La frazione come numero razionale assoluto

(1)

DEFINIZIONE. La frazione che dà origine ad un numero decimale si dice frazione generatrice.

La frazione come numero razionale assoluto

Consideriamo le frazioni e determiniamo i corrispondenti valori numerici:

8 4 ; 16

25 ; 5 6

8 4 = 8:4 =2 16

25 = 16:25 =0 , 64 5

6 = 5:6 =0 , 833333 .. .

•Nel primo caso abbiamo ottenuto come quoziente un numero naturale.

•Nel secondo caso abbiamo ottenuto un quoziente con un numero limitato di cifre decimali e resto uguale a zero.

•Nel terzo quoziente il resto non è mai uguale a zero, quindi il numero decimale che otteniamo ha un numero illimitato di cifre decimali.

(2)

DEFINIZIONE. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione si ottiene un numero:

La frazione come numero razionale assoluto

Possiamo distinguere le frazioni a seconda del quoziente ottenuto dividendo il numeratore per il denominatore.

• naturale se la frazione è apparente;

• decimale se la frazione non è apparente; in particolare tale numero può essere un:

- decimale limitato;

- decimale illimitato.

(3)

I numeri decimali limitati

Consideriamo le frazioni e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il numeratore per il denominatore:

7 100 e 7 20 7

100 = 7:100 =0, 07 7

20 = 7:20 =0 , 35

 La prima frazione ha come denominatore una potenza del numero 10 e per questo rientra nelle frazioni decimali.

REGOLA. Una frazione decimale dà sempre origine ad un numero decimale limitato.

 La seconda frazione ha come denominatore un numero diverso da 10 (o una sua potenza) e viene chiamata frazione ordinaria.

REGOLA. Se il denominatore, scomposto in fattori primi, di una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini presenta come fattori esclusivamente i numeri 2 e/o 5, o le loro potenze, allora la frazione dà origine ad un numero decimale limitato.

(4)

Consideriamo le frazioni e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il numeratore per il denominatore:

7 33 e 7

6

7 33 = 7:33 =0 , 212121. . .

7 6 = 7:6 =1 , 166666 .. .=0,1 6

 Nel primo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, due cifre che si ripetono periodicamente. Un numero di questo tipo si chiama periodico semplice.

 Nel secondo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, una cifra che non si ripete e una cifra che si ripete periodicamente. Un numero di questo tipo si chiama periodico misto.

7 33 = 7:33 =0 , 212121. . .=0, 21

periodo

periodo antiperiodo

7 6 = 7:6 =1,166666 .. .

I numeri decimali periodici

(5)

DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola troviamo il periodo, cioè la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete all’infinito.

In generale possiamo affermare che:

DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se subito dopo la virgola e prima del periodo troviamo una cifra (o più cifre) detta antiperiodo che non si ripete.

Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle due frazioni iniziali:

33 =3⋅11 6 =2⋅3

REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini dà origine a un:

 numero periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene i fattori 2 e 5 o le loro potenze;

 numero periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori primi oltre a 2 e/o a 5 o le loro potenze.

REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini dà origine a un:

 numero periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene i fattori 2 e 5 o le loro potenze;

 numero periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori primi oltre a 2 e/o a 5 o le loro potenze.

I numeri decimali periodici

(6)

L’approssimazione e l’arrotondamento

Nella risoluzione dei problemi può capitare di ottenere come risultato numeri decimali finiti con molte cifre decimali o periodici.

Quando ciò si verifica, spesso, è necessario ricorrere all’approssimazione o all’arrotondamento.

Approssimazione

L’approssimazione è il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore che non è raggiungibile in modo esatto.

5:3 =1,6

1,6

approssimazione ai decimi

1,66

approssimazione ai centesimi

1,666

approssimazione ai millesimi

… e così via

(7)

L’approssimazione e l’arrotondamento

Arrotondamento

L’arrotondamento è il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore dato, ma con un numero determinato di cifre significative.

Se consideriamo il numero

1,1538

^:

L’arrotondamento si può presentare in due forme diverse: per difetto (porta ad un risultato inferiore a quello esatto) o per eccesso (porta ad un risultato superiore a quello esatto).

arrotondiamo all’unità

1

per difetto perché la cifra dei decimi (1) è minore di 5 arrotondiamo ai decimi

1,2

per eccesso perché la cifra dei centesimi è 5

arrotondiamo ai centesimi

1,15

per difetto perché la cifra dei millesimi (3) è minore di 5

arrotondiamo ai millesimi

1,154

per eccesso perché la cifra dei decimillesimi (8) è minore di 5

Si usa arrotondare per difetto quando la cifra seguente a quella fissata per l’arrotondamento è minore di 5; per eccesso quando la cifra seguente a quella fissata va da 5 a 9.

(8)

La frazione generatrice di un numero decimale

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente:

• per numeratore il numero stesso senza virgola;

• per denominatore una potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato.

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente:

• per numeratore il numero stesso senza virgola;

• per denominatore una potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato.

Trasformiamo il numero

3,45

nella relativa frazione generatrice:

Numeri decimali limitati

3 , 45 = 345 100 =

69 20

Tutto il numero senza la virgola

Potenze di 10 con esponente uguale al numero di cifre decimali

Frazione generatrice

ridotta ai minimi termini

(9)

La frazione generatrice di un numero decimale

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo.

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo.

64 , 34 = 6434 −64

99 = 6370

99

Numeri decimali periodici semplici

64,34

Numero decimale periodico semplice

Frazione generatrice Parte intera

Tutto il numero compreso il periodo e senza virgola

Due 9 (corrispondono al numero di cifre del periodo)

(10)

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l’antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso l’antiperiodo e senza virgola;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l’antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso l’antiperiodo e senza virgola;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

5 , 32 6 = 5326 −532

900 = 4794 900 =

2397 450 =

799 150

Numeri decimali periodici misti

5,326

Numero decimale periodico misto

Frazione generatrice

ridotta ai minimi termini Parte che precede il periodo compreso

l’antiperiodo e senza virgola Tutto il numero compreso il

periodo e l’antiperiodo e senza virgola

Un 9 (corrispondente alla cifra del periodo)

Due 0 (corrispondenti al numero di cifre dell’antiperiodo)