Capitolo 4

Capitolo 4

Generatori di Alta Tensione Continua

e Moltiplicatori di Tensione

4.1 Introduzione

L’utilizzo di generatori di elevate tensioni continue (HVDC, High Voltage Direct Current ) è molto diffuso in applicazioni industriali, per apparecchi elettromedicali (Raggi-X) ed è spesso richiesto in lavori di ricerca di fisica applicata (acceleratori di particelle, microscopi elettronici,ecc). Inoltre l’HVDC è usata per testare i cavi ad Alta Tensione Alternata di lunghezze molto grandi, i quali proprio a causa delle lunghezza hanno una capacità grande e quindi per un test con HVAC richiederebbero valori di correnti molto grandi.

Un metodo efficiente per generare alta tensione, se le correnti assorbite non sono elevate (< 1A), è quello di sfruttare un banale circuito raddrizzatore per implementare un moltiplicatore di tensione.

Secondo lo standard IEEE 4-1995 la tensione continua di test è definita come il valore medio aritmetico Vd della tensione v(t) e la sua espressione è [10]:

∫

dove T è il periodo della tensione v(t) con frequenza f = 1/T. Se la tensione di test viene generata utilizzando un raddrizzatore non avrà mai un valore costante in ampiezza, ci sarà sempre una deviazione periodica dal valore medio nota come ripple. L’ampiezza del ripple δV ha la seguente espressione: ] [ 2 1 min max V V V = − δ

Un’altra grandezza tipica è il fattore di ripple definito come il rapporto tra l’ampiezza del ripple e il valore medio della tensione (δV/Vd). A seconda delle applicazioni viene espressa in percentuale il valore massimo consentito del fattore di ripple.

4.2 Circuito Raddrizzatore Half-Wave [9] [10]

Come accennato prima un circuito elementare utilizzabile per produrre HVDC è il raddrizzatore a singola semionda mostrato in Fig.4.1 dove RL è il carico e C è la capacità utilizzata per ridurre l’ampiezza del ripple.

Figura 4.1 (a) Raddrizzatore a Singola Semionda (b) Andamento della tensione d’uscita senza la Capacità C (c) Andamento della Tensione d’uscita con la capacità C

La realizzazione di questi circuiti è stata facilitata dalla disponibilità di molteplici diodi raddrizzatori a stato solido a costi limitati. Un parametro importante di questi dispositivi è la tensione di picco applicabile in polarizzazione inversa, attualmente inferiore a 2500 V

circa. Nel caso questa tensione risulti maggiore a tale valore è possibile utilizzare più diodi in serie, in tal caso però è necessario utilizzare particolari dispositivi che garantiscono che la tensioni ai capi dei diodi sia la stessa durante il periodo di non conduzione.

Nel circuito di Fig.4.1a si assuma ideale il trasformatore e si trascuri la resistenza del diodo in conduzione, sotto queste ipotesi quando il diodo è in conduzione la capacità C viene caricata alla massima tensione Vmax. Trascurando per ora il carico, la tensione ai capi del condensatore, ovvero la tensione d’uscita, rimane costante al valore di Vmax mentre la tensione di ingresso oscilla tra ± Vmax . Questo implica che quando la tensione in ingresso è pari a – Vmax , allora il diodo sarà sottoposto ad una tensione di 2 Vmax .

Se al circuito viene collegato un carico, la tensione d’uscita non rimane costante a Vmax come mostrato in Fig.4.1c. Dopo il punto E la tensione d’ingresso è inferiore alla tensione sul condensatore e quindi il diodo si interdice. Il condensatore non può scaricarsi sulla sorgente per via dell’unidirezionalità del diodo, mentre invece ci sarà una corrente iL che fluisce dalla capacità al carico. Questo implica che durante il periodo in cui il diodo non conduce, la tensione d’uscita decresce con velocità dipendente dalla costante di tempo RLC del circuito, fino al raggiungimento del punto F in Fig.4.1c corrispondente a Vmin . Dopo il punto F la tensione d’ingresso supera quella ai capi del condensatore e quindi il diodo entra in conduzione caricando nuovamente la capacità a Vmax , inoltre anche durante questo periodo viene fornita corrente al carico.

