Piani grafiei a caratteristica 3.

P i a n i grafiei a caratteristica 3.

~ota di GUIDO ZAPPA (a Pirenze)

A (~iovanni Sansone nel suo 700 eoml~leanno.

$unto. - Si dimostra cb~ u n piano grafico finite di caratteristica 3 sopra u n quasicorpo associative d'ordine q~ il cui centre sin u n europe d'ordine ~ q ~ necessariamente pasea- llano, e ehe non esistono p i a n i di Huo~Es di caratteristiea 3.

Summary. - I t is proved: a) A n y graphic finite plane of characteristic 3 on an associative near-field of order q'- whose canter is a field having order ~ q, is necessarily pasealian ; b) There is no H u o ~ s plane of characteristic 3.

Negli ultimi tempi, nella teoria dei piani grafici si ~ manifestato un certo interesse interne ai cosidetti ¢ piani a caratteristica~. Ricordiamo (cfr.

ad es. LOMBARDO-RADICE [5], pag. 55) ehe u a piano grafico si dice a c a r a t . t e r i s t i v a quando esiste un intero positive n tale che, nei sistemi di coordinate a p p a r t e n e n t i a corpi ternari ehe si possono stabilire nel piano rispetto a tutti i possibili sistemi di riferimenio, valga u n i v e r s a l m e n t e la relazione n a ==0

(eve u ~ un q u a l u n q u e etemento del corpo ternario, e con n a si intende la s o m m a di n addeudi uguali ad a). I1 pifi piccolo intero positive n p e r cui valga la s u d d e t t a relazione dicesi c a r a t t e r i s t i c a del piano.

Il case di gran lunga pi~ studiato ~ quello relative alla c a r a t t e r i s t i c a 2.

I piani a c a r a t t e r i s t i c a 2, come ~ note, sono tutti e sell i piani in cui u u i v e r s a l e l a c o n f i g u r a z i o n e d i F a n o , in cui cio~ ogni quadrangolo piano com- plete ha i punti diagonali allineati. I1 pih importante risultato sui piani a c a r a t t e r i s t i c a 2 ~ date dal bellissimo teorema di GLE~SO~ [2] in base al quale ogui piano finite a e a r a t t e r i s t i c a 2 ~ pasealiano.

A n c o r a poco si sa invece circa i piani a c a r a t t e r i s t i c a ~ 2. Vanno segna.

lati, a tal fine, una nora di LOMBA~Do-RADICE [4] ed una di DE~AI~A [1].

I1 LOIKBARDO-RADICE ha~provato che i piani a c a r a t t e r i s t i c a 3 sono tutti e soli i piani in cui ogui quadrangolo genera un sottopiano isomorfo ad un piano (necessariamente desarguesiano) d'ordine 3 e ha stabilito alcune condi- zioni a r i t m e t i c h e eui ~ sottoposto l'ordine di un piano finite a c a r a t t e r i s t i c a 3.

I1 DEM•RIA ha esteso il risultato di LOMBARDO-RADICE al case di caratte- ristica q u a l u n q u e , sotto l ' i p o t e s i t h e net piano sia verificata la cosidetta condizione dell'esagono, e ha dimostrato che F ordinc di un piano finite a e a r a t t e r i s t i c a p ~ divisibile p e r p.

