Matematica I - 1

logica

•

Una proposizione logica è un affermazione che può solo essere o vera o falsa, ma non simultaneamente vera e falsa.

•

I valori di verità sono i valori che può assumere una proposizione. Li indichiamo con VERO, FALSO o V, F (ma si usano anche 0, 1 o altri simboli).

•

Un connettivo logico è un'operazione interna alla collezione delle proposizioni. Quelli che seguono sono esempi di connettivi logici

negazione (NOT)

¬A, , A non A non A risulta vera se A è falsa e risulta falsa se A è vera congiunzione (AND)

A ∧ B, A e B A e B risulta vera se e soltanto se A è vera e B è vera disgiunzione inclusiva (OR)

A ∨ B, A o B A o B risulta falsa se e soltanto se A è falsa e B è falsa disgiunzione esclusiva (XOR)

A B, o A o B -

o A o B risulta vera se A è vera e B è falsa o viceversa implicazione

A → B, A implica B A implica B risulta falsa soltanto se A è vera e B è falsa.

(come ¬A ∨ B) doppia implicazione

A B, A coimplica B f A coimplica B risulta vera se A e B sono entrambe vere o entrambe false

diamo qui di seguito la tabella di verità per i connettivi appena introdotti

VERO VERO

FALSO FALSO

FALSO VERO

FALSO FALSO

FALSO VERO

VERO VERO

FALSO VERO

VERO FALSO

FALSO FALSO

VERO VERO

FALSO FALSO

FALSO VERO

VERO VERO

FALSO VERO

VERO FALSO

VERO VERO

A f B A → B

A -

B A ∨ B

A ∧ B B A

A

deduzione logica ed equivalenza logica

Si usano altri due simboli, ⇒ e ⇔, per indicare rispettivamente una deduzione o un'equivalenza logica.

A ⇒ B si legge "se A allora B" e A ⇔ B si legge " A se e solo se B". La differenza con l'implicazione e la doppia implicazione è che la deduzione e l'equivalenza sono affermazioni (quello che le scrive non si chiede se siano vere o false, pensa che siano vere).

Esempio:

Quando scriviamo A f B ⇔ (A - B

) (leggo " A coimplica B se e solo se ...") affermiamo che A f B è

logicamente equivalente a (A - B)

, e la tabella di verità qui sopra lo conferma.

Insiemistica

•

Un insieme è un aggregato di oggetti di natura qualsiasi, concreti (persone, alberi, animali, …) o astratti (numeri, parole, rette, …)

•

Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi dell'insieme Appartenenza

a ∈ A a è elemento dell'insieme A, a appartiene all'insieme A

(normalmente si indicano gli elementi con delle minuscole e gli insiemi con delle maiuscole) a ∉ A a non è elemento dell'insieme A, a non appartiene all'insieme A

∅ un insieme privo di elementi si dice insieme vuoto e si indica con ∅ Inclusione, sottoinsieme

B ⊂ A si dice che B è incluso in A o che B è compreso in A o che B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B è anche elemento di A

"compreso o uguale" utilizzando i due segni seguenti: ⊂ e ⊆. Così faremo anche noi.

Uguaglianza

A = B si dice che A è uguale a B se i due insiemi hanno gli stessi elementi.

Se B ⊆ A e A ⊆ B allora A = B Intersezione

A ∩ B l'insieme costituito da tutti gli elementi appartenenti sia ad A che a B è detto intersezione di A e B. Se A ∩ B = ∅, A e B si dicono disgiunti.

Unione

A ∪ B l'insieme di tutti gli elementi appartenenti ad A più tutti quelli appartenenti a B è detto unione di A e B

Differenza

A \ B l'insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B è detto insieme differenza o

semplicemente differenza tra i due insiemi. Naturalmente conta l'ordine; A \ B è diverso da B \ A

Se A ∩ B = ∅, allora A \ B = A. Se A ⊂ B, allora A \ B = ∅.

Complemento

C

(A), A

, l'insieme degli elementi di U (insieme ambiente o Universo) che non appartengono ad A (A A dev'essere un sottoinsieme di U) è detto l'insieme complementare di A in U. C

(A) = U \ A

Insieme delle parti

P(A)

è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, compresi l'insieme vuoto e lo stesso A.

