite di diffrazione:

MAX reale

MAX diffr

S PSF

= PSF

Vale allora il criterio di Marechal Il criterio prevede che S non debba essere inferiore all’80% dell’energia totale della PSF, che corrisponde alla condizione che l’errore RMS del fronte d’onda sia inferiore a λ/14:

rms

/14 OPD ≤ λ

8 .

≥ 0

S

Spot Diagram

La distribuzione geometrica dei raggi sul piano immagine prende il nome di spot diagram.

Una griglia di raggi uniforme passante per la pupilla d’entrata, si presenta sul piano immagine con diversa forma, dipendente dalle aberrazioni dominanti.

Qui sono raffigurati 3 spot diagram relativi ad un telescopio Schmidt-cassegrain di pupilla 50cm, F/#=4 e per λ=550nm, rispettivamente pari ad un FOV di 0°, 0.7° e 1°, in cui fuori asse si notano coma ed astigmatismo. La dimensione RMS dello spot viene confrontata con la dimensione del disco di Airy per verificare che le aberrazioni non dominino sul disco di diffrazione.

In pratica la dimensione dello spot nel diagramma fornisce informazioni sulla distribuzione dell’energia, mentre la sua forma indica quali sono le eventuali aberrazioni dominanti sul FOV. dell’energia, mentre la sua forma indica quali sono le eventuali aberrazioni dominanti sul FOV.

Encircled Energy

Per quantificare l’energia raccolta sul piano immagine è utile l’Encircled Energy o EE. Essa è la frazione (percentuale) di energia totale contenuta in un cerchio di raggio r₀ centrato intorno al chief ray.

( )

( )

0 0 0

1 ,

r

EE r I r drd

I

π

ψ ψ

= ∫ ∫

Ovviamente la max frazione di energia non può superare quella dovuta alla diffrazione

91%

λ/D

83.9%

Secondo anello di Airy

primo anello di Airy

Confronto tra PSF e EE rispetto all’ostruzione

PSF

EE

Modulation Transfer Function - 1

Una caratteristica fondamentale per gli OS è di poter “contrastare” efficientemente gli oggetti. Un oggetto possiamo immaginarlo scomposto in infiniti componenti di Fourier, cioè di chiaro-scuri a frequenza spaziale crescente. Basandosi su quest’approccio, nel 1946 il francese P.M. Duffieux ha introdotto una funzione complessa per descrivere la risposta in frequenze spaziali di un OS: la Optical Transfer function (OTF):

( ) ( )

( )

,

,

,

i ux vy

PSF x y e dxdy OTF u v

PSF x y dxdy

+∞ +∞ π

+

−∞ −∞

+∞ +∞

= ∫ ∫

∫ ∫ PSF x y dxdy ^{( ) ,}

−∞ −∞

∫ ∫

Ove x,y sono coordinate spaziali cui sono associate le frequenze u,v. Dunque la OTF è la trasformata normalizzata della PSF, dipendente dalla scelta del piano immagine. Il modulo della OTF è ciò che si chiama la Modulation Transfer Function (MTF), e rappresenta la degradazione del contrasto al variare delle frequenze. Nel caso unidimensionale si ha dunque:

( )

( )

re im

MTF =   OTF u     + OTF u  

Modulation Transfer Function - 2

Allo scopo di verificare la capacità di contrasto di un OS, (esempio semplice: la messa a fuoco degli obiettivi di una camera fotografica), si utilizza come oggetto un disegno detto test chart: in questo modo si riesce a capire qual è il potere risolutivo del sistema in termini di max frequenza spaziale distinguibile in righe o linee per mm [l/mm]. Oltre un certo valore le righe B/N si confonderanno in un’unica tonalità di grigio. In genere il contrasto si ritiene accettabile per valori della MTF > 5%.