158 G. ZAPPA: P i a n i g r a f i c i a c a r a t t e r ~ s t i c a 3

]~ probabile che, a n a l o g a m e n t e a cib ehe sueeede nel easo della caratte- ristica 2, ogni piano finito di earatteristiea 3 sin pascaliano. Conviene q u i n d i i n d a g a r e anzitutto se le categorie note di piani finiti n o n d e s a r g u e s i a n i pos- sano a~ere earatteristica 3. I1 p r e s e n t e lavoro costituisce a p p u n t o u n p r i m o c o n t r i b u t o a tale indagine. Si p r e n d o n o in esame due categoric di piani finiti : i piani su q u a s i e o r p i assoeiativi e i p i a n i di HUGHES. Ho provato che u n piano finito di e a r a t t e r i s t i c a 3 su un q u a s i e o r p o assoeiativo d ' o r d i n e q2 il cui centro sin u n campo di ordine ~ q ~ desarguesiano, q u i n d i pasealiano, e che non esistono piani di HUGHES di e a r a t t e r i s t i e a 3. Le prove si basano sul fatto ehe in arabedue i casi, nel q Tasieorpo assoeiativo eui a p p a r t e n g o n o le coordinate dei punti, sussiste la relazione (1 ~ t) t - - t(1 ~ t). Sarebbe interes- sante vedere se, come ~ probabile, dalla validit~ di q u e s t a relazione d i s c e n d a s e m p r e ehe il q u a s i e o r p o assoeiativo ~ u n c a m p o : se cosi fosse, ogni p i a n o di caratteristica 3 su u n q a a s i e o r p o assoeiativo risulterebbe pasealiano. M a a tal fine sarebbe neeessario a p p r o f o n d i r e la s t r u t t u r a dei quasieorpi assoeiativi.

Notiamo infine ehe n e p p u r e i piani su q u a s i e o r p i di HALL possono avere c a r a t t e r i s t i e a 3, perch~ in essi (H. NEUMA)%I~ [6]) esist0no q u a d r a n g o l i coi p u n t i diagonali allineati, eio~ g e n e r a n t i un piano su GF(2), anzich~ su

GF(3).

1. I n questo n. d e t e r m i n i a m o a l c u n e propriet'~, utili per il seguito, dei q u a s i e o r p i assoeiativi in eui valga u n i v e r s a l m e n t e la relazione:

(1) (t + 1)t = t(t + i).

Si h a anzitutto :

1.1. S e o g n i e t e m e n t o t d i u n q u a s i c o r p o a s s o c i a t i v o Q v e r i f i o a l a (1), e a, b, c s o n o e l e m e n t i d i Q t a l i t h e a ~ b ~ c = O, ab = ba, a c - - ca, s i h a a n v h e be - - cb.

Se ~ a = O , la eosa ~ ovvia; se poi ~ a : ~ : O , si ha, in base alla (1):

cb - - ( - - a - - b~b - - - - (a ÷ b)b - - - - a( 1 ~ a-~b)b --" - - a(1 ~ a - l b ) a - l b a - - --- - - a ( a - l b ) ( 1 -~ a - l b ) a - - - - b(1 + a - ~ b ) a - - - - b a - I a ( t --~ a - l b ) a - -

- ~ - - b a - ~ ( a + b)a = ba-~( - a - b)a = b a - ~ c a - - b a - ~ a c ---- b e .

Si ha ancora t h e :

1.2. 8 e Q ~ u n q u a s i c o r p o a s s o c i a t i v o i n c u i o g n i e l e m e n t o t v e r i f i c a l a (1}.

e d i n o l t r e u ~ u n e l e m e n t o d i Q e a, b s o n o e I e m e n t i d e l c e n t r o d i Q, s i h a (a + b u ) u --- u ( a ~- b u ) .

O. Z.~m'A : Piani graflc~ a ca~'atterist~ca 3 159 Se 6 a - - 0 o b = 0, la cosa 6 ovvia; se poi 6 a=~=0, b:~=0, si ha, posto t - - a -~ bu, tenure eonto della (1):

(a + bu)u = a(1 + a-~bu)u - - a'~l + a-~bu)a-~bub-~a --- ---- a(1 + t)tb-ta --at(1 + t)b-~a = aa-~bu(1 + a-~bu)b-~a - -

aa-~bb-lau(1 + a-lbu) - - au(1 + a-~bu) - - u(a + bu).

Abbiamo e r a ehe:

1.3. Se ogni elemento t di u n quasicorpo associative Q verifica la (1) e se esiste i n Q u n elemento fisso u tale che ogni elemento di Q possa esprimersi nella forma a + bu, con a e b nel centre di Q, si ha the Q ~ u n campo.

