Il punto materiale non ha dimensioni e può solo effettuare moti traslatori; inoltre ha una sua massa e quindi è soggetto alla forza peso.

Classe II sez. E-L RIPASSO

Equilibrio dei corpi puntiformi

La statica è la parte della meccanica che studia le condizioni di equilibrio di un corpo materiale, ovvero le condizioni necessarie affinché un corpo, inizialmente in quiete, resti in quiete anche dopo l’intervento di azioni esterne dette forze. La statica riveste importanza nella scienza delle costruzioni perché fornisce gli strumenti per lo studio e la progettazione di tutti i tipi di strutture (case, ponti, dighe ecc.), per cui le condizioni di equilibrio sono ovviamente fondamentali.

Un modello è la semplificazione di una situazione reale, utile per concentrare lo studio su alcuni aspetti di un fenomeno, ignorandone altri. Il punto materiale è il modello di un corpo reale, ed è un punto in cui si immagina concentrata tutta la materia presente nel corpo. Esso è utile quando il corpo reale si può considerare di dimensioni trascurabili rispetto al contesto in cui si trova, e tutte le forze su di esso agenti possono essere considerate applicate nello stesso punto.

Il punto materiale non ha dimensioni e può solo effettuare moti traslatori; inoltre ha una sua massa e quindi è soggetto alla forza peso.

Definizione

Un punto materiale è in una posizione di equilibrio quando posto in quella posizione con velocità nulla, vi rimane in quiete.

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale libero (da vincoli) è che la risultante delle forze applicate ad esso sia nulla F

_RIS

= R = 0 ^.

Supponiamo adesso che il punto sia vincolato. Il vincolo è un impedimento che limita parzialmente o totalmente il moto di un corpo; la reazione vincolare è la forza che il vincolo esercita su tale corpo, ed è una forza di tipo elastico e di natura elettromagnetica.

Esempio: un oggetto appoggiato ad un tavolo. Cosa impedisce all’oggetto di cadere, nonostante la presenza della forza peso? Se la presenza del vincolo ha l’effetto di modificare il comportamento che l’oggetto A avrebbe se fosse libero è naturale ammettere che l’azione del vincolo si manifesti con una forza R

_V

agente su A. A tale forza si dà il nome di Reazione Vincolare.

Postulato 1 (delle Reazioni Vincolari)

Un punto vincolato si può considerare libero, pur di aggiungere alle eventuali forze attive, la Reazione Vincolare che traduce l’azione del vincolo sul punto.

La condizione di equilibrio di un punto materiale (detta anche I equazione cardinale della statica) diviene allora la seguente: condizione necessaria e sufficiente affinché un punto materiale risulti in equilibrio è che sia nulla la somma vettoriale di tutte le forze applicate ad esso, ivi comprese le reazioni vincolari.

In formule:

1 2

0

RIS N V

F = R = F + F + … + F + R =

1

1 Quando il corpo è esteso e rigido (supporremo sempre che i corpi estesi siano rigidi, per semplicità), la condizione che la risultante sia nulla (FRIS = R = 0) non è più sufficiente. Un corpo rigido, quale per esempio un libro, appoggiato su un tavolo è in equilibrio perché la forza di gravità determinata dal suo peso è controbilanciata dal tavolo. Ora facciamo ruotare il libro, agendo con le mani su due bordi opposti, applicando due forze di uguale intensità e di verso contrario: in questo caso la risultante delle due forze è nulla e tuttavia il libro non è più in equilibrio. Per equilibrare l’effetto delle due forze, dette coppia di forze, occorre applicare una seconda coppia di forze, che provochi una rotazione uguale e di verso opposto. Una

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è

Per svolgere i calcoli è conveniente scegliere un opportuno sistema di riferimento (cartesiano ortogonale) e utilizzare le componenti delle forze agenti sul punto:

1 2

1 2

0 0

x x Nx Vx

y y Ny Vy

F F F R

F F F R

+ + + + =

 