Modulation Transfer Function - 3

Per conoscere il limite max della MTF (dovuto alla sola diffrazione) riprendiamo l’equazione del minimo della PSF già vista:

( ) _, ^{2 J v}

( )

PSF r

ψ = ^  v ^ 

 

Il primo minimo di questa funzione si

ha per da cui:

1

1.22

ω = r

= 1.22 λ F / #

Sviluppando la MTF per questa PSF, si ottiene una funzione decrescente, il cui massimo si ottiene in corrispondenza della frequenza:

max

1 u /

λ F

= λ F / # #

La curva superiore è il limite diffrattivo, cui corrisponde una frequenza max di circa 339 l/mm

Sintesi del ray tracing

Nota la specifica di prestazione dell’OS (ad es. 80% EE in 2 pixel), si innesca un processo iterativo, partendo dalla scelta della funzione di merito (fra quelle già viste). Si tratta in sintesi di minimizzare la funzione di merito normalizzata, che possiamo quindi schematicamente definire

come:

( )

2

i i i

i

i i

w c a

MF w

−

= ∑

∑

Ove con w_i si indica il generico peso, c_i è il valore calcolato della MF scelta, confrontato con il valore a_i atteso (definito dalle specifiche).

PSF: distribuzione di irraggiamento (intensità luminosa) sul piano immagine che scaturisce da una sorgente;

SD: distribuzione geometrica dei raggi sul piano immagine ;

EE: frazione (percentuale) di energia totale contenuta in un cerchio di raggio r centrato intorno al chief ray;

MTF: degradazione del contrasto al variare delle frequenze (modulo della OTF, espansione infinita di chiaro-scuri dell’immagine nel dominio di Fourier);

Software di ray tracing: Zemax

Zemax è uno dei SW di ray tracing più comuni. Consiste in un ambiente integrato in cui è possibile modellare un OS sottoforma di lenti o specchi disposti lungo un cammino ottico, per analizzare la qualità dell’immagine proiettata da una sorgente e ottimizzarne quindi le caratteristiche costruttive. Si compone di una tabella in cui ogni riga è un elemento ottico e le cui colonne ne costituiscono i parametri progettuali e costruttivi. Si parte sempre da una sorgente (OBJ) per arrivare all’immagine (IMA), attraverso una sequenza di stop e breaks che si inseriscono nell’OS. E’ poi possibile graficare le varie funzioni di merito analizzate, per valutarne le prestazioni complessive. Consente quindi di eseguire il processo iterativo menzionato. Ci deve sempre essere almeno uno stop nel cammino ottico (pupilla o obiettivo dell’OS).

Modello di una lente in Zemax - 1

Partiamo dal caso più semplice: un OS composto da una singola lente. Vogliamo progettare ed ottimizzare una lente singola F/#4 composta dal materiale vetro N-BK7.

Le specifiche di progetto sono le seguenti:

• f = 100mm

• FOV (radius) = 5deg

• λ centrale = 632.8nm

• spessore centrale (CT) = 2mm < CT < 12mm

• spessore minimo (ET) = ET > 2mm

• La lente deve essere ottimizzata in termini di minima spot size RMS, mediata sul FOV alla

• La lente deve essere ottimizzata in termini di minima spot size RMS, mediata sul FOV alla lunghezza d’onda centrale

• la sorgente è posta all’infinito

Modello di una lente in Zemax - 2

Le principali colonne sono:

• Surf: Type: il tipo di superficie (cliccando sulla colonna si può selezionarne il tipo)

• Comment: campo opzionale in cui specificare un commento

• Radius: raggio di curvatura (con segno invertito) espresso in unità di lente

• Thickness: spessore in unità di lente dal vertice della superficie corrente al vertice della superficie successiva

• Glass: il tipo di materiale (vetro, aria etc..) della superficie

• Semi-diameter: il semi-diametro (raggio) della superficie in unità di lente Una delle prime cose da fare è impostare la status bar con i dati da visualizzare:

(Menu “File”, opzione “Preferences”) => qui si possono impostare anche altre opzioni generali

Modello di una lente in Zemax - 3

La seguente cosa da fare è stabilire quale deve essere l’unità di misura da usare nel seguito (unità di lente). Inoltre il primo parametro da settare è sempre l’apertura dell’OS. Esso definisce la dimensione del beam (fascio) che Zemax traccerà attraverso l’OS, oltre a definire i coseni direttori iniziali dei raggi dalla sorgente (OBJ). L’apertura può essere definita in vari modi:

• EPD: Entrance Pupil Diameter (diametro assoluto della pupilla)

• Image Space: F/#

• etc…

Modello di una lente in Zemax - 4

L’EPD si può facilmente ricavare dalle specifiche di progetto:

/ f 4 100/ 4 25

F EPD mm

# = EPD = ⇒ = =

Modello di una lente in Zemax - 5

Definiamo ora il campo di vista FOV: si sceglie Angle (Deg) che è l’angolo che il chief ray forma con l’asse ottico Z. Date le specifiche, ci creiamo i due FOV minimi ed uno intermedio, in modo da valutare la qualità dell’immagine finale nelle zone d’interesse (dipende dal progetto).