Poich~ in u n quasicorpo associative sussistono t u t t e - l e proprieth formali dei eampi ad eeeezione, al piit, della proprietor distributiva sinistra e della proprietor e o m m u t a f i w del prodotto, per p r o r a t e che Q ~ u n campo basterk far vedere ehe in Q vale la proprietk e o m m u t a t i v a del prodotto: infatti da q u e s t ' u l t i m a e dalla propriet~ distributiva destra diseende la proprietk distri- butiva sinistra.

Se a~ e y son due e l e m e n t i q u a l u n q u e di Q, si avrk, per ipotesi i x , - a~ + b~u, y - - a ~ + b~u, con a~, b~, a~, b~ convenienti elementi del c e n t r e di Q.

Si avra allora, tenuto conto di 1.2:

x y " - {al + blu)(a, + b~u) - - (a~ -{- b~u)a~ + (a~ q- b~u)b~u - - a~(a~ + b~u) + + b2u(a~ + b~u) --- a~a~ + a~blu + b~a~u + b~b~u ~ - - a~(a~ + b~u) + b~u(a~ + b~u) =

(a~ q-- b~u)a~ + (a~ + b~u)b~u - - (a~ + b~u)(a~ + blu) ---- y x .

Pertan~o in Q vale la proprieti~ c o m m u t a t i v a del prodo~to, onde Q 6 un eampo.

I n partieolare si ha:

1.4. Se nel quasicorpo associative finite Q d'ordine q2 ogni elemento verifica la (1), e se il centre C di Q ~ un campo d o r d ~ n e _ q, Q ~ u n eampo.

Si proeeda per assurdo, supponendo ehe Q non sia un eampo. Esister~

allora u n e l e m e n t o u di Q non eontenuto in C. ~ o t i a m o anT, itutto ehe pub aversi a 1 - { - b l u = a 2 - ~ - b ~ u, con at, bl, as, b2 in C, s e e solo se a l - - - a ~ , bl = bz. Infatti, da a~ -{- blu - - a~ + b2u, segue al - a2 ~ b2u - - blu --: ub2 - - ub~ ---- -~ u(b2 - - bl). Se fosse b2:4: b~ sarebbe u ~ (a~ - - a2)(b2 ~ b~) -~, onde essendo C p e r ipotesi un eampo, a n e h e u sarebbe in C al pari di a ~ - - a ~ e b2--b~, il ehe 6 c e n t r e l'ipotesi su u. Me segue ehe 6 b~ ~ b 2 , e di eonseguenza a ~ - - a ~ . Pertanlo, essendo l ' o r d i n e di C_> q, i l n u m e r o degli elementi distinti di Q che si possono esprimere nella forma a q - b u , con a e b in C, b ~ q2. Poieh~

l'ordine di Q vale q~, si ha ehe ogni elemento di Q pub esprimersi nella

160 G. ZAPVA: Piani graficl a caratteristica 3

forma a + b u , con a e b in C. I n base ad 1.3 si ha allora t h e , poieh~ ogni e l e m e n t o t di Q verifica la (1), Q ~ u n campo.

2. Sia Ir un piano di c a r a t t e r i s t i c a 3 sopra un quasicorpo associative Q diverse dal campo di GALOIS GF(3}. ~ note (LOMBARDO-RADlCE [4]) t h e ogni quadrangolo non d e g e n e r e in 7: g e n e r a un sottopiano isomorfo al piano sopra GF(3). Inol~re, essendo Q a c a r a t t e r i s t i e a 3, c o m u n q u e si p r e n d a un e l e m e n t o a E Q , b 3 a - - 0 , onde 2 a - - - - a . Poieh~ Q non coincide con GF(3), in Q e'/~

un e l e m e n t o v : ~ 0 , 1, - - 1.