Cardinale

Card(A)

Il numero degli elementi appartenenti ad un insieme A è detto Cardinale di A.

Partizione di un'insieme

Si chiama partizione di A un'insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche:

a) nessun sottoinsieme è vuoto, b) tutti i sottoinsiemi sono disgiunti fra loro, c) l'unione di tutti i sottoinsiemi da A.

Prodotto cartesiano

A × B è l'insieme delle coppie ordinate che si possono formare prendendo come primo elemento un elemento dell'insieme A e come secondo elemento un elemento dell'insieme B.

A × B ={(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

Rappresentazione d'insiemi

consideriamo alcuni esempi d'insiemi e vediamo alcuni modi per rappresentarli

Sia A l'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano, V l'insieme delle vocali, B l'insieme dei numeri naturali minori di 7, C l'insieme dei numeri naturali maggiori di 7, D l'insieme dei seguenti numeri: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19.

Elenco degli elementi

A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z}

V = {a, e, i, o, u}

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

C = {8, 9, 10, 11, 12, 13, … } D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

osservazione: In questi elenchi si è scelto di ordinare gli elementi secondo dati criteri ma ciò non era necessario alla definizione dell'insieme a parte forse per l'insieme C dove l'ordine ci aiuta a capire come deve andare avanti l'elenco. In genere comunque per definire un insieme con un numero infinito di elementi non ci si affida ad un elenco.

mediante la proprietà caratteristica

A = {x | x è una lettera dell'alfabeto italiano} si legge "A è l'insieme di tutte le x tali che (si legge "tali che" il segno | ) x è una lettera dell'alfabeto)

V = {x | x ∈ A e x è una vocale} (per esempio) B = { x | x ∈ N e x < 7}

C = { x | x ∈ N e x > 7}

D = {x | [(x +1)/2] ∈ N e x < 20}

osservazione: Non sempre possiamo trovare un proprietà che caratterizzi l'insieme. Se per esempio considero l'insieme delle temperature misurate a mezzogiorno nei giorni del agosto 2001 a Stabbio dovrò probabilmente darne l'elenco perchè difficilmente troverei un proprietà caratteristica.

Diagrammi di Eulero-Venn

osservazione:

I diagrammi di Venn sono particolarmente utili quando vogliamo rappresentare delle relazioni o delle

operazioni tra più insiemi. Così possiamo rappresentare convenientemente l'intersezione, l'unione, la

differenza, il complementare …

Insiemi numerici

N insieme dei numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

Z insieme dei numeri interi relativi { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Q insieme dei numeri razionali (tutti i numeri rappresentabili nella forma m/n dove m ∈ Z e n ∈ Z*)

R insieme dei numeri reali (tutti i numeri rappresentabili con un numero infinito di decimali)

C insieme dei numeri complessi (numeri con una parte immaginaria)

notazioni particolari

insieme dei numeri reali senza lo zero

‘

la stessa notazione (l'asterisco) si usa anche per gli altri insiemi visti sopra insieme dei numeri reali strettamente positivi (quindi senza lo zero)

‘

la stessa notazione si usa anche per gli insiemi Z e Q insieme dei numeri reali positivi o nulli

‘

la stessa notazione si usa anche per gli insiemi Z e Q sono analoghe a quelle con il + ma per i numeri negativi

‘

, ‘

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

retta numerica (corrisponde all'insieme dei numeri reali

)

Relazioni e funzioni

Una relazione associa (mette in relazione) degli elementi di un'insieme di partenza a degli elementi di un'insieme d'arrivo. Sia a un'elemento dell'insieme di partenza, b un'elemento dell'insieme d'arrivo e ℜ una relazione che associa b ad a. Diremo che, per ℜ, b è immagine di a e che a ha un'immagine in b.

Ecco qualche esempio di relazione:

Osservazioni:

y

l'insieme di partenza e d'arrivo possono anche coincidere

y

gli elementi dell'insieme di partenza possono avere zero, una o più immagini

y

gli elementi dell'insieme d'arrivo possono essere l'immagine di zero, uno o più elementi dell'insieme di partenza

y

per ogni relazionr ℜ possiamo definire la relazione inversa ℜ

(b ℜ

a ⇔ a ℜ b cioè a è l'immagine di b secondo ℜ

se e solo se b è immagine di a secondo ℜ) Altre definizioni:

Gli elementi dell'insieme di partenza che possegono almeno un'immagine costituiscono il cosiddetto dominio di ℜ e gli elementi dell'insieme d'arrivo che sono l'immagine di almeno un'elemento dell'insieme di partenza costituiscono il codominio.