Modello di una lente in Zemax - 6

Definiamo ora la banda di lunghezza d’onda di nostro interesse: nel nostro caso la lente è puramente monocromatica (una sola λ) riferentesi ad una sorgente laser di Elio-Neon (He-Ne) a 0.6328µm. In generale lo si può fare manualmente o selezionando un tipo pre-impostato nel programma:

Modello di una lente in Zemax - 7

Ora dobbiamo inserire le superfici del nostro OS e dargli un nome (commento intuitivo)

Modello di una lente in Zemax - 8

Possiamo quindi iniziare a definire i parametri della lente, in base alle specifiche di progetto:

Il tipo di vetro si può editare direttamente (Zemax lo riconosce) o cercare dal menu Tools.

Circa lo spessore, dai vincoli progettuali, possiamo iniziare a sceglierne uno (sarà poi ottimizzato nel corso della procedura). Un valore di 4mm per una lente di apertura di 25mm.

Il raggio di curvatura e lo spessore tra il vertice della lente e l’immagine non devono essere predeterminati, poiché saranno variabili predeterminati, poiché saranno variabili dell’ottimizzazione.

Per ora lasciamo il raggio dello STOP a infinito e cambiamo il thickness del retro-lente pari alla nostra focale (100mm). Notare come varia il raggio dell’immagine in base ai parametri inseriti.

Modello di una lente in Zemax - 9

Una volta definiti dei parametri, vi sono 2 possibili metodi di ottimizzarne i valori:

1. Rendere questi parametri variabili e aggiungere manualmente ulteriori vincoli nell’editor della funzione di merito;

2. Usare speciali funzioni di risoluzione embedded nel programma per forzare i valori dei parametri, eliminandone alcuni ritenuti non necessari (migliore!!!)

Tra i diversi metodi di risoluzione disponibili, uno importante è definire l’F/# per mantenere la desiderata lunghezza focale. Per implementare un metodo si clicca con il destro sulla casella di riferimento e si seleziona il tipo di metodo.

Si aggiusta il raggio di curvatura automaticamente

Modello di una lente in Zemax - 10

A questo punto siamo pronti per valutare la qualità dell’OS. In Zemax si possono usare diversi metodi:

Layout: mostra la sezione in YZ attraverso la lente. Fornisce una visione d’insieme sempre utile dell’OS nei FOV scelti (3 nel nostro caso)

Modello di una lente in Zemax - 11

Spot Diagram: indica l’immagine. In assenza di aberrazioni si avrà sempre un oggetto perfetto, per ogni FOV e rispetto al chief ray.

Modello di una lente in Zemax - 12

OPD Fan: plot della differenza di cammino ottico come funzione delle coordinate della pupilla. In assenza di aberrazioni si avrà un fronte d’onda perfettamente sferico nella pupilla d’uscita.

Modello di una lente in Zemax - 13

Ray Fan: plot delle aberrazioni come funzione delle coordinate della pupilla. Un certo raggio del fronte d’onda ha un punto d’intersezione in un punto a distanza non nulla dal chief ray. Di nuovo, in assenza di aberrazioni qualunque raggio dovrebbe incrociare la pupilla nell’origine.

Modello di una lente in Zemax - 14

Dalla valutazione dei 4 plot visti, è ovvio che la lente ha un certo numero di aberrazioni, includenti sferica, coma, distorsione, defocus, curvatura di campo e astigmatismo. Un altro plot utile è in questo senso quello relativo alla curvatura di campo e distorsione (Menu “Analysis”, option “Miscellaneous”)

Uno degli errori commessi finora è stata la scelta casuale del fuoco. Sicuramente molte delle aberrazioni sono in parte dovute al fatto che il piano immagine non è ancora al suo best focus!

Modello di una lente in Zemax - 15

Il metodo in Zemax per posizionare meglio il piano immagine è noto come quick focus tool. Esso consiste in un tool che permette di aggiustare lo spessore dell’OS prima del piano immagine, in modo da minimizzare le aberrazioni.