Si noti che il secondo impulso di corrente, quando il diodo ricomincia a condurre, ha una durata minore rispetto all’impulso iniziale, infatti condurrà esclusivamente il tempo necessario a rifornire il condensatore della carica che aveva precedentemente perso alimentando il carico. Quindi, mentre gli di corrente dei diodi durano meno di mezzo ciclo, il carico riceve una corrente più continua dalla capacità C.

Trascurando la carica fornita al carico dal trasformatore durante i brevi periodi di conduzione del diodo, è possibile assumere che tutta la carica che il trasformatore trasferisce al condensatore nel periodo di conduzione sia pari alla carica trasferita al carico dal condensatore.

In un periodo T la carica Q trasferita al carico RL è :

f I IT dt R t V dt t i Q T L RL T L = = = =

∫

∫

dove I è il valore medio della corrente iL(t) e VRL(t) la tensione raddrizzata sul carico. Questa carica è fornita dalla capacità al carico nel tempo in cui la tensione scende da Vmax a Vmin, che trascurando il tempo di conduzione dei diodi, è all’incirca pari al periodo T del segnale d’ingresso.

Considerando V la tensione sul condensatori ad ogni istante e supponendo che questa diminuisca di una quantità dV per un tempo dt, allora la carica erogata dalla capacità in questo tempo è:

CdV dQ=

Quindi se la tensione passa da Vmax a Vmin il valore della carica fornita dal condensatore sarà: min) max ( * min max V V C CdV dQ Q V V − − = = =

_∫

_∫

Dall’espressione fornita precedentemente per il ripple di tensione si ricava: VC

Q=2δ

Quindi sfruttando l’espressione della carica si ottiene:

Cf I C IT V 2 2 = = δ

Dalla precedente relazione è evidente che l’ampiezza del ripple dipende sia dalla corrente nel carico che da parametri circuitali come il valore della capacità C e della frequenza f del segnale d’ingresso.

In generale il prodotto f٠C è un importante parametro di progetto per un raddrizzatore. Quanto più è maggiore la frequenza del segnale, o è grande il valore della capacità C, tanto più piccola sarà l’entità del ripple di tensione.

Gli svantaggi di un raddrizzatore a singola semionda sono principalmente due:

1. le dimensioni del circuito crescono se è necessario ottenere un elevata tensione continua e con un fattore di ripple molto basso; questo deriva dal fatto che i diodi e i condensatori dovranno essere in grando di supportare gli elevati valori di tensione ed inoltre la capacità del condensatore dovrà essere molto grande per ridurre il fattore di ripple, con conseguente aumento del suo package;

2. se la sorgente è collegata con un trasformatore, quest’ultimo potrebbe saturare se l’ampiezza della corrente continua supera il valore nominale della corrente alternata del trasformatore.

4.3 Duplicatore di Tensione [9]

Nel 1920 Greinacher, un giovane fisico, pubblicò un circuito che permetteva di convertire una tensione alternata in una tensione continua di ampiezza pari al doppio della tensione massima in ingresso. Questo circuito (Fig.4.2), noto come Duplicatore di Tensione, sfrutta proprio il principio di funzionamento dei raddrizzatori, analizzato nel paragrafo precedente.

Figura 4.2 Duplicatore di Tensione di Greinacher

Supponendo che il potenziale in B sia maggiore di quello in A, allora il diodo D1 conduce caricando la capacità C1 a Vmax con la polarità mostrata in Fig.4.2. Nell’altra metà del periodo del segnale il punto A assume valore pari a Vmax e quindi il punto cresce ad un potenziale pari a 2Vmax. A questo punto D2 entra in conduzione e quindi la capacità C2 si carica con una tensione ai suoi capi pari a 2Vmax. Idealmente, in assenza di carico, la tensione d’uscita sarebbe quindi pari a 2Vmax. In presenza di un carico RL la tensione d’uscita sarà inferiore a 2Vmax ed avrà un certo ripple in funzione della costante di tempo RLC del circuito.

4.4 Moltiplicatore di Tensione

Nel 1932 il circuito di Greinacher fu perfezionato da Cockroft Walton, al fine di ottenere un elevato valore di tensione continua per produrre ioni positivi ad alta energia [12].

Un circuito del tipo Cockroft Walton è mostrato in Fig.4.3 e prende il nome di

Moltiplicatore di Tensione Half- Wave [11].

Per analizzare il comportamento di questo circuito si considera che la carica dei condensatori avvenga stadio per stadio piuttosto che simultaneamente. In questo modo si semplifica l’analisi senza invalidare il risultato finale.