Se la relazione associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza uno e solo un'elemento dell'insieme d'arrivo, allora è una funzione

Negli esempi dati sopra solo la prima relazione è una funzione.

Altro esempio di funzione:

Associamo ai numeri naturali il loro doppio. Consideriamo pure tutto N come insieme d'arrivo.

Avremo una funzione da N verso N poiché ad ogni naturale sarà associato uno e solo un naturale.

Notazioni:

con f(x) si rappresenta l'immagine di x secondo f e si legge "effe di x"

f(x) = 2x

f è una funzione da N verso N che ad ogni x ∈ N associa il numero 2x ∈ N f : N →N

x → 2x

Funzioni biunivoche

Non tutte le relazioni sono delle funzioni. Abbiamo già detto che per ogni relazione esiste una relazione inversa (b ℜ

a ⇔ a ℜ b)

funzione.

Definizioni:

Una funzione è detta suriettiva quando ogni elemento dell'insieme d'arrivo è immagine di almeno un'elemento dell'insieme di partenza.

Una funzione è detta iniettiva se ogni elemento dell'insieme d'arrivo è l'immagine al massimo di un'elemento dell'insieme di partenza.

Una funzione è detta biunivoca o biiettiva

uno e un solo elemento dell'insieme di partenza. Altrimenti detto, una funzione è biunivoca quando è sia suriettiva che iniettiva

Risultato:

La relazione inversa di una funzione che non è biunivoca non è una funzione, ma la relazione inversa di una funzione biunivoca è anchessa una funzione (biunivoca).

Osservazione:

Che una relazione sia una funzione o meno e, se è una funzione, che sia iniettiva, suriettiva o

biunivoca, dipende dall'insieme di partenza e/o d'arrivo. A volte ridefinendo l'insieme di partenza e/o d'arrivo possiamo trasformare una semplice relazione in una funzione biunivoca.

Esempi:

… otteniamo una funzione biunivoca.

(La sua funzione inversa sarà f'

(x) = x/2 definita dai naturali pari verso N)

f' : N →Naturali Pari x → 2x

suriettiva) f : N →N

x → 2x a)

g' così definita è una funzione biunivoca (Qual è la sua funzione inversa?)

g' : R

→R

x → x

suriettiva) g : R →R

x → x

b)

composizione di funzioni e funzione inversa

Abbiamo già parlato di funzioni e di funzioni biunivoche. Vediamo alcuni esempi:

f(x) = 2x + 1 definita da R verso R è una funzione biunivoca

g(x) = x

– 1 definita da R verso R è una funzione ma non è biunivoca diventa biunivoca se definita da [0, + ∞[ verso [-1, +∞[

h(x) = 1/x definita da R* verso R* è una funzione biunivoca k(x) = √x definita da R

verso R

è una funzione biunivoca

composizione di funzioni

Definiamo la composizione di due funzioni tramite l’uguaglianza (f ο g)(x) = (f(g(x))

f ο g (si legge “f composto g”) è la funzione composta di f e g Se riprendiamo f e g come definite negli esempi qui sopra otterremo

(f ο g)(x) = f(g(x)) = f(x

– 1) = 2(x

– 1) + 1 = 2x

– 1 Nota: la composizione di funzioni non è commutativa, vale a dire che in generale avremo f ο g ≠ g ο f

Funzione inversa

Definiamo dapprima la funzione identità I tramite l’uguaglianza I(x) = x (l’insieme di partenza e d’arrivo coincidono e ogni elemento ha se stesso per immagine).

Sia ora f una funzione biunivoca. Allora esiste una funzione, che possiamo notare f

, tale che f ο f

= f

ο f = I

La funzione f

è detta la funzione inversa di f

Attenzione: f

è una notazione per l'inversa di f ma non vuol dire ¹

Se riprendiamo f come definita qui sopra avremo che f

= ½x – ½

Possiamo verificare che (f ο f

)(x) = f(f

(x)) = f(½x – ½) = 2(½x – ½) + 1 = x e anche che (f

ο f)(x) = f

(f(x)) = f

(2x + 1) = ½ (2x + 1) – ½ = x Note:

y

Possiamo aspettarci che il dominio di f

sia il codominio di f e viceversa

y

Per costruire l’inversa scriviamo per esempio f(x) = y = 2x + 1 ed esprimiamo x in funzione di y

ottenendo x = ½y – ½ = f

(y). Possiamo ora scrivere f

(y) = ½y – ½ come f

(x) = ½x – ½.