+ + + + =



…

…

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare R

_V

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di R

_V

(perpendicolare alla superficie stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito. La reazione vincolare (formata da una componente normale al vincolo R

_N

e da una componente tangenziale F

_A

) corrispondente non è più necessariamente normale al vincolo.

coppia di forze è data da un sistema di due forze parallele, le cui direzioni non sono allineate e sono di verso opposto e agiscono su un corpo mettendolo in rotazione. L’intensità di una coppia di forze è determinata da una grandezza, detta vettore momento della coppia (indicato con M ), di intensità M = F ⋅b, dove b è la distanza tra le direzioni parallele della forza, detta braccio della coppia, e F la loro intensità. L’effetto della rotazione è dovuto al momento della coppia. Il momento è un vettore, diretto lungo l’asse di rotazione del corpo a cui viene applicata la coppia, e il cui senso punta verso un osservatore che vede la rotazione in senso antiorario. In generale, perché un corpo non ruoti occorre che i momenti delle forze che tendono a farlo ruotare in un senso siano compensati dai momenti di forze che tendono a farlo ruotare nel senso opposto, in modo che il momento totale sia nullo, cioè sia:

RIS 0 M =

Perché un corpo rigido sia in equilibrio, devono verificarsi allora due condizioni, cioè che la somma delle forze applicate sia uguale a zero e la somma dei momenti delle coppie applicate sia uguale a zero:

0 e 0

RIS RIS

F = M =

La prima condizione impedisce al corpo di traslare, la seconda di ruotare.

In generale, il momento M di una forza F, applicata in un punto P rispetto a un generico punto O, ha un’intensità data dal prodotto dell’intensità della forza F per la distanza tra il punto di applicazione della forza e il punto O, per il quale passa l’asse di rotazione, ovvero il segmento OP, detto ancora braccio della forza. La direzione del vettore M è perpendicolare alla forza e al segmento OP e il suo verso è dato dalla cosiddetta regola della mano destra. Il momento di una forza ne misura la capacità di porre in rotazione un oggetto rispetto al punto O. Per aumentare il momento di una forza è sufficiente aumentare il braccio. Il concetto di momento di una forza si applica alle leve, macchine semplici che hanno lo scopo di equilibrare una forza più o meno intensa applicandone un’altra, meno intensa ma di braccio maggiore, in modo da equilibrare i momenti delle forze.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è

Classe II sez. E-L

Scelta del sistema di riferimento

Per scrivere in modo semplice le equazioni di equilibrio in forma cartesiana

1 2

1 2

0 0

x x Nx Vx

y y Ny Vy

F F F R

F F F R

+ + + + =

 

+ + + + =



…

…

è conveniente scegliere un sistema di riferimento avente un asse parallelo al piano di appoggio (vincolo) e un asse normale al piano stesso.

Nelle figure che seguono sono riportate alcune scelte possibili:

α y

x y

x y

x

Esempi di forze

La forza è un modello (in forma vettoriale) che si usa per rappresentare le interazioni tra i corpi, indipendentemente dalle loro cause (peso, tensione di un cavo, forze elettrostatiche e magnetiche). Il modo più semplice per rappresentarla è considerarla come il tiro di un cavo in tensione. In questo modo il vettore forza è necessariamente orientato nella direzione del cavo e nel senso della trazione, mentre il suo punto di applicazione è il punto di attacco del cavo al corpo considerato.

Il peso è una forza, applicata su ogni punto dell’oggetto. Si può riassumerla con una forza unica P applicata in un punto particolare dell’oggetto detto baricentro G ; infatti, si può rappresentare il peso con un cavo che tira verso il basso, attaccato al centro (baricentro) del corpo. Nel modello di gravità elaborato da Isaac Newton, il peso è ottenuto moltiplicando la massa m dell’oggetto per l’accelerazione g di gravità, cioè l’accelerazione posseduta da tutti gli oggetti in caduta libera, trascurando la resistenza dell’aria (infatti, se l’aria non opponesse resistenza al moto dei corpi, tutti gli oggetti cadrebbero con la stessa accelerazione, qualunque sia la loro forma e massa)

P = m g ⋅

Se si ha un oggetto immobile sospeso ad un filo, allora la somma vettoriale della tensione T del filo e del peso dell’oggetto è il vettore nullo:

0

P + T = ⇒ T = − P

Se un oggetto è appoggiato immobile su di un supporto, un tavolo, esso è sostenuto da questo supporto.

Il supporto esercita dunque una forza sull’oggetto, che compensa esattamente il peso; questa forza è detta reazione del supporto, o reazione del vincolo, ed è indicata di solito con R

_V

. Questa forza è la somma di tutte le altre forze applicate dal vincolo in tutti i suoi punti di contatto con l’oggetto, ma può essere riassunta in una forza unica il cui punto di applicazione sia esattamente sotto al baricentro. Il punto di applicazione della reazione non è dunque necessariamente sulla superficie di contatto, come nel caso dei veicoli a ruote.

In questo semplice caso si ha pertanto: P + R

_V

= 0 ⇒ R

_V

= − P

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è

Il baricentro di un corpo

Quando si cercano le posizioni di equilibrio di un oggetto di forma qualsiasi, sia esso appoggiato o vincolato a un punto, nel campo gravitazionale, occorre trovare il suo baricentro, ovvero il punto nel quale si può considerare concentrata (applicata) tutta la sua forza peso. Il baricentro di un corpo è diverso dal suo centro di massa, che rappresenta un concetto più generale, applicabile anche in assenza di gravità (mentre il baricentro, detto anche centro di gravità, presuppone l’azione della forza gravitazionale). Naturalmente, per gli oggetti con cui si ha normalmente a che fare sulla superficie terrestre, il centro di massa e il baricentro coincidono, dato che il centro di massa è anche il punto di applicazione della forza peso.

La posizione del baricentro di un corpo dipende dalla sua forma geometrica e dalla distribuzione della sua massa. In una sfera omogenea, per esempio, il baricentro coincide con il centro della sfera; in una lamina sottile rettangolare omogenea coincide con l’intersezione delle due diagonali; vi sono anche casi nei quali il baricentro del corpo può essere esterno al corpo. Il baricentro di un corpo può essere determinato attraverso metodi geometrici, se il corpo possiede elementi di simmetria, o sperimentalmente, trovando le posizioni di equilibrio del corpo, se questo è vincolato a un punto fisso (sospeso) o a una superficie (appoggiato).

Equilibrio dei corpi sospesi

Abbiamo detto che si definisce vincolo tutto ciò che limita la libertà di movimento di un corpo, esercitando sul corpo una forza, detta reazione vincolare. Un corpo sospeso è un corpo rigido vincolato a un punto, come, per esempio, un quadro appeso a una parete. L’azione della forza peso del corpo, in questo caso, o di un’altra forza esterna applicata al corpo, può dar luogo solo a un movimento rotatorio.

Per trovare le posizioni di equilibrio di un corpo sospeso, occorre trovare il punto in cui la forza peso sia bilanciata dalla forza vincolare, in modo che il corpo non sia libero di ruotare. In particolare, si ottiene l’equilibrio di un corpo sospeso in un punto quando il suo baricentro si trova sulla verticale passante per il punto di sospensione, cioè quando la retta coincidente con la direzione della forza peso del corpo passa per il punto di sospensione. Se si appende un quadro in un punto che non sia il centro di uno dei suoi quattro lati, il quadro ruota, poiché il suo baricentro si trova nel punto che congiunge le sue diagonali, e quindi lungo l’asse che passa per il centro dei suoi lati.

I gruppo di esercizi (Statica del punto materiale vincolato)

Esercizio n. 1

Un corpo puntiforme, posto su un piano orizzontale privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (parallela al piano d’appoggio) e di una forza nota F

₁

inclinata di un angolo

α

rispetto all’orizzontale. Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=38.00 N,

α

=25° e m=3.00 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il corrispondente valore della reazione vincolare R

V

.

