Elettrostatica 6 30 maggio 2011 Capacità elettrica Condensatore piano Condensatore cilindrico Costante dielettrica Cariche indotte nel dielettrico Energia elettrostatica Composizione di capacità

Elettrostatica 6

30 maggio 2011

Capacità elettrica Condensatore piano Condensatore cilindrico Costante dielettrica

Cariche indotte nel dielettrico Energia elettrostatica

Capacità elettrica

• Si puo` definire per un numero arbitrario di conduttori

• Noi ci limiteremo a due conduttori caricati con cariche uguali e opposte

• La capacita` e` il rapporto tra la carica (in valor assoluto) presente su ciascun conduttore e la

differenza di potenziale (pure in valor assoluto) tra i conduttori

• Ha le dimensioni di carica diviso ddp

• La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il farad V

C  Q

 

 

V F  C

Condensatore piano

• Data una carica Q, per trovare C si determina preventivamente il campo E e da questo si trova il potenziale V

• Per il condensatore piano si usa anche il principio di

sovrapposizione per i campi generati dalla carica +Q sul primo piatto e –Q sul secondo

• Poiché le densità di carica sui due piatti sono uguali in modulo, otteniamo infine

0

0

2

2 



















 E E E



 

E

Condensatore piano

• Cioè il campo E è costante tra le due piastre

• La ddp tra i due piatti è

• E la capacità è

A d d Q

dl Edl

l d E V

0 0

0

 





 _{ }









   











 

d A V

C _ Q _ ⁰

- +

E dl

Condensatore cilindrico

• Applichiamo la legge di Gauss ad una

superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L, coassiale al conduttore interno

• Da cui ricaviamo il campo

 

0

|

 S Q

E 



r r

E 1

) 2 (



 

0

2 )

( 

 rL  ^L r

E 

- +

E dl

Condensatore cilindrico

• La ddp è

• E la capacità è

















 

 ^{   }



 r

r L

dr Q Edr r

l d E

V ln

2 1

2 



 









r r C L

ln

2 

Campo elettrico nella materia

• Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un

dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel campo è una diminuzione di intensità per una costante r (maggiore di 1) che dipende dalla natura del

dielettrico

• Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore

• Mentre la capacità aumenta dello stesso fattore

r vuoto

E E

 

r vuoto

V V

 

C

C 



Campo elettrico nella materia

• La carica libera sulle piastre del condensatore polarizza il

dielettrico, che si carica

superficialmente con cariche legate

• La carica libera produce il campo

• La carica legata produce il campo

• Il campo del dielettrico

diminuisce il campo delle piastre del condensatore

• Si ottiene così il campo risultante

libera



legata



0 0



 E 





legata

E 

legata

tot

E E

E 



Campo elettrico nella materia

• Poiché sappiamo che il campo totale vale

• Possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata

• Dato che campo e densità superficiali sono

proporzionali, otteniamo anche

0

1 E E

r r

legata



 



r tot

E E





libera r

legata r





   ^{ 1}

Costante dielettrica

• 

prende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale

• Il prodotto  = 



prende il nome di costante dielettrica del materiale

• Per studiare i fenomeni elettrici nei materiali dielettrici si introduce, accanto a E, il campo D

• Ove si e` evidenziato che 

puo` dipendere dal punto considerato nel dielettrico

  ^{r E}     ^{r E r}

D   

  





 



Energia elettrostatica

• Sia data una distribuzione di carica q che genera un potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a

• L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è

• Espressioni alternative

C dq Vdq q

dU

 

C dq Q

C U q

Q e

2

0

2

 1

 

2 1 1 2

1 Q QV CV

U   

Energia elettrostatica

• Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature

• Il lavoro speso per caricare il condensatore

può considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E

• Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico

• Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica

A Q

E  

 ^AE   ^{Ed E Ad}

QV

U

2 1 2

1 2

1    



Ed

V 

Energia elettrostatica

• La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre

• Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo l’energia per il volume

• Nel caso generale la densita` di energia puo` cambiare da punto a punto e quindi dev’essere espressa in

termini differenziali

• Inversamente l’energia si trova integrando la densita`

nello spazio

2

2 1 E V

u_e  U^e 



dV

u

 dU

Energia elettrostatica

• Si puo` estendere la relazione

al caso generale, di cui non diamo la dimostrazione, nella forma

2

2 1 E u_e 



D E u_e  



 2 1

Composizione di capacità

• Composizione in parallelo. 1 e 2

hanno la stessa caduta di potenziale ai loro capi. Su 1 c’è la carica Q₁ e su 2 la carica Q₂

• Vogliamo trovare un singolo

condensatore di capacità C che a parità di ddp V accumuli la stessa carica totale Q=Q₁+Q₂

• La capacità del condensatore

equivalente è quindi la somma delle capacità dei condensatori 1 e 2

CV Q 

V C V

C Q

Q







2

1

C

C

C  

Composizione di capacità

• Composizione in serie. La ddp ai capi di 1 è V₁ e ai capi di 2 è V₂. Su 1 si accumula la carica Q₁ e su 2 la carica Q₂

• Poiché tra i due condensatori la carica inizialmente è nulla, per la conservazione della carica avremo che Q₁ è uguale a Q₂

• Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che su una ddp pari alla

somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la stessa carica Q

• L’inverso della capacità del condensatore equivalente è quindi la somma degli inversi delle capacità dei condensatori 1 e 2

2 1

2

1

C

Q C

V Q

V   

C V  Q

2 1

1 1

1

C C

C  

Rigidita` dielettrica

• E` il massimo campo elettrico sostenibile dal dielettrico, prima che avvenga una

scarica distruttiva

• Normalmente sui condensatori si riporta

pero` la differenza di potenziale massima

sostenibile