Operazioni in N

Addizione: a + b = c a, b addendi c somma

∀ a, b ∈ N abbiamo (a + b) ∈ N Interna rispetto a N

a + 0 = 0 + a = a Elemento neutro

(a + b) + c = b + (a + c) = a + b + c Associativa

a + b = b + a Commutativa

Sottrazione: a - b = c ⇔ c + b = a a minuendo b sottraendo c differenza

∃ (a, b) ∈ N × N | (a - b) ∉ N non interna rispetto a N

a - b = (a + c) - (b + c) = (a - c) - (b - c) Invariantiva

(a - b) - c ≠ b - (a - c) non è associativa

a - b ≠ b - a non è commutativa

Moltiplicazione: a ⋅ b = c a, b fattori c prodotto

∀ a, b ∈ N abbiamo (a ⋅ b) ∈ N Interna rispetto a N

a ⋅ 0 = 0 Elemento assorbente

a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a Elemento neutro

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅c ; a ⋅ (b - c) = a ⋅ b - a ⋅c Distributiva risp. a + e -

(a ⋅ b) ⋅ c = b ⋅ (a ⋅ c) = a ⋅ b ⋅ c Associativa

a ⋅ b = b ⋅ a Commutativa

Divisione: a / b = c ⇔ c ⋅ b = a a dividendo b divisore c quoziente

! la divisione non ha significato se il divisore è nullo.

∃ (a, b) ∈ N × N* | (a / b) ∉ N non interna rispetto a N

a / b = (a ⋅ c) / (b ⋅ c) = (a / c) / (b / c) per c ≠ 0 Invariantiva

(a / b) / c ≠ b / (a / c) non è associativa

a / b ≠ b / a non è commutativa

Confronto: a < b, a = b, a > b (a minore di b, a uguale a b, a maggiore di b) N è ordinato. Per qualsiasi copia di numeri naturali a, b, si verifica uno e uno solo dei seguenti casi:

a < b a = b a > b

Rappresentazione cartesiana:

0 1 2 3 4 5 6 7



Numeri primi

y

Si dice che un naturale a diverso da 0 è divisore di un altro naturale b se la divisione b/a dà resto 0 (per es. i divisori di 4 sono 1, 2 e 4 mentre il 3 non lo è)

y

Si dicono primi i numeri naturali diversi da 0 e da 1 che hanno come divisori soltanto 1 e se stessi (4 non è un numero primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29 lo sono)

y

Se due numeri naturali non hanno divisori comuni tranne il numero 1, vengono detti primi tra loro (4 e 9 sono primi tra loro)

Scomposizione in fattori primi

Quando un numero non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi, ossia scriverlo sotto forma di un prodotto in cui tutti i fattori sono numeri primi. Questa scomposizione, ordine a parte, è unica. Questo risultato è conosciuto come il teorema fondamentale dell'aritmetica.

(per es. 24 non è primo ed è quindi scomponibile: 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2

⋅ 3)

Massimo Comun Divisore (M.C.D.)

Il massimo comun divisore fra due o più numeri naturali diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni. (per es. l'M.C.D per 18, 24 e 12 è il numero 6)

minimo comun multiplo (m.c.m.)