Si consideri in B - - (0, 1), C = (v, v).

zioni seguenti :

~ig. 1

(fig. 1) il quadrangolo di vertici 0 ~ 0 , 0}, A ~-(1, 0), Le rette AC, BC, A B e d OC h a n n o pertanto le equa-

AC) y " - v ( v - 1)-~x -- v(v - - 1) -1 BC} y--~ (v - - 1)v-ix -[- 1

AB) y : - - x + 1 OC) y---a~.

Di conseguenza, detti: D il punto c o m u n e alle rette AC ed 013; E il punto c o m u n e alle rette OA e BC; F il punto c o m u n e alle rette OC ed AB, si ha

G. ZAPPA: Pianl grafici a caratter~st~ca 3 ^{i 6 1}

D ~ ( O , - - v ( v - - 1)-i), E ~ ( - - v ( v - - ed E F si h a n n o a l l o r a le s e g u e n t i

DF) y = [ l - - v ( v - - EF}

1) -1 , 0), F = - - ( - - 1 , - - 1 ) . P e r le r e t i e D F e q u a z i o n i :

1 ) - 1 ] ~ - - v ( v - - 1 ) - 1

1)-11-1 + [(v - - -1 - - 1)] -1.

C h i a m a t i r i s p e t t i v a m e n t e : G il p u n t o c o m u n e a D F ed OA; H il p u n t o e o m u n e a E F ed OB, si h a G -- ([(v -- 1)v -1 - - 1] -1, 0), H = ( 0 , [ ( v - - 1)v-1--1]-1).

Di c o n s e g u e n z a 1' e q u a z i o n e d e l l a r e t t a HG d i v i e n e HG} y = - - a ~ - f . [ ( v - - 1)v - ~ - 1] -~.

E s s e n d o il s o t t o p i a n o g e n e r a t o d a 0, A, B, C i s o m o r f o al p i a n o su GF(3}, l a t e t r a H G dovr~ e o n t e n e r e il p u n t o C " - ( v , v}. Dovr/~ q u i n d i a v e r s i

ciob

v - - -- v "4- [(v - - 1)v -~ - - 1] -1

v - - [1 - - (v - - 1)v-~] -~

1 - - ( v - - 1 ) v - ~ = v - ~

(v - - l)v -1 = 1 - - v -1 . Ma b, in b a s e a l l a proprietor d i s t r i b u t i v a d e s t r a

v - l ( v - - 1) = 1 - - v -~.

Dovr/~ d u n q u e aversi

d a eui (2)

(3)

( v - - 1 ) v - ~ - - v - ~ ( v - - 1}

v{v - - 1) ---- (v - - 1)v.

P o s t o v - - 1 - t, si o t t i e n e

(t -f- 1)~ - - t(t -f- 1).

L a (2) b s t a t a p r o v a t a p e r q u a l u n q u e v:~=0, 1, - - 1 , onde l a (3) s u s s i s t e p e r q u a l u n q u e t # - - 1 , 0, 1. Ma e s s a v a l e e v i d e n t e m e n t e a n e h e p e r t----0, 1, - - 1 . P o s s i a m o q u i n d i c o n e l u d e r e a f f e r m a n d o c h e :

2.1. Se ~ ~ un piano a caratteristica 3 sopra un ffuasicorpo associativo Q, ogni elemento t di Q verifica la tl).

U a p i a n o f i n i t o a c a r a t t e r i s t i c a 3 h a p e r o r d i n e u n a p o t e n z a di 3. D a 1.4 e 2.1 d i s c e n d e :

Annali eli Matematica 21

162 G, ZAPPA: Piani gra]ici a caratter~st~ca 3

2.2. TEORE~A. ^- 8e ~ ~ ur~ p i a u o a caratteristica 3 s o p r a u n quasicorpo associative finite Q d ' o r d i n e q~" (q ---3~ il vui centre s i a u n c a m p o d'ordine ~_ q,

p a s c a l i a n o (ossia Q ~ u n campo).

