Macchina elettrica sincrona
1. Macchina elettrica sincrona anisotropa a poli salienti
In figura 1 è rappresentata la vista in sezione trasversale di una macchina elettrica sincrona a poli salienti, a rotore avvolto e ad una coppia polare.
Figura 1: Vista in sezione trasversale di una macchina sincrona a poli salienti.
La macchina presenta due avvolgimenti:
1. Un avvolgimento trifase distribuito a singolo strato (armatura) disposto nelle cave dello statore e alimentato dalla terna delle tensioni di armatura va,1, va,2, va,3.
2. Un avvolgimento monofase concentrato (eccitazione) avvolto intorno al gambo polare del rotore e alimentato a mezzo di un sistema anelli/spazzole dalla tensione d’eccitazione ve. La generica fase k-esima dell’avvolgimento di armatura è percorsa dalla corrente ib,a,k ed è realizzata collegando in serie qa (qa =2 in figura 1) matasse (bobina), ognuna costituta dalla serie di zc,a spire (zc,a = 3 in figura 1). I relativi zc,a lati di andata sono disposti in qa cave consecutive ed equi-spaziate del passo di cava τc, mentre i lati di ritorno sono allocati nelle corrispondenti cave diametralmente opposte.
Le tre bobine risultano quindi reciprocamente spaziate di 2π/3.
L’avvolgimento di eccitazione è percorso dalla corrente ib,e ed è costituito dalla serie di Ne spire (Ne = 6 in figura 1).
Si assumono le seguenti ipotesi:
La sezione trasversale della macchina (ottenuta con un taglio secondo un piano ortogonale all’asse di rotazione) si ripete identicamente secondo la dimensione longitudinale L (lunghezza di macchina).
Ai fini della determinazione della distribuzione del campo di induzione magnetica e del momento della coppia elettromagnetica, si suppone piccolo l’errore che si commette trascurando la presenza delle cave e sostituendo i zc,a conduttori della fase k-esima con un unico conduttore puntiforme percorso da corrente pari a zc,a ib,a,k , disposto sulla periferia interna di statore secondo la mezzeria della cava corrispondente.
L’asse di rotazione attraversa la sezione trasversale di macchina in corrispondenza del centro del cilindro cavo di statore, caratterizzato da diametro interno Ds.
La struttura del rotore (ivi compresso l’avvolgimento di eccitazione) è simmetrica rispetto all’asse che seziona il gambo polare in due parti uguali (asse polare o asse diretto).
Il rotore è posizionato con eccentricità nulla rispetto all’asse di rotazione.
Il diametro di rotore Dr misurato secondo la direzione dell’asse polare è molto prossimo a Ds, ovvero il traferro geometrico DsDr 2 è trascurabile rispetto a Dr. Si assume quindi
s r
D D D (diametro di macchina).
Lo statore e il rotore sono realizzati con materiale ferromagnetico a permeabilità .
Si ipotizza piccolo l’errore che si commette assumendo nulla la componente assiale del campo di induzione magnetica, ovvero si assume che le linee di forza del campo di induzione magnetica si sviluppino secondo piani ortogonali all’asse di rotazione.
Il campo di induzione magnetica è costante sulla generica linea di forza relativamente al tratto che si sviluppa in aria (traferro).
La distribuzione del campo di induzione magnetica si ripete identicamente secondo la dimensione longitudinale L.
Nel caso più generale di macchina con p coppe polari, si assume che, in ogni sezione trasversale, la struttura della macchina si ripeta identicamente p volte. L’avvolgimento della fase k-esima di statore è quindi realizzato collegando le corrispondenti p bobine a formare il parallelo di bp,a raggruppamenti (attraversato dalla corrente di armatura della fase k-esima
, , , , ,
a k p a k b a k
i b i ), ognuno costituito dalla serie di bs,a bobine. L’avvolgimento di eccitazione è attraversato dalla corrente iebp e b e, i, ed è ottenuto inserendo in parallelo bp,e raggruppamenti, ognuno rappresentato dalla serie di bs,e bobine. Ovviamente risulta bp a, bs a, bp e, bs e, p. Sulla base di queste assunzioni, indicando con e le ascisse curvilinee di due riferimenti angolari orari solidali rispettivamente con lo statore e il rotore, la distribuzione del campo di induzione magnetica al traferro nel riferimento angolare di rotore riduce ad una funzione scalare di . In particolare, la funzione B ,t restituirà il valore dell’induzione magnetica all’istante t sulla linea di forza al traferro che attraversa la superficie di statore in corrispondenza dell’angolo . Per convenzione, si assumerà
, 0
B t se la linea di forza corrispondente si sviluppa dal rotore allo statore. Naturalmente, dal momento che la distribuzione del campo di induzione magnetica si ripete identicamente sotto ogni coppia polare, B ,t risulterà una funzione periodica di con periodo angolare 2 p e, conseguentemente, la corrispondente funzione Bm,t, con mp angolo magnetico (o elettrico) nel riferimento di rotore, avrà periodo angolare 2. Indicando con lo sfasamento tra il riferimento angolare di rotore e di statore, assunto positivo in corrispondenza di una rotazione oraria, è facile verificare che:
m m p
(1)
Con riferimento agli avvolgimenti di statore e di rotore, si può osservare che le p bobine che fanno capo alla stessa fase, in virtù della simmetria del sistema, sono attraversate dalla stessa corrente (corrente di bobina ib a k, , per la k-esima fase di armatura e corrente di bobina ib e, per l’eccitazione) e concatenano lo stesso flusso al traferro (flusso di bobina). Da notare che la corrente di bobina è inversamente proporzionale alla corrente totale attraverso i fattori bp,a e bp,e, ovvero direttamente proporzionale alla corrente totale attraverso i fattori babs a, p e bebs e, p. Invece, il flusso totale al traferro è direttamente proporzionale al flusso di bobina attraverso i fattori bs,a e bs,e, mentre il flusso di bobina è inversamente proporzionale al numero di coppie polari p, in quanto la superficie offerta al flusso decresce all’aumentare di p. Il flusso totale al traferro è quindi direttamente proporzionale attraverso i fattori ba
e be al flusso che concatena la bobina equivalente di una macchina ad una coppia polare.
Ne risulta che, ai fini della determinazione del modello matematico, si può fare riferimento a una macchina elettrica equivalente ad una coppia polare rispetto alla quale gli angoli meccanici sono sostituiti con i corrispondenti angoli elettrici e gli avvolgimenti di statore e di rotore sono sostituiti da avvolgimenti equivalenti costituiti da una singola bobina percorsa dalla corrente totale (ia k, per la k-esima fase di armatura e ie per l’eccitazione), alimentata dalla tensione totale (va k, per la k-esima fase di armatura e ve per l’eccitazione) e costituita da un numero di spire totali legato al numero di spire della bobina reale attraverso i fattori ba (per le fasi di armatura) e be (per l’eccitazione).
2. Distribuzione di induzione al traferro sostenuta dall’avvolgimento di eccitazione In figura 2 è rappresentata la vista in sezione trasversale della macchina elettrica equivalente rettