Programma di TOPOLOGIA A.A. 2018-2019 Corso di Laurea in Matematica
A. Miranda
SPAZI TOPOLOGICI (richiami con alcune integrazioni)
Spazi topologici Topologia su un insieme. Aperti. Topologia naturale. Topologia di Sorgenfrey. Topologie delle semirette. Topologia cofinita. Confronto tra topologie. Basi. Chiusi. Chiusura e propriet`a. Interno e propriet`a. Intorni e propriet`a. Aderenza. Spazi pseudometrici. Spazi metrici. Un esempio di pseudometrica che non `e una metrica. Topologia indotta da una pseudomet- rica. Topologia indotta dalla metrica euclidea. Topologie pseudometrizzabili.
Metriche equivalenti. La metrica euclidea, la metrica del taxi, la metrica del massimo. Basi locali. Continuit`a puntuale (in ambito topologico). Legami con la continuit`a usuale. Continuit`a in ambito metrico. Continuit`a globale e caratterizzazioni. Continuit`a della composizione di applicazioni. Appli- cazioni aperte. Applicazioni chiuse. Esempi. Omeomorfismi e caratteriz- zazioni. Classi di omeomorfismo degli intervalli di R. Omeomorfismo fra sfere e cubi euclidei. Omeomorfismo tra uno spazio euclideo ed un suo disco aperto. Omeomorfismo tra una corona circolare ed un cilindro. La proiezione stereografica.
Sottospazi Topologia relativa. Continuit`a dell’inclusione. Topologia naturale in- dotta.
Quozienti Topologia quoziente. Aperti saturi. Applicazioni quoziente. Teorema di rappresentazione. Esempi di applicazioni quoziente. La rappresentazione parametrica standard della circonferenza. La circonferenza `e il quoziente che si ottiene dal segmento [0, 1] identificando gli estremi. La rappresentazione parametrica standard del cilindro. Esempi di quozienti del quadrato chiuso:
il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, il piano proiettivo reale. Riduzione di un chiuso ad un punto. Riduzione della circonferenza di bordo di un disco ad un punto. La sfera `e il quoziente che si ottiene dal disco chiuso mediante la riduzione ad un punto della circonferenza di bordo. Altri modelli topologici del piano proiettivo reale: modello di Klein, modello di Grassman, quoziente della sfera, quoziente della semisfera, quoziente del cerchio chiuso.
Prodotti Topologia prodotto. Continuit`a delle proiezioni. Continuit`a di una fun- zione a valori in un prodotto.
PROPRIETA’ TOPOLOGICHE
Propriet`a di separazione Propriet`a T0, T1, T2. Gerarchia. Caratterizzazione della propriet`a T1. Unicit`a del limite di una successione in uno spazio di Hausdorff.
Spazi pseudometrici e propriet`a di separazione. Ereditariet`a, produttivit`a, delle propriet`a di separazione. Comportamento di tali propriet`a nel passaggio al quoziente.
Propriet`a di numerabilit`a I e II assioma di numerabilit`a. Separabilit`a. Interdipen- denze. Spazi pseudometrizzabili e propriet`a di numerabilit`a. Condizioni per la metrizzbilit`a.
Compattezza Caratterizzazioni. Sottospazi di spazi compatti. Compattezza e pro- priet`a di separazione. Compattezza di una successione con l’aggiunta del proprio limite in uno spazio di Hausdorff. Compattezza e continuit`a. Quozi- enti di spazi compatti. Il Teorema di Heine. Il Teorema di Weierstrass. Il Teorema di Cantor. Prodotti di spazi compatti. Il Teorema di Tychonoff.
Compattezza negli spazi euclidei. Teorema di Heine-Pincherle-Borel.
Connessione Caratterizzazioni. Criteri di connessione. Sottospazi di spazi con- nessi. Connessione e continuit`a. Quozienti di spazi connessi. Prodotti di spazi connessi. Componenti connesse. Le componenti connesse sono chiuse e individuano una partizione. Criterio di connessione. Spazi totalmente scon- nessi. Cammini. Prodotto di cammini. Connessione per cammini. Il seno del topologo. Caratterizzazione dei connessi dell’asse reale. Connessione negli spazi euclidei. Convessit`a. Convessit`a rispetto ad un punto. Connessione per poligonali. Equivalenza della connessione per poligonali, della connes- sione per cammini e della connessione in un aperto di uno spazio euclideo.
