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j

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SUL

PROCESSO DEL

MASSIMO

COMUN

DIVISORE

TRA DUE FUNZIONI INTERE

DI

UNA VARIABILE NOTA

pii

N.

X U

111I

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Itndiconto dellaR.AccademiadelleScienze FisicheeÀIaiematiche diNapoli Funicolo 4.°—Agosto 1802.

Sumi+rUdelFibreno1 *<c^

Quasituttigliscrittori dialgebrade'tempinostrineltrattare dell’eli- minazionetradue equazionisirivolgonoalmetododelmassimocomun divisore,ilquale hainfatti de’pregiteorici,chelorichiamano natural- mentenellateoriadellaeliminazione;

ma

lacosa vabene altrimenti nellapratica.Noi quinonstaremo a ricordaregl’inconvenientiche ac- compagnanoquestometodo,vaidirelaintroduzionede’ fattoriestranei, che fandue mali ad un tempo, complicandoicalcoli,edirisultamene finali.Quindièchegliscrittoridiqueilibri,nonesclusialcunide’più recenti,sisforzanodimostrarecomedebba ovviarsi atalidifetti;

ma

leson queste intenzionieccellenti,cuinon rispondeilsuccesso;dap- poiché,messi dabandagliesempii all'uopo apparecchiati,le difficoltà restanointere.Edinfatti sipuò giudicare apriori della insufficienzadei mezzi, chesisogliono prescrivere,riflettendo allaloroassolutainutilità perleequazioniletterali.

Maquestiscrittorihannoormai l'obbligodiconoscere cheidifetti dicuisitratta,sono da piùtemposcomparsi per operadiuomini supe- riori,edinparticolaredelSylvester e del Brioschi;acheci sialecito diaggiungereuna partediperfezionamento, piccolacomesiasi,da noi recata atalsoggetto.(V.lanostrateoria de’determinanti). Cosioranon soloèmessainpiena lucelanatura olacomposizionediqueifattori estranei

ma

siformano esiscrivonoall’istanteisuccessivi residui

,

—

d

—

indipendentementegliunidagli altri,sgombri datutto ciòche adessi non appartiene.

Dobbiamoaggiugneretuttaviachetra gli algebristiFrancoeur è,per quanto pare,ilsoloche abbia veduto nel suo vero aspettoilnododella quistione,mentre èilsolo,ilqualeesplicitamente dichiara(alg.sup.

n."535) che«se siapplica a due funzioniintere diuna variabileilpro-

licedimento delmassimocomundivisore,esioperiinguisada ottenere

tiresiduiinterinon solorispetto alla variabile,

ma

ancherispetto aicoef-

•fidenti,ogniresto,a cominciare dal secondo,è divisibilepelfattore

«elioconvieneintrodurre nellaprecedente divisionead oggettodievi*

«tarerisultamentifrazionarli».

Sonogiàmoltianni che noi cercavamo a dimostrareleformole pro- postedalSylvestcrperesprimereinfunzionedelle radici diun’equazione isuccessiviresidui,chesiottengono applicandoleilteoremadiSturm, enontardammoariconoscereche queste formoleaveanounintimolega-

me

conlaproposizione quisopraenunciata delFrancoeur;ma vedemmo neltempostessocheilragionamentocolquale èstabilitadalGeometra francese eraassolutamenteinsufficiente.Noi quindicistudiammoinnanzi tuttoad assicurarediuna maniera rigorosa questa proposizione,laquale eragiàpersestessa importante;manon ebbimoperciò adurarfatica,men- trepotemmoassaiprestoriconoscereeli'essa era una conseguenzamolto semplicedinotissime proprietàdellesuccessive derivate delle funzioniin- tere.Ora ò perloappuntoladimostrazionediretta diquesta proposiziono che presentiamoinquesta nota, perche servacomedicompimentoalla teoricadelmassimocomundivisore.