La posizione di best focus che il tool sceglierà, dipende dal criterio selezionato. Nel nostro caso della lente selezionato. Nel nostro caso della lente selezioniamo la dimensione radiale dello spot.

Modello di una lente in Zemax - 16

Osserviamo già i miglioramenti in termini di defocus

Modello di una lente in Zemax - 17

le dimensioni geometriche e RMS degli spot si sono ridotte di un fattore 2!

Modello di una lente in Zemax - 18

Ma ancora il sistema è migliorabile. Qui si innesca il processo ciclico di ottimizzazione, preceduto da 2 importanti steps:

• selezionare i parametri liberi e quelli fissati (gradi di libertà dell’OS);

• selezionare e costruire la funzione di merito (MF);

Il parametro Radius della LENS BACK è stato fissato. Dunque abbiamo la possibilità di variare:

• spessore della lente;

• il raggio di curvatura della lente;

• il raggio di curvatura della lente;

• distanza dal retro-lente al piano immagine, cioè il thickness della surface 2;

Per istruire Zemax su quali siano i gradi di libertà su cui poter agire, basta farli diventare variable

Modello di una lente in Zemax - 19

Ecco dunque le variabili su cui la funzione di merito agirà:

Ora costruiamo la MF: esiste uno specifico editor della MF, chiamato MFE. Apriamolo e poi selezioniamo “Tools” e “Default Merit Function”

Modello di una lente in Zemax - 20

Scegliamo la MF di default, dato che a noi interessa l’ottimizzazione in termini di raggio RMS dello spot rispetto al centroide dell’immagine, cosa già implicita nella MF di default.

Modello di una lente in Zemax - 21

Dal menu Tool, si può selezionare “Optimization” per lanciare il panel di comando che attiva il processo ciclico di ottimizzazione. Notare il prima e dopo aver premuto “Automatic”.

PRIMA DOPO

Modello di una lente in Zemax - 22

Valutazione finale

RMS e GEO radius è sceso di un fattore 10!

PSF in Zemax - 1

La PSF di un sistema ottico è la distribuzione d’intensità della sorgente. Come sappiamo, sebbene si possa approssimare la sorgente ad un punto, in realtà non lo è. Primo perchè le aberrazioni allargano l’immagine su un’area finita. Secondo perchè, anche in assenza di aberrazioni, vale il limite di diffrazione.

ZEMAX fornisce la possibilità di calcolare la PSF in 3 modi:

1. geometric (no diffraction) spot diagram (dominio spaziale) 1. geometric (no diffraction) spot diagram (dominio spaziale) 2. diffraction based FFT (dominio in frequenza)

3. Huygens PSF (dominio di fronte d’onda)

Spot Diagram: una PSF geometrica - 1

Come abbiamo già visto, lo Spot Diagram proietta i raggi da una singola sorgente attraverso l’OS e visualizza le coordinate (x,y) dei raggi sul piano.

Qui è mostrato un esempio relativo ad uno specchio parabolico F/5 con lunghezza focale di 50mm. Il sistema rappresenta un telescopio newtoniano.

Spot Diagram: una PSF geometrica - 2

Il diagramma indica chiaramente la presenza di coma e astigmatismo fuori asse. Peraltro in asse il sistema è invece perfetto. Lo si può vedere meglio se selezioniamo la visualizzazione del disco di Airy nel diagramma:

FFT PSF - 1

In asse lo spot è molto più piccolo del disco di Airy, diversamente dal fuori asse. Ciò indica che lo spot diagram è un utile strumento per valutare le prestazioni su tutto il campo.

La Fast Fourier Transform (FFT) è un algoritmo ampiamente utilizzato nell’analisi in frequenza di molti sistemi elettronici e ottici. Concettualmente esso decompone una distribuzione di energia spaziale in una distribuzione nello spazio in frequenza.

La FFT PSF di un OS si effettua tracciando una griglia di raggi dalla sorgente alla pupilla di uscita. Per ogni raggio, l’ampiezza e la differenza di cammino ottico sono usate per calcolare l’ampiezza di un punto del fronte d’onda in corrispondenza della pupilla di uscita. La FT di questa griglia, viene poi scalata e quadrata per generare la PSF.

questa griglia, viene poi scalata e quadrata per generare la PSF.