L ' i n t e r e s s e del t e o r e m a consists nel fatto t h e (ZAssE~HAUS [9])tutti i quasieorpi assoeiativi finiti d ' o r d i n e potenza di 3 sono del ripe indicate da Z~SSENHAUS CO1 simbolo K~, ~,, con p - - 3 , vale a dire h a n n o ordine 3 ~'~, e c e n t r e eostituito d a u u campo d'ordi~ie 3 ~. I1 t e o r e m a 2.2 dice in sostanza ehe, almeno p e r n - - - 2 , il piano su di u n tale quasicorpo non pub essere a carat- t e r i s t i e a 3.

3. Vogliamo e r a d i m o s t r a r e che non esistono piani di HuG~r_~s (v. Hu(~]a~s [3], ZAPPX [8], RosA~I [7]) di e a r a t t e r i s t i e a 3. A tal fine, giungiamo anzitutto ad u n a r a p p r e s e n t a z i o n e delle r e t t e di un tale piano che differisee l i e v e m e n t e da q u e l l a originaria di HUOHES, e si p r e s e n t a pifi utile ai nostri scopi.

Ricordiamo ehe i punti di u n piano di tt(~GHES ~ son dati dalle terne ordinate (vc, y, z) di elementi non tutti nulli di un quasieorpo associative finite Q d'ordine q~ (q - - p t con p primo, t ~ 1), il eui c e n t r e sia un europe di GALOIS Qo d'ordine q, con 1' equivalenza (x, y, z ) ~ (kx, ky, k z ) p e r ogni k:4:0 in Q. 0 g n i retta di r: pub r a p p r e s e n t a r s i itfU(~HES [3]) m e d i a n t e un'equazione della forma

(4)

con a~, b~, c~, as, b~, cz in Qo e t in Q. Mostriamo era t h e (come del resto state visto a n e h e da RosA~I in [7]), ogni equazione della forma (4) che non sia i d e n t i o a m e n t e soddisfatta, r a p p r e s e n t a u n a r e t t a di ~:o. Infatti, s e t b in Qo, la (4) r a p p r e s e n t a u n a r e t t a del piano ~o su Qo ed b note (I-IuGRES [3]) che u n a tal retta, completata dai punti di ~: non in 7:o le cui coordinate verificano la sua equazione, d'~ luogo ad u n a r e t t a di z:. Se poi t non ~ in Qo, si distin- guono tre casi:

(a) albz - - a2bl - - b2c~ - - b~c~ ----. O. Si possono trovare allora due e l e m e n t i non a m b e d u e nulli, ~ , )~2 di Qo tall t h e kla~ - - ~a~, ~bl -- )~b~, kloi ~ ).~c2.

Supposto, p e r fissure le idee, ),1=[=0, si ha c h e l a (4) r i s u l t a e q u i v a l e n t e alt'equazione (~2 -{- ).lt)(a~x, "4- b~y -4- c~z) --- O, eiob all'equazione a~x -b b~y-[- c~z - - O, la quale, se non ~ i d e n t i e a m e n t e soddisfatta, r a p p r e s e n t a u n a t e t r a di ~:o,

quindi a n c h e di =.

{b) a~b~ - - a2b~ - - O, b~c~ - - b~cz =~: O. Allora la sostituzione

~z' ~ ( a l - - 1)~v -4- bly -~ vlz

G. Z~PPA: P i a n i gra]ici a earatteristica 3 163 la quale, essendo a d e t e r m i n a n t e ~ = 0 , r a p p r e s e n t a u n a collineazione di (Z~PPX [8]), t r a s f o r m a il luogo dei p u n t i verificanti la {4) in quello dei p u n t i verifieanti l ' e q u a z i o n e w'-{-y't + z ' - - 0 , la quale (Hue~H~S [3]} r a p p r e s e n t a u n a tetra. P e r t a n t o a n c h e la (4) r a p p r e s e n t a u n a tetra.