Enostro obbligo intantodiosservarechelastessaproposizione serve puredifondamentoagliestesi lavoridel Sylvestersulmedesimosog- getto, pubblicatifindal1853nelleTransazioni Filosofiche;epare senza dubbio chelainsufficienzadelladimostrazione del Francoeur abbia pure indottoilgeometra inglese a cercarne da sua parte una dimostrazio- ne,che dàinfatti nell’art.3°della 1“partedellasuamemoria;maquan- tunqueegli limitiilragionamento a due funzioni,idicuigradidifferi- sconodiuna unità,dobbiamoingenuamente confessaredinon avercene saputorendereuncontoesalto.Epare che1*autoreistesso partecipia questaincertezza,dappoiché,oltre alladimostrazione, ha poi credutodi soggiungeròunaverifica, laqualenonsolosirapportaalcasoin cuii gradidelledue funzioni differisconodiuno,

ma

^silimila acomprovare

clicilsolo principalecoflìcientc ileisecondo residuo èdivisibile pel fat- toreintrodottonellaprima divisione nello intentodievitarfraiioni,

dovendopoiammettersi che avvenga altrettanto pertuttiglialtricoef- ficienti.

Ciòpremesso indicando conAccon

B

due funzioniintere, lepiù ge- nerali digradi

m

edn,sia

A

=

ax"+a,xm~‘

+a

txm-‘+. .

.+«_,

i^"-1

+

...

+

^.

Se^siapplicaaquestedue funzioniilprocessodelmassimocomun divisore,leoperazionipossono essere regolateinguisacheiquozienti edirestisianointerinon solorispettoadx,maancherispettoatutte le altre lettere.Supposto

m>

n,saràAilprimo dividendo,

B

ildivisore, cdilquoziente saràuna funzione interadigrado

m —

n,laqualeadun- que conterrà

m —

n-f-1termini,nascentidaaltrettante divisioni parziali, incuiildivisoreèsempreilprimo terminediB,cioèbx'.Quindi,af- finchéilquozienteriescainterorispettoatutte lo lettere,basterà molti- plicareildividendoAperlapotenzadigrado

» — n+1

delcoefficiente del primo termine del divisore B, vale a dire perè”-**’;

cdalloraanche ilresto sarà interorispetto a tutte lo lettere,che figurano nelledue fun- zioni.Siccomequesto restoè, ingenerale,una funzionodigradon

—

1, è chiaro che, a cominciare dalla seconda divisioneilgrado del dividendo sorpasseràdiuna unitàilgrado deldivisore;eperciò,volendo chei quozientiedirestisianosempreinteriariguardoditutte lelettere, bisogneràmoltiplicareogni dividendopelquadrato dotcoefficientedel primo termino del corrispondentedivisore.

Poichéigradide’ resti,a cominciardalprimo,decrescono nell’or- dine naturale da

n—

1finoazero,risultacheilnumerodiquestiresti, e perciò ancheilnumerodellodivisioni, equellode'quozicntiè,inge- liralo,uguale adn.

Postociò,supponendoistituitotraIodate funzioniilprocesso del massimo comunedivisore,eregolateleoperazionine)modogiàdetto affindiaverequozientie restiinteririspetto allavariabilecdalleco- stanti,andremoadimostrare,che:

Ogniresto,a cominciare dal secondo,èesattamentedivisibilepelfattore introdotto nellaprecedentedivisioneadoggetto di evitar frazioni.

—

6

—

Dimstr. Siano

Q

,,edlì,,ilquozienteedilresto della divisionedi b"~“"A perfi;sia inoltre cilcoefficientedellapiùaltapotenzadixin fi,;c sianoinfine£>,edfi,ilquoziente edilrestodelladivisionedi c'B perfi,.Cosi, se pongasi

•=«n

—

n

+

1,

perlanatura della divisionesiavrannoledue identità

b'A=Q,B

+«,,

c'B=Q.R,+R,, dallequali,eliminandofi,,emesso percompendio

sihal'altra

y=c'

+

<?,<?,,

R,=yB—b‘Q'A

.