In Zemax è sufficiente selezionare:

Analysis > PSF > FFT PSF

FFT PSF - 2

Questo è un altro modo per visualizzare la FFT PSF. Dal confronto diretto con lo spot diagram nel field 2, si nota la corrispondenza della distribuzione di ampiezza dello spot fuori asse.

Huygens PSF - 1

La Huygens PSF è calcolata convertendo ogni raggio dello Spot Diagram in una piccola onda.

Ricordiamoci infatti che un raggio in Zemax modella una piccola porzione di onda piana e che il raggio localmente è normale al fronte d’onda. L’onda piana ha un’ampiezza, una fase e una direzione determinate dai dati associati al raggio che la genera. L’intensità totale di un punto della superficie dell’immagine può essere determinata sommando tutte le onde piane relative a tutti i raggi tracciati.

La Huygens PSF non è basata sulla FFT ed è di solito più lenta nel calcolo, ma più accurata nei casi in cui, ad esempio, si è sotto il limite di campionamento di Nyquist o quando in generale:

casi in cui, ad esempio, si è sotto il limite di campionamento di Nyquist o quando in generale:

• La superficie dell’immagine è estremamente tiltata rispetto al chief ray;

• Vi è un’eccessiva distorsione tra pupilla d’entrata e d’uscita;

Huygens PSF – vincolo di Nyquist

Limite di Nyquist: la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare ambiguità nella ricostruzione del segnale con larghezza di banda finita e nota è pari al doppio della sua massima frequenza

Se ho un campionatore in cui ∆t è il periodo di campionamento e f =1/∆t la frequenza di campionamento, allora è necessario dargli in ingresso un segnale limitato in banda da f/2 (filtro anti-aliasing)

Lo spettro di un segnale campionato è uguale allo spettro del segnale originale ripetuto periodicamente in frequenza. Il periodo di

Questa sovrapposizione rende impossibile l'esatta ricostruzione del segnale originale e tale ricostruzione risulterà distorta (effetto aliasing). Per questo motivo ogni apparato di conversione analogico-digitale ha un filtro anti-alias a monte del campionatore, il ruolo di tale filtro è quello di eliminare dal segnale in ingresso le componenti di frequenza maggiori della metà della frequenza di campionamento dell'apparato.

periodicamente in frequenza. Il periodo di questa ripetizione è uguale alla frequenza di campionamento f, quindi se la frequenza massima del segnale originale supera f/2 le ripetizioni nello spettro del segnale campionato si sovrappongono.

Huygens PSF - 2

La Huygens PSF di un OS si calcola tracciando una griglia di raggi sul piano immagine. Per ogni raggio, l’ampiezza, le coordinate, i coseni direttori e la differenza di cammino ottico sono usati per calcolare l’ampiezza dell’onda piana incidente su ogni punto della griglia (piano immagine).

In Zemax è sufficiente selezionare Analysis > PSF > Huygens PSF

I principali parametri sono: Pupil Sampling, Image Sampling, and Image Delta.

Image Delta è la distanza tra due punti consecutivi nella griglia (in micron). La regione totale in cui è calcolata la H-PSF non è altro che il prodotto Image Delta x Image Sampling

on axis off axis

Sistemi Off-axis in Zemax - 1

ZEMAX può anche modellare sistemi ottici off-axis, che cioè contengono folding mirror, componenti ottiche tiltate rispetto all’asse ottico.

Per fare ciò si introducono nel disegno ottico le superfici di tipo "Coordinate Break”.

Una Coordinate Break (CB) permette di specificare lo shift in x, y o in z e/o il tilt (rotazione intorno all’asse ottico) della successiva superficie. Essa è pertanto una “dummy surface”, cioè intorno all’asse ottico) della successiva superficie. Essa è pertanto una “dummy surface”, cioè non ha alcun potere riflettivo o rifrattivo.

Sistemi Off-axis in Zemax - 2

Ad esempio consideriamo un gregoriano con 2 specchi conici. Se non introducessimo uno shift fuori asse, otterremmo il totale oscuramento sul piano immagine (per costruzione delle ottiche introdotte).

Sistemi Off-axis in Zemax - 3

Viceversa, definendo uno spostamento (decenter), mediante un coordinate break, si riesce ad ottenere un fascio collimato verso il piano immagine