(c) a l b ~ - a~b~ =~=0. Allora, facendo ricorso alia sostituzione

~x; = a , x + bxy + (cx - - 1)~

~y' -'- a2x + b2y + o.,~

che in tal caso ~ a d e t e r m i n a n t e 4= 0, e r a g i o n a n d o come nel caso (b), si d i m o s t r a ehe la (4) r a p p r e s e n t a u n a retta.

]~ noto (Hu(~K~S [3]) che ogni r e t t a di ~: che n o n sia a n c h e retta di % c o n t i e n e uno ed u n solo p u n t o di ~o. P r e s e d u e rette distinte di ~o, p a s s a n t i p e r u n m e d e s i m o p u n t o P, e aventi r i s p e t t i v a m e n t e equazioni al~ + b~y-{- cx~ - - O, a ~ x - { - b 2 y - { - o 2 z = O (al, 51, c~, as, b2, c2 in Qo) la tetra r di ~ di equazione

descrive, al variare di t in Q, il fascio di rette di ~ di centro P. So P = (xo, yo, so) con so =~=0, si pab scrivere l'equazione di r nella f o r m a

Zo~ - - ~o~ + (~oy - - yo~)t = 0 ;

se ~ zo = 0 e xo:~=0, nella f o r m a

Xoy - - yox -}- XoZt -~ O;

se ~ zo = xo - - 0, Yo :~= 0, nella f o r m a

~ -F zt - - O .

4:. P e r provare t h e n o n esistono p i a n i di HUGHES di caratteristica 3, p r o c e d i a m o p e r assurdo, e s u p p o n i a m o ehe esista u n p i a n o di tal tipo: sia esso 7~. I p u n t i di ~ s a r a n n o r a p p r e s e n t a t i (n. prec.) da t e r n e o r d i n a t e di ele- m e n t i di u n quasicorpo associativo Q d ' o r d i n e 3 ~J (s_~ 1) c o n t e n e n t e u n c a m p o di GAT,oIs Qo d ' o r d i n e 3'. Si consideri il sottopiano ~ di 7: g e n e r a t o dai p u n t i 0 - - ( 0 , O, I), X - - ( I , O, 0), Y = ( O , I, 0), P - - ( l - } - t , l + t -~, I), o r e t i n d i c a u n q u a l u n q u e e l e m e n t o di Q n o n c o n t e n u t o in Qo. Sar~t ovvia- m e n t e 1 + t:4: 0, 1 -{- t -1:4: 0, onde il q u a d r a n g o l o O, X, Y, P n o n b de_genere, e p e r t a n t o ~ ~ anch' esso n o n degenere. Essendo 7; di caratteristica 3, z; dovr~t

164 G. ZAPPA: Piani gra]ici a earatteristiea 3

essere isomorfo ad un piano su GF~3). Dette (fig. 2} M l ' i n t e r s e z i o n e di O Y e P X , ed N q u e l l e di OX e t~Y, s i h a M ~ ( 0 , l q - t -1, 1), N = ( l n u t , O, 1).

Le rette sottoindicate h a n n o poi le equazioni scritte a fianco:

o x ) y - - o

oY) o~=o

Px) y - z(1 + t -~) = o P y ) ~ -- ~(i + t) = o xY) ~ = o

OP) y -- x(1 -1- t)-~(1 -1- t-~) - - 0 MN) ~ - - z + ( y - - z ) t = O .

Siano o r a : S il pnnto e o m u n e ad M N e OP; A il punto e o m u n e ad S Y ed M X ; B il punto comune ad S X ed N Y ; Z i l punto c o m u n e ad

/

/

B

Mz¥ ed X Y . Essendo detti punti in ~ ed essendo :~ isomorfo ad u n piano su GF(3 b i punti 0, Z, A, B dovranno essere allineati. Orbene, si ha Z---- (t, - - 1, 0), onde la r e t t a OZ ha equazione

OZ} x - t - y t - - O .