Il minimo comun multiplo fra due o più numeri naturali diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0. (per es. l'm.c.m per 18, 24 e 12 è il numero 72)

Metodo per il calcolo di M.C.D e m.c.m

a) scomporre in fattori primi tutti i numeri in questione esempio 120 = 2

⋅ 3 ⋅ 5

140 = 2

⋅ 5 ⋅ 7 300 = 2

⋅ 3 ⋅ 5

b) - per trovare l'M.C.D si forma il prodotto dei fattori primi comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente con cui figura.

esempio M.C.D.(120; 140; 300) = 2

⋅ 5 = 20

- per trovare l'm.c.m. si forma il prodotto dei fattori primi comuni e no, presi una sola volta, con il massimo esponente con cui figura.

esempio m.c.m.(120; 140; 300) = 2

⋅3 ⋅ 5

⋅ 7 = 4200

Elevazione a potenza

notazione:

potenza n-esima di a: a

= a ⋅a⋅a⋅ ... ⋅a, n volte

(si dice anche "a elevato alla n-esima" o "a alla n-esima") casi particolari:

per a ≠ 0, a

= 1 ; per n ≠ 0, 0

= 0 ; 0

non ha significato proprietà:

prodotto di potenze di base uguale: a

⋅a

= a

quoziente di potenze di base uguale: a

/ a

= a

(a ≠ 0) potenza di una potenza: (a

)

= a

prodotto di potenze di uguale esponente: a

⋅b

= (a ⋅b)

quoziente di potenze di uguale esponente: a

/ b

= (a / b)

(b ≠ 0) precedenza:

nelle espressioni l'elevazione a potenza ha precedenza sulle altre operazioni fin qui viste, per cui b ⋅a

= b ⋅(a

) ≠ (a⋅b)

= a

⋅b

spesso il prodotto di due numeri a e b si indica con ab per non scrivere a ⋅b, per cui ab

= a(b

) ≠ (ab)

= a

b

Sistemi di numerazione

Un sistema di numerazione consente di scrivere un numero tramite un insieme di cifre (segni) e un insieme di regole.

Sistema Decimale (o a base 10)

Il sistema di numerazione che abitualmente usiamo prevede dieci cifre ed è un sistema posizionale; il valore numerico associato ad ogni cifra varia secondo la posizione che essa occupa.

7 ⋅10

+ 5 ⋅10

+ 1 ⋅10

+ 2 ⋅10

= 7000 + 500 + 10 + 2 = 7512

Sistema Binario (o a base 2)

Il sistema binario funziona in modo analogo al sistema decimale ma utilizza solo due cifre 110101011000

1 ⋅2

+ 1 ⋅2

+ 0 ⋅2

+ 1 ⋅2

+ 0 ⋅2

+ 1 ⋅2

+ 0 ⋅2

+ 1 ⋅2

+ 1 ⋅2

+ 0 ⋅2

+ 0 ⋅2

+ 0 ⋅2

=

a ⁿ

base esponente

numero cifra

7512

Altri sistemi analoghi (altre basi)

Utilizzando un numero qualsiasi di cifre si possono costruire sistemi di numerazione analoghi ai sistemi visti sopra. In informatica ad esempio, oltre al sistema binario e decimale s'incontrano i sistemi ottale (8 cifre) ed esadecimale (16 cifre). Nel sistema esadecimale le "cifre" sono: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.

notazione: quando è necessario far capire in che sistema numerico è scritto un numero (in che base), si fa seguire al numero l'indicazione della base, come ad esempio qui:

7512

= 110101011000

Cambiamenti di base

Per passare da un sistema di numerazione a base b al sistema decimale o viceversa, sono stati messi a punto degli algoritmi.

Decimale → base b

1. Si divide il numero x per b. Il resto costituisce l'ultima cifra a destra.

2. Si divide il quoziente (intero). Il resto è la cifra subito a sinistra della precedente.

3. Si ripete il punto 2 fino ad ottenere un quoziente nullo

Esempio: 26

→ base 2 26 / 2 = 13 resto 0

13 / 2 = 6 resto 1 6 / 2 = 3 resto 0 3 / 2 = 1 resto 1 1 / 2 = 0 resto 1 26

= 11010

Base b → decimale

1. Si moltiplica la prima cifra a sinistra di x per la base b e poi si aggiunge la seconda cifra.

2. Si moltiplica il risultato precedente per b poi si aggiunge la cifra successiva.

3. Si ripete il punto 2 fino all'ultima cifra a destra. L'ultimo risultato è il numero cercato.

Esempio: 11010

→ base 10 1 = 1

1 ⋅2 + 1 = 3 3 ⋅2 + 0 = 6 6 ⋅2 + 1 = 13 13 ⋅2 + 0 = 26 11010

= 26

(Altrimenti si moltiplica ogni cifra del numero in base b per una potenza della base a seconda della posizione e si sommano i termini ottenuti.