Facendovi

b—o

,siha per immediata riduzione

(I)

R,

=

^yB;

masicomprendeche questa formola è ancorasuscettibile di altreridu- zioni,poichéingeneralelequantitàfi,,y,ficontengo»tutte lacostan- te b.Però, quali che siano questeriduzioni,èevidenteclicilgradodi fi, èsempre minoredelgrado del prodottoylì-,dappoichélaipotesi di

b=o

nonfache privareilpolinomiofidelsoloprimo terminebx"\ eperciòil prodotto è perlomenodigradon

—

1,mentreilgradodifi,nonpuòessere superiore adn

—

2.Segue da ciò che, peri=o,ledue quantitàfi,edyB debbono identicamente annullarsi;mainriguardoalprodottoyBèda osservareche, non potendo annullarsiilfattore fi,èilfattorey quello chesiannulla. Riguardo poi adfi,,siccome questa quantitàsiannulla nellaipotesi dib=o,ciòdimostraeh’essa èdivisibileper é;marestaa trovareilgradodimoltiplicitàdiquestofattore.

Ataleoggettonoiconsidereremolesuccessivederivatedall’egua- glianza(I)rispettoa b\ ed innanzi tutto osserveremo, 1°:cheladeri- valadi fiéai";2°;che dallaprima derivatatinoa quelladell’ordine c

—

1,inclusivo,itermini provvedentidalprodotto b’Q,

A

sonotutti af-

—

7

_

fettidalfattore 6;mentre da quella dcH'ordinceinpoivisarisempre untermine indipendente dab.Quindi, se nelle successive derivate del- la (1),preserispettoab,sifacciab—o,leprimei

—

1derivate del se- condomembrodebbono ridursiai soliterminiprovvedenti dal prodot- totjli;eperciò nella deltaipotesi sihannoleseguentic

—

1identità: (*)

K.—lf

B+

yi' ,

R

t

—

^y*’B

+

2j'x',

B'zzy¹"B

+

3y"x',

Orasiò dimostrato poc'anziclicper

b=o

sihay—o\ dunquelaprima identitàsiriduceadfi',=y'B-,maquindi perlanecessaria diversitàdi gradide’duemembrisiconchiuderàcomeprima che debba essere adun tempo

R,=o

edy'=o.Ma,cosiessendo,laseconda identità diviene R\—y‘'B,e porgo perlastessaragionefi,

=o

cdy"—o.Similmente siotterrebbe dallaterzafT,=oedy"'=o. Maora senza più è paleso chel’ipotesidi

b=o

,

mentroannullailsecondoresiduo/l a^,annulla contemporaneamentelesue successive derivaterispettoab,finoa quella dell’ordines

—

1;enerisultache questo residuoè divisibileper b\ os- siaperà”""*"

,eh’ èilfaltorointrodottonellaprecedente divisione ad oggettodievitarfrazioni.Ora ò chiaro cheilteorema restacon ciòcom- piutamente dimostrato,mentrel’ultimaconchiusione è applicabiler qualunquealtradivisiono,osservandoche ogni resto,a cominciar da terzo,saràdivisibilepelquadrato delcoefficientedellapiùaltapotenza del restoprecedente.

Segueda questotoorema cheilprocessodelmassimocomundivisore tralodue funzioui

A

efi sipuòcondurre innanzi sottodue condizioni:

1°,cheirestisianointeririspetto atuttelelettere:

2”,che ogni resto, primadiprendersi per divisore,siaspogliatodal fattore,dalquale èaffettoinvirtùdelteorema.

Noi, col Sylvester,distingueremoiresidui ottenutiintalguisa con l'epitetodi semplificati,mentre possono chiamarsi residui completiquelli

C)^Inqu-sleformale(li«picisodoiodici didrruaiioiie.

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—

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-

chesiotterrebbero eseguendoleoperazioni del piassimocomundiviso- re,senzasopprimere, nè introdurrealcunfattore.Orabensicomprende dieiresiduiutiliintutto leteorichedianalisi,alloqualisuoleappli- carsiilprocesso delmassimocomundivisore,sonoiresidui semplifi- cati,ovedeognunodiquale importanza 6un metodoche permettessedi ottenerli diuna maniera semplice e spedita. Questometodointanto è già conosciuto;esso èfondato sulla teoricade’determinanti(v.ilnostro trattato diqueste funzioni), e costituisce indubitatamenteunprogresso dell'analisialgebrica. Qui tuttavoltadobbiamoosservarelaimpossibilità assolutadiraggiungerecosilfattirisultamcnti perlevieordinarie della divisione; eciòsolobasterebbe a provare cheideterminantisontutto altro che usate cognizioni, circondatedinuovi nomi.