Teorema degli zeri. Teorema del punto fisso di Brower.
COMPLEMENTI
Convergenza Convergenza di una successione (in ambito topologico). Legami con la convergenza usuale. Convergenza e continuit`a. Continuit`a sequenziale.
Confronto. Coincidenza delle due nozioni in spazi che verificano il I assioma della numerabilit`a.
Topologie in spazi di funzioni Topologia della convergenza puntuale. Topologia della convergenza uniforme. Confronto. Spazi di funzioni che non verificano il I assioma della numerabilit`a. Spazi di funzioni metrizzabili e non. La met- rica della convergenza uniforme e la pseudometrica dell’integrale. Topologie deboli e topologie forti.
GRUPPO FONDAMENTALE
Omotopia Omotopia tra funzioni. Propriet`a. Funzioni nullomotopiche. Funzioni a valori in una superficie sferica. Caratterizzazione delle funzioni nullomo- topiche mediante il cono topologico. Equivalenze omotopiche. Tipo di omo- topia di uno spazio topologico. Omotopia di funzioni relativamente ad un sottoinsieme. Omotopia di cammini. Lacci. Gruppo fondamentale in un punto. Gruppo fondamentale di uno spazio connesso per cammini. Gruppo fondamentale e continuit`a. Invarianza omotopica del gruppo fondamentale.
Retrazioni e retrazioni per deformazione. La circonferenza come retratto per deformazione del piano Euclideo privato di un punto, del cilindro, della corona circolare, del nastro di Moebius, di R2 − {0}. La figura otto come retratto per deformazioneR2− {P1, P2}.
Determinazione del gruppo fondamentale Determinazione del gruppo fondamentale della circonferenza. Lacci fondamentali. La proiezione. Sollevamenti. Ap- plicazioni di rivestimento. Numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di uno spazio metrico compatto. Sollevamenti di lacci e di omotopie. Lemma di unicit`a del sollevamento di un cammino. Lemma di unicit`a del sollevamento di un’omotopia. Applicazione grado. Invarianza del grado per omotopia. Iso- morfismo tra il gruppo fondamentale della circonferenza e il gruppo additivo degli interi relativi. Il teorema del punto fisso in dimensione 2. Il teorema fondamentale dell’algebra. Spazi semplicemente connessi. Calcolo del gruppo fondamentale della sfera Sn con n ≥ 2. Ogni superficie compatta semplice- mente connessa (n = 2) `e omeomorfa a S2. 4-variet`a compatte semplice- mente connesse. 3-variet`a compatte semplicemente connesse (la congettura di Poincar`e).
SUPERFICI E CLASSIFICAZIONE TOPOLOGICA
Superfici Definizione di superficie. Definizione di superficie con bordo. Com- ponenti connesse del bordo. Somma connessa di superfici. Triangolazioni di una superficie compatta. Orientabilit´a di una superficie. Caratteristica di Eulero-Poincar´e (E-P). La caratteristica di E-P di una somma connessa. Cal- colo della caratteristica di E-P della sfera, del toro, del piano proiettivo reale, di una somma connessa di tori, di una somma connessa di piani proiettivi.
Classificazione di superfici Teoremi fondamentali di classificazione topologica delle superfici connesse compatte (per le superfici e per le superfici con bordo) (enunciato). Classificazione delle superfici in topologia: Teoremi di classifi- cazione delle superfici connesse compatte mediante orientabilit`a e caratteris- tica di E-P (per le superfici (I) e per superfici con bordo (II)).
Classificazione delle superfici in topologia algebrica: Teoremi di classificazione delle superfici connesse compatte mediante il gruppo fondamentale (per le superfici (I) e per le superfici con bordo(II))(enunciato).
TESTI CONSIGLIATI
• R. Engelking, General Topology , Ed. Heldermann Verlag Berlin.
• V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Ed. Zanichelli 1976.
• C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Ed. Zanichelli.
• M. Manetti, Topololgia, Ed. Springer-Verlag.
• W.S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction , Ed. Springer-Verlag.
• S. Willard, General Topology , Ed. Dover 2004.