11010

= 1 ⋅2

+ 1 ⋅2

+ 0 ⋅2

+ 1 ⋅2

+ 0 ⋅2

= 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26

) Esercizi:

Converti nel sistema decimale i numeri seguenti : 11100111

7502

FFF

Converti nel sistema binario i numeri seguenti : 491

427

A1A

Converti nel sistema ottale i numeri seguenti : 101

100

011

Converti nel sistema esadecimale i numeri seguenti : 1024

11111111

1111

Operazioni in Z

Otteniamo l'insieme dei numeri interi relativi (o semplicemente interi) Z, facendo precedere i numeri naturali da un segno + o un segno - .

Le operazioni aritmetiche (+, -, *, /) godono in Z delle stesse proprietà che abbiamo elencato per N salvo che in Z la sottrazione diventa un operazione interna. Anche le potenze godono le stesse proprietà elencate per N.

valore assoluto. Il valore assoluto di un numero intero (intero relativo) è il numero privato di segno.

| -2 | = | +2 | = 2 ma attenzione | -x | = | +x | ≠ x

concordi. Due interi relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno discordi. Due interi relativi si dicono discordi se hanno segno diverso

opposti. Due interi relativi si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso rappresentazione cartesiana. Possiamo disegnare gli elementi di Z come punti equidistanti su di una

retta orientata

0 1 2

-1 -2

-3



disegniamo il grafico della funzione f(x) = |x| = da Z verso Z

 



<

≥ 0 x se x -

0 x se x

x x

x x

x x

x

x x x x x x x

5 -5

5

-2





x

|x|

∈

∈

x

numerabilità. Z è numerabile poichè è possibile trovare una funzione biunivoca da N verso Z,

per esempio r(x) =

 



+ 1)/2 se x è dispari (x

-

pari

è

x

se

x/2

Operazioni in Q

Possiamo ottenere Q a partire da frazioni di interi:

frazione di interi numeratore n n ∈ Z, denominatore d ∈ Z*

d

equivalenza. Due frazioni e sono equivalenti se a a ⋅d = b⋅c

b c

d

classe d'equivalenza a è detto classe

d'equivalenza di quella frazione b

minimi termini. La frazione è ridotta ai minimi termini quando n e d sono primi tra loro n d

insieme Q. L'insieme dei numeri razionali Q è l'insieme di tutte le classi d'equivalenza delle frazioni di interi. Una frazione ridotta ai minimi termini è normalmente scelta quale rappresentante della sua classe d'equivalenza.

rappresentazione cartesiana. Possiamo rappresentare gli elementi di Q come punti di una retta

0 1 2



-1 -2

-3 -5/4 -1/4 1/2 3/2 5/2

Non tutti i punti della retta corrispondono a dei razionali e perciò si dice che Q non copre la retta.

Si dice però che i punti razionali sono densi sulla retta perchè un qualsiasi segmento ne contiene infiniti (Q è denso in R).

operazioni. Le operazioni aritmetiche, come anche le potenze, godono in Q delle stesse proprietà che abbiamo elencato per N ma in Q anche la sottrazione e la divisione sono interne (se escludiamo la divisione per 0).

Confronto. per b, d ≠ 0, abbiamo a < ⇔ | a⋅d | < | b⋅c |

b c

d

Addizione e sottrazione per b, d ≠ 0, a ± = b c

d

a $

! c $

mcm (b, d)

Moltiplicazione per b, d ≠ 0 a ⋅ =

b c

d a $ c b $ d

Divisione per b, c, d ≠ 0 a ÷ = ⋅ =

b c

d a

b d

c a $ d b $ c

Potenze per a, b ≠ 0 e n ∈ N a

b

n

= a b

a

b

−n

= ba

= b a

numerabilità. Q è numerabile. Per dimostrarlo si è cercata una funzione biunivoca da N verso Q

Frazioni e Decimali

La rappresentazione dei numeri interi grazie al sistema decimale può essere estesa ai numeri razionali.

Un segno separatore (virgola o punto) segna il passaggio dalle potenze positive o nulle di 10 a quelle negative.