Porremotermineaquesto articolodimostrando una proprietàde’sem- plificatiresiduidimolto interesseperleapplicazioni.Ponendomente alianotazioneadottataperlefunzioni

A

e

B

,critenutocheicoeffi- cientia ebdelle loro piùaltepotenze sianoafTcttidall’indicezero,sarà lecito diriguardarlecomefunzioniomogeneeinrapportoagliesponenti della variabile ed agl’indici delle costanti;e sottoquesto aspetto sarà

m

^ilgradodiomogeneitàdiA,ednquellodiB.Quindi ancheomoge- nei saranno!restidelle divisioni;

ma

èimportantedideterminare con precisioneilgradodiomogeneitàdiciascunodi essi.

Siano r(,r t^,

r

3 ,...,réiprimi*semplificatiresidui;e,,et,e,,..., c,icoefficientidc’loroprimi termini,eqx,qt,q% ,...,

qticorrispon- denti quozienti.Cosilo sdivisionidaranno luogoalleseguentisequa- zioniidenticheedomogenee;

,B +r, ,

«>.=«*e, +«!*•«.

+ C.

^r.^•

cperòigradidiomogeneitàde’loroultimitèrminisarannouguali a quellide’loroprimimembri.Inconseguenza,sesidinotano con g,

,

g_ⁱgradidiomogeneità de'resti r,,r,,..., r,,esianog[, g\,

—

9

—

g,quellide’loro primicOefflcienti c|(c_, et, guentij relazioni

9,=m

9.=»

+

2g.

2?'.

+

9j=9t +29'.

+

9»=9.

+

²9',

+ ¹¹ +

29;

.+9, =9,.,.+2jL.

siavrannolese-

tequali addizionatemembroamembroporgono

J—.+J,=«*

+

n+2£-,•

D' altraparte,siccome e gt^,gradidiomogeneitàde’ resti edr,

sono rispettivamente ugualia’gradidiomogeneità dc’loro primi termini e

a",

^siha

9_i=9U.

+»—* +

!. 9.=9.

+

*>—

»

cquindi addizionando

9-.+9,=2»—

2*

+

t+9'_.+9;• Così,paragonando questa relazione conlaprecedente^siottiene

9,=

(m— *—

1)+2»+£_,.

Questaforinola,facendovi successivamente

s=l

,2,3, s,ed osser- vando che g0

=

0,conduceallerelazioni

= «—

l)+2.l jj=;«n—n—l)-f2 .2

+

9^',

»—

1)+2.3

+

^9', 9,=

[m— n—

li

+

2.4

+

g\

s;=:{m—

»—

l)+2. «+j_,,

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— io-

lequali addizionatedanno

ossia

9i=*(*»—

»—

l)

+

»(*+t),

g;=i(m

—

»

+

«)ⁱ

esiccome

—

*,cosirisulta infine g,=<(m

—

n

—

l+j)

+

^rt.

Conquestaformolaadunquesipad valutareilgrado di omogeneitàdi unresiduo qualunque r

tinrapportoagliesponentidellavariabile,ed agl'indici dellecostanti.Sesitratta doli’ultimo residuor,, si Ita

esiha pure

j„=m»

,

mn

;

Mainquesto casol’eguaglianzade’valori dige_g\erabene da preve- dersi,poiché l’ultimo residuo èunafunzionedigrado sero, cioèuna costante;cquindi

gncg\significanounastessacosa. Per tantogliul- timirisultamentidimostranocheilgradodiomogeneitàdell’ultimo semplificatoresiduor.èugualealprodottode'gradi delle date funzioni

A

eB;ilche coincide col noto teorema relativoalladimensione delle risultantidelleduo equazioni

A=0

c

B=

0.