Sempre al fine di rendere più semplice l’analisi si considera un quattro stadi, come quello mostrato in Fig.4.3, ma il funzionamento è lo stesso per un moltiplicatore con un numero n generico di stadi.

Si supponga che le capacità siano inizialmente tutte scariche e che la tensione massima fornita dal trasformatore sia pari a Vmax.

4.4.1 Analisi in Assenza di Carico [11]

Durante il semiperiodo in cui il segnale d’ingresso è negativo, il diodo D1 conduce e la capacità C1 si carica alla tensione massima raggiunta sul secondario del trasformatore. Nel seguente semiperiodo positivo del segnale il diodo D1 è polarizzato in inversa e la capacità C1 resta carica a Vmax, quindi il punto a raggiungerà un valore massimo di tensione pari a 2Vmax quando la tensione sul secondario è Vmax. Nei periodi successivi la tensione sul punto a varierà fra 0 e 2Vmax a seconda che la tensione sul secondario del trasformatore sia pari a –Vmax o Vmax, rispettivamente.

Quando sul punto a si ha 2Vmax, il diodo D2 è polarizzato in diretta e la capacità C2, che per ipotesi era inizialmente scarica, si carica ad una tensione pari a 2Vmax.

A questo punto il potenziale in b assume valore 2Vmax e quindi è maggiore uguale del potenziale in a, quindi il diodo D2 non conduce e la capacità C2 resta carica a 2Vmax. In queste condizioni, quando in a il potenziale è 0 anche il diodo D3 può condurre caricando la capacità C3 alla tensione 2Vmax. Sul punto c la tensione varierà tra 2Vmax e 4Vmax quando a passa da 0 a 2Vmax, allora il diodo D3 è interdetto o polarizzato in inversa e quindi la capacità C3 non si scarica.

Con il potenziale su b pari a 2Vmax, quando in e si ha 4Vmax D4 entra in conduzione caricando C4 a 2Vmax, mentre quando il potenziale in e scende a 2Vmax D4 risulta polarizzato in inversa e quindi C4 non ha alcun percorso di scarica.

Da questo punto in poi la tensione sul punto d e quindi sull’uscita resta costante e pari alla somma delle tensioni su C2 e C4 ossia 4Vmax. In un moltiplicatore ad n stadi senza carico sarà pari a 2nVmax.

Il funzionamento appena descritto è riassunto nella Tab.4.1.

Tempo 0 - T/2 + T - 3T/2 + 2T - 5T/2 + 3T - 7T/2 + 4T - a 0 2Vm 0 2Vm 0 2Vm 0 2Vm 0 b 0 2Vm 2Vm 2Vm 2Vm 2Vm 2Vm 2Vm 2Vm c 0 0 2Vm 4Vm 2Vm 4Vm 2Vm 4Vm 2Vm d 0 0 0 4Vm 4Vm 4Vm 4Vm 4Vm 4Vm

4.4.2 Analisi del Moltiplicatore con Carico [9]

Nel caso in cui si colleghi un carico RL al moltiplicatore, la tensione d’uscita non raggiungerà mai il valore ricavato prima 2nVmax, inoltre sarà anche soggetta ad un certo ripple. Quindi, in presenza del carico, entrano in gioco due nuove grandezze, ossia la perdita di tensione ΔV rispetto al valore ideale e l’ampiezza del ripple di tensione δV. In Fig.4.4 viene mostrato l’effetto di queste grandezze sull’andamento della tensione d’uscita.

Figura 4.4 Tensione d’uscita di un Moltiplicatore in presenza di un carico.

Si consideri q la carica trasferita al carico ogni periodo, questa carica ha la seguente espressione:

IT f I

q = =

Questa carica viene prelevata dai condensatori in serie che determinano la tensione d’uscita (ad esempio C2 – C4 in Fig.4.3). Se durante il periodo T non si ha trasferimento di carica dai condensatori menzionati prima ai restanti allora l’ampiezza del ripple vale:

∑

dove Ci indica tutti i condensatori pari secondo i riferimenti di Fig.4.3.

In realtà questa ipotesi non è mai verificata, di seguito verrà riportata una semplice analisi del processo di trasferimento di carica fra i condensatori e con il carico.