7512.492

parte intera mantissa

7 ⋅10

+ 5 ⋅10

+ 1 ⋅10

+ 2 ⋅10

+ 4 ⋅10

+ 9 ⋅10

+ 2 ⋅10

= 7000 + 500 + 10 + 2 + 0.4 + 0.09 + 0.002 = 7512.492

Un numero decimale con un numero finito di cifre è detto numero decimale finito

Un numero decimale con un numero illimitato di cifre in cui, da una certa posizione in poi, un blocco di cifre si ripete indefinitamente si dice numero decimale periodico (o numero periodico). Il blocco di cifre ripetuto si chiama periodo, mentre l'eventuale sequenza di cifre che segue la virgola e precede il periodo, si chiama antiperiodo.

parte intera

mantissa

12.3073 = 12.30737373...

periodo antiperiodo

Un numero decimale finito può esser visto come un numero periodico con periodo 0.

Ogni numero razionale può essere rappresentato con un numero decimale periodico (o finito). E ad ogni numero decimale periodico (o finito) corrisponde un razionale.

Una frazione corrispondente ad un numero periodico è detta frazione generatrice di tal numero.

frazione generatrice di un numero decimale finito. Una frazione generatrice di un numero decimale finito ha come numeratore il numero scritto senza virgola, e come denominatore 10 elevato al numero di cifre dopo la virgola.

per esempio 32.54 = ³²⁵⁴ ₁₀₀

frazione generatrice di un numero periodico. Una frazione generatrice di un numero decimale periodico ha come numeratore il numero scritto senza virgola diminuito del numero costituito da tutte le cifre che precedono il periodo, e come denominatore 10 elevato al numero di cifre del antiperiodo più il periodo, diminuito da 10 elevato al numero di cifre del antiperiodo.

per esempio 1.473 = 1473 − 13 = = =

10

− 10

1460

990 0.3 3 − 0

10

− 10

3

9

Ad un numero decimale infinito non periodico non corrisponde nessuna frazione generatrice. Un tale

numero è detto irrazionale.

Dimostrazione aritmetica dell'incommensurabilità del lato e della diagonale di un quadrato Introduzione:

Due segmenti a e b si dicono commensurabili se esiste un segmento ε tale che a = m⋅ε e b = n⋅ε, dove m e n sono numeri interi.

                       

a b

Due segmenti si dicono incommensurabili quando non esiste una siffatta misura comune.

Ora consideriamo due segmenti a e b

scrivere a e se scegliamo b di lunghezza unitaria potremo scrivere a = (n ≠0). Allora dire che b = m

n m

n

un segmento è commensurabile con il segmento unitario significa dire che la sua lunghezza si può esprimere con una frazione d'interi, cioè con un numero razionale.

1 x 1

Dimostrazione:

Sia x la diagonale di un quadrato di lato unitario. Per il teorema di pitagora avremo:

x

= 1

+ 1

= 2 [1]

Se x fosse commensurabile con 1 si potrebbero trovare due numeri interi p e q , tali che x = p/q e, sostituendo nella [1], otterremmo:

p

= 2q

[2]

Supponiamo p/q ridotta ai minimi termini, perché qualunque fattore comune al numeratore e al denominatore può essere eliminato fin dall'inizio. Essendo 2 un fattore del membro di destra, p

è un numero pari, e quindi anche p è pari, perché il quadrato di un numero dispari è dispari. Si può perciò scrivere p = 2r. L'uguaglianza [2] diventa allora

4r

= 2q

, ovvero 2r

= q

Poiché 2 è un fattore del membro di sinistra, anche q

e quindi q devono essere pari. Quindi p e q sono entrambi divisibili per 2, contro l'ipotesi che essi non abbiano fattori comuni. Perciò l'uguaglianza [2]

non puo' essere vera, e x non può essere un numero razionale

Numeri Reali

Consideriamo la rappresentazione decimale dei numeri razionali; essi sono finiti o periodici. L'insieme dei numeri reali R, estende l'insieme dei numeri razionali Q, comprendendo anche i decimali infiniti non periodici.

R\Q = l'insieme dei decimali infiniti non periodici = l'insieme degli irrazionali Altrimenti, se consideriamo i razionali come delle frazioni di interi, potremo dire che i reali aggiungono ai razionali dei numeri che non possiamo rappresentare tramite una frazione di interi.

esempi di numeri irrazionali

π = circonferenza / diametro = 3.14159265358979323846... = 4

=0

∞

(−1)

2k + 1

= diagonale / lato di un quadrato = 1.41421356...