[F=34.44 N; R

V

=45.49 N]

Esercizio n. 2

Un corpo puntiforme, posto su un piano orizzontale privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (inclinata di un angolo

α

rispetto all’orizzontale) e di una forza nota F

₁

parallela al piano d’appoggio. Le forze sono rappresentate nella figura a lato R

V

.

α

α

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è

Classe II sez. E-L

Sapendo che F

1

=12.00 N,

α

=20° e m=5.00 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il corrispondente valore della reazione vincolare R

V

.

[F=12.77 N; R

V

=53.42 N]

Esercizio n. 3

Un corpo puntiforme, posto su un piano orizzontale privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (inclinata di un angolo

α

rispetto all’orizzontale) e di una forza nota F

₁

(inclinata di un angolo

β

rispetto all’orizzontale). Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=25.00 N,

α

=30°,

β

=40° e m=4.00 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il corrispondente valore della reazione vincolare R

V

.

[F=22.11 N; R

V

=66.36 N]

Esercizio n. 4

Un corpo puntiforme, posto su un piano orizzontale privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (parallela al piano d’appoggio) e di due forze note F

₁

e F

₂

, inclinate rispetto all’orizzontale. Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=18.00 N, F

2

=30.00 N,

α

=25°,

β

=35° e m=2.00 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il valore della reazione vincolare R

V

.

[F=12.44 N; R

V

=42.62 N]

Esercizio n. 5

Un corpo puntiforme, situato su un piano orizzontale privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (inclinata rispetto all’orizzontale) e di due forze note F

₁

e F

₂

. Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=32.00 N, F

2

=38.00 N e m=2.50 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il corrispondente valore della reazione vincolare R

V

.

[F=41.77 N; R

V

=82.95 N]

Esercizio n. 6

Un corpo puntiforme, posto su un piano inclinato privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (parallela al piano d’appoggio) e di due forze note F

₁

e F

₂

. Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=12.00 N, F

2

=38.00 N,

α

=30° e m=2.50 kg, determinare:

il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il valore della reazione vincolare R

V

.

[F=50.26 N; R

V

=9.24 N]

β α

β α

4 0 °

m

α m

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è

Esercizio n. 7

Un corpo puntiforme, situato su un piano inclinato privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (parallela al piano d’appoggio) e di due forze note F

₁

e F

₂

. Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=56.00 N, F

2

=37.00 N,

α

=35° e m=5.50 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il valore della reazione vincolare R

V

.

[F=39.95 N; R

V

=92.69 N]

Esercizio n. 8

Un corpo puntiforme, situato su un piano inclinato privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (parallela al piano d’appoggio) e di due forze note F

₁

e F

₂

. Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=45.00 N, F

2

=25.00 N,

α

=26° e m=4.80 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il valore della reazione vincolare R

V

.

[F=62.84 N; R

V

=71.81 N]

Esercizio n. 9

Un corpo puntiforme, situato su un piano inclinato privo di attrito, è soggetto all’azione di una forza incognita F (parallela al piano d’appoggio) e di due forze note F

₁

e F

₂

. Le forze sono rappresentate nella figura a lato.

Sapendo che F

1

=32.00 N, F

2

=50.00 N,

α

=30° e m=3.20 kg, determinare: il valore del modulo della forza F compatibile con l’equilibrio del corpo e il valore della reazione vincolare R

V

.

[F=7.04 N; R

V

=76.70 N]

Nei calcoli utilizzare almeno tre cifre significative.

Attenzione: le soluzioni non sono state ricontrollate, si prega di segnalare eventuali inesattezze.

α m

30 °

α

m α

α m α

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di RV •

(perpendicolare alla superficie

stessa) e il suo verso (diretto dalla superficie verso il corpo).

Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito.

Consideriamo adesso i vincoli incapaci di contrastare gli spostamenti del corpo A tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincoli lisci. La reazione vincolare RV •

ha, in questo caso, direzione normale al vincolo stesso.

Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è