Figura 4.5 (a) Carica dei condensatori Ci' (b) Carica dei condensatori Ci

In Fig.4.5a è indicato il flusso della carica quando la tensione VAB è positiva e viene caricata la serie di condensatori mentre in Fig.4.5b è indicato il flusso di carica nel successivo semiperiodo del segnale quando la tensione VAB è negativa e si caricano i condensatori . ' i C i C

Di seguito si farà riferimento alla Fig.4.5a, supponendo che la tensione in O’ sia 6Vmax, ovvero la massima tensione raggiungibile in uscita essendo un moltiplicatore a tre stadi. Questa tensione si scaricherà sulla resistenza di carico, e la carica persa ad ogni periodo è q = IT. Tale carica dovrà essere recuperata nel ciclo di ricarica (Fig.4.5a) per avere una tensione costante in uscita.

' 3

C è rifornito di una carica q da e quindi deve acquisire una carica 2q in modo da

fornire una carica q al carico e una carica q a , nel successivo semiperiodo chiamato ciclo di trasferimento da Cockroft e Walton. Allo stesso modo deve acquisire una carica 3q in modo da poter fornire una carica q al carico e una carica 2q al condensatore

durante il ciclo di trasferimento.

3 C C₂' 3 C ' 1 C 2 C

Nel ciclo di trasferimento, mostrato in Fig.4.5b, i diodi D1, D2, D3 entrano in conduzione. trasferisce una carica q a , trasferisce una carica 2q a ed il trasformatore fornisce una carica 3q.

' 2

C C₃ C₁' C₂

Da quanto detto è possibile dimostrare che il valore del ripple per un Cockroft-Walton ad n stadi è: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = − − ' 2 1' ' 1 ' ... 3 2 1 2 C n C C C f I V n n n δ

Dalla relazione precedente è evidente che in un circuito multistadio, come quello analizzato, il maggior responsabile del ripple sulla tensione d’uscita è la capacità più piccola. Tipicamente per avere una uscita stabile si usano condensatori uguali e di valore sufficientemente grande.

Nel caso di capacità uguali l’ampiezza del ripple assume la seguente espressione:

fC n In n n fC I V 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 + = + = δ

L’altro parametro che caratterizza il moltiplicatore con il carico è la caduta di tensione ΔV che come già visto esprime la differenza di tensione fra il valore teorico in assenza di carico (2nVmax) e quello con il carico connesso.

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = Δ 6 2 3 2 2 3 n n n fC I V

Se il numero di stadi n è maggiore o uguale di quattro allora la caduta di tensione si può approssimare con: 3 3 2 n fC I V = Δ

Quindi la massima tensione in uscita sarà:

3 3 2 max 2 max n fC I nV Vo = −

Dalla relazione precedente risulta chiaro che fissato il numero di stadi n, della frequenza e della capacità C la tensione d’uscita decresce linearmente con la corrente che scorre nel carico.

Per valutare il valore massimo della tensione d’uscita fissata Vmax, I, f e C si può valutare il valore ottimo per il numero di stadi e sostituirlo nell’espressione della tensione d’uscita.

0 2 max 2 max _{= −} 2 ₌ n fC I V dn dV → max₋ 2 ₌0 n fC I V

I

fC

V

n

=

Sostituendo n_optnella relazione dell’uscita si ottiene:

max max max max max 3 4 3 2 max 2 max) ( V I fC V I fC V fC I V I fC V Vo _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

In conclusione aumentare la frequenza o il valore della capacità permettono di ridurre il ripple e di limitare la perdita di tensione, ovviamente scegliere di aumentare la frequenza rispetto alla capacità permette di ridurre il costo del circuito ed anche le dimensioni.

4.5 I condensatori del Moltiplicatore

In letteratura la maggior parte dei progetti e studi sul moltiplicatore di tensione di Cockroft-Walton si basano sull’utilizzo di condensatori a capacità identiche per ogni stadio. In [13] viene illustrato il progetto e la realizzazione di un generatore di alta tensione a 15 kV utilizzando un Moltiplicatore di tensione di questo tipo. Anche nel precedente paragrafo per definire l’espressione della perdita di tensione ∆V si è supposto che le capacità fossero identiche. Nonostante l’analisi semplificata, è emerso che sia la perdita di tensione che il ripple δV sono strettamente legate al valore della capacità. Questo fa pensare che scegliendo opportunamente i valori delle capacità sia possibile ridurre ∆V e δV e quindi aumentare il guadagno reale di tensione del moltiplicatore.