Dovendo A essere e o m u n e alle rette OZ e P X , per d e t e r m i n a r n e le coordinate baster~ risolvere il sistema formato dalle equazioni

~ + y t = O y - - l ~ - t - *

la seconda delle quali si ~ o t t e n u t a dall' equazione di P X ponendovi z = 1

G. ZAPPA: Psa~ gra]ici a caratter~st4ca 3 165 (come ~ lecito, p e r c h ~ e v i d e n t e m e n t e Z ~ distinto da X, onde A ha la terza c o o r d i n a t a d i v e r s a da zero). Si ottiene ~ - - - - (1 Jr- t-1)t, e p e r t a n t o A ---- ( - - (1 -~ t-~)t, 1 -~ t -1, 1). I n m o d e analogo si trova B - - (1 ~ t, - - ( l ~ O t -~, 1).

S a r a di c o n s e g u e n z a

~ = ( -

(i

(i

D o v e n d o S a p p a r t e n e r e ad .Mh r, dovr~ a v e r s i

(5) - - (1 + t-1)t - - 1 ÷ [ - - (1 ÷ 0t -'I - - 1It = 0 e d o v e n d o S a p p a r t e n e r e a n c h e ad OP, dovr~ a v e r s i

-- (I + t)t-: = - - (I --}- t-1)t( 1 + t)-~(1 + t "-~) v a l e a d i r e

[(I + t-l~t(l + 0 - , ] ~ = 1.

Ma eib e o m p o r t a e h e sia

(6) ⁽ⁱ ÷ ~)t(1 ÷ 0 -1 ^{= ± i .}

Infatti, so in u n q u a s i c o r p o a s s o c i a t i v e u n e l e m e n t o h v e r i f i e a la rela- zione h ~ ~- 1, si h a h(1 -}- h) " - h -}- h ~ ~ h W 1 .---- 1 Jr- h, il che, se 1 + h ~= 0, f o r n i s c e h - - 1, m e n t r e , se 1 -}- h - - 0, f o r n i s c e h = - - 1.

D a l l a (6) si r i c a v a

(7) {i

t - ' ) t - - ±

S u p p o n i a m o in u n p r i m o t e m p o si abbia

(8) (i + t-i)t = - - (1 + O.

Sara, a l l o r a a u c h e

(9) - - (1 + t)~ -1 = 1 -~ t -1.

S o s t i t u e n d o n e l l a {5) al posto di (i ~ t-~)t e di - - (1 ~ t}t -~ i valori f o r n i t i d a l l e ~8) e (9), si o t t i e n e

1 ÷ t - - 1 - - ( 1 ÷ t - ~ - - 1)t = 0

ciob t % 1 -~ 0, il c h e ~ , s s u r d o , poich~ p e r ipotesi t n o n b in Q. A1 s e c o n d o m e m b r o d e l l a (7) dovr~ a l l o r a v a l e r e il segno % , o n d e

(1 + r-~}t = t + t ossia

(1 + t)t - l = 1 + t -1.

166 G. ZAPI, A: Piani grayici a caratterist~ca 3 Avendosi d ' a l t r a p a r t e

sar~

cio6

t-~(i + t ) = I + t -~

(i + 0t -~ = t-~(1 + t)

t(1 + t) = (1 + t)t

vale a dire, la (1). Essa 6 siata dimostrata per q u a l u n q u e t in Q, ehe non sia in Q0, m a vale e v i d e n t e m e n t e a n e h e per ogni t in Qo.

I n base ad (1.4}7 si ha allora ehe Q /~ un campo, mentre, essendo un piano di HU(~HES d ' o r d i n e q~, il eentro di Q deve avere ordine q. Si giunge pertanto ad u n assurdo, onde risulta falsa l'ipotesi ehe esistano piani di HUGH~S di e a r a t t e r i s t i e a 3. Goncludendo:

4.1. TI~:ORE:~A. - ~¥0r~ esistono p i a n i di Hughes di oaratteristica 3.

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