2

Tra due razionali distinti si può sempre trovare un'irrazionale.

rappresentazione cartesiana.

Ora possiamo rappresentare l'insieme R tramite una retta, la retta numerica. Ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale (R copre la retta)

0 1 2

-1 -2

-3 -5/4 -1/4 1/2 ^√23/2 5/2 ^π



numerabilità. Si deve a Cantor la scoperta che l'insieme di tutti i numeri reali non è numerabile.

notazione scientifica

Per rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli (in valore assoluto) si ricorre abitualmente alla cosiddetta notazione scientifica.

4'000'000'000'000 = 4 ⋅10

0.000 000 000 000 18 = 1.8 ⋅10

Sulle macchine calcolatrici potete trovare questa notazione in una forma un po' diversa

4 ⋅10

→ 4 E 12 o 4 EE 12 o 4

o 4 12 o ...

1.8 ⋅10

→ 1.8 E -13 o 1.8 EE -13 o 1.8

o 1.8 -13 o ...

arrotondamenti

Per comodità o per necessità abbiamo spesso bisogno di arrotondare i numeri reali. Così potremmo arrotondare il numero π

π ≅ 3.1415927 (0.5 si arrotonda a 1 e -0.5 a -1) Potremo dire di aver arrotondato π con un numero di 8 cifre significative

Altro esempio: c = 299792458 m/s = velocità della luce nel vuoto (valore esatto) c ≅ 3 ⋅ 10

m/s valore arrotondato ad una cifra significativa c ≅ 3.00 ⋅ 10

m/s valore arrotondato ad tre cifre significative

c d

d l

C L'insieme dei numeri complessi (brevemente) Definizioni: chiamiamo unità immaginaria

elevato al quadrato dia -1. Noteremo questo numero con la lettera i. (i

= -1) chiamiamo numero immaginario un numero del tipo b ⋅ i, con b ∈ R.

Il numero reale b è detto coefficiente dell'immaginario

dati due numeri reali a e b, chiamiamo numero complesso la somma a + bi.

a è la parte reale e bi la parte immaginaria del numero complesso.

Chiamiamo modulo del numero complesso z = a + bi la quantità a

+ b

Il modulo di z è notato |z|. (|z| = |a + bi| = a

+ b

)

Rappresentazione:

Rappresentiamo i numeri reali tramite una retta, la retta numerica. Per avere una rappresentazione di un numero complesso possiamo utilizzare un piano detto piano di Gauss o piano complesso. Un asse per la parte reale e uno per la parte immaginaria.

Il modulo del numero complesso sarà rappresentato dalla distanza tra il punto e l'origine degli assi, a

+ b

. I numeri reali costituiscono un sottoinsieme dei numeri complessi (sono i complessi con la parte immaginaria nulla).

sull'asse reale

Calcoli con i complessi:

Nei calcoli con i numeri complessi adottiamo le stesse regole che usiamo con i numeri reali, semplicemente avremo che i

= -1. Facciamo qualche esempio.

Somma di due complessi : (2 + 5i) + (-3 + 7i) = 2 + 5i - 3 + 7i = -1 + 12i Somma in generale: (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i Moltiplicazione di due complessi : (2 + 5i) ⋅(-3 + 7i) = 2⋅(-3) + 2⋅7i + 5i⋅(-3) + 5i⋅7i =

-6 + 14i - 15i + 35i

= -6 - i -35 = -41 - i

Moltiplicazione in generale: (a + bi) ⋅(c + di) = ac + adi + cbi + bdi

= (ac - bd) + (ad + bc)i

Risoluzione di equazioni algebriche:

Con questi numeri sarà possibile dare una soluzione ad equazioni come x

= -1; x = ±i

Anzi, per ogni equazione algebrica della forma f(x) = x

+ a

x

+ a

x

+ ... + a

x + a

= 0, dove n è un numero intero positivo e le a

numero complesso z tale che f(z) = 0 (teorema di Gauss).

Da qui si può dimostrare che ogni polinomio di grado n a coefficienti reali o complessi può essere scomposto nel prodotto di esattamente n fattori e questo costituisce il cosiddetto teorema

fondamentale dell'algebra.

asse reale a

b asse immaginario

a + bi