In [14] viene proposto un metodo per realizzare un progetto ottimo di un Cockroft Walton, valutando gli effetti della scelta delle capacità sul ripple e sulla perdita di tensione, e calcolando anche il numero di stadi ottimo ( ) come il minimo n che permette di tenere un determinato guadagno di tensione con la minima capacità totale (somma di tutte le capacità del moltiplicatore). Quest’ultima richiesta permette la realizzazione di un circuito a costi e dimensioni più contenute.

opt

N

In particolare, sono state valute quattro possibile scelte: Caso 1: C_2⋅i =C_2⋅i−1 =C (situazione più diffusa);

Caso 2: C₁ = 2⋅C e C_2⋅i =C_2⋅i−1 =C per i ≠ 1 (situazione meno diffusa);

Caso 3: C_2⋅i =C_2⋅i−1 =(n+1−i)⋅C;

Caso 4: C2⋅i =(n+1−i)⋅C e C ⋅i− = n+ −i ⋅C.

2 1

2 ( 1 )

Per avere un idea dei valori che assumono le capacità stadio per stadio, in Fig.4.6 sono riportati i rispettivi valori nei quattro casi per un Cockroft-Walton a tre stadi.

Fig.4.7 , 4.8 e 4.9 mostrano in funzione del numero di stadi n, rispettivamente, i valori della perdita di tensione ∆V, del valore del ripple δV e della tensione d’uscita, normalizzati al valore di picco della tensione d’ingresso (Epk) e per fissati valori di IL, e f Ctot .

Dall’analisi di queste figure è evidente che i casi 3 e 4 sono quelli che permettono di avere i valori più bassi di ∆V e δV e di conseguenza un valore maggiore della tensione d’uscita Vo. CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO 4 C4 C C6 C GND D1 D2 D3 D4 D5 D6 C3 C C2 C C3 C IN OUT C1 C C5 C C7 C GND D7 D8 D9 D10 D11 D12 C8 C C9 C C10 C IN OUT C11 2*C C12 2*C C13 C GND D13 D14 D15 D16 D17 D18 C14 2*C C15 3*C C16 C IN OUT C17 3*C C18 2*C C19 C GND D19 D20 D21 D22 D23 D24 C20 4*C C21 3*C C22 C OUT IN C23 9*C

Figure 4.6 Valori assunti dalle capacità nei quattro casi [14] in un Cockroft-Walton a 3 stadi

Figure 4.8 δVo/Epk come funzione del numero di stadi n per i quattro casi analizzati

Figure 4.9 X = Vo/Epk come funzione del numero di stadi n per i quattro casi analizzati

Le espressioni ricavate per il numero ottimo di stadi, minimizzando il prodotto f ⋅C_tot, possono essere approssimate con le seguenti equazioni lineari:

Caso 1: 108 10 3 2_{⋅ +} = X N_opt

Caso 2: 41 3 3 2_{⋅ +} = X Nopt Caso 3: 41 1 3 2 + ⋅ = X N_opt Caso 4: 4 1 8 5_{⋅ +} = X N_opt

In Fig.4.10 sono riportati i valori di Nopt e in Fig.4.11 i valori del prodotto f ⋅Ctot, entrambe in funzione del guadagno.

Figure 4.11 L pk tot I E C

f ⋅ ⋅ come funzione del numero di stadi n per i quattro casi analizzati

Analizzando i grafici e le relazioni precedenti , si possono trarre le seguenti conclusioni: • In ogni caso il valore di Nopt dipende solo dal guadagno di Tensione X e non dalla

corrente I_L sul carico;

• Secondo Fig.4.10, per un fissato valore del guadagno X, il Caso 4 è quello che richiede un numero minore di stadi, seguito dal Caso 3;

• Dalla Fig.4.11 è evidente che il Caso 3, invece, è quello che permette di ottenere il minimo prodotto f*Ctot a guadagno X fissato, e quindi che permette di minimizzare la capacità totale C_tot per determinati valori di I_L, f e E_pk.

Dalle osservazioni precedenti è chiaro che il Caso 3 costituisce la scelta migliore per i valori delle capacità per un progetto ottimizzato di un Cockroft-Walton secondo [14], ovvero che permette di ottenere la tensione desiderata in uscita con il numero ottimo di stadi, tale che la capacità totale del circuito risulti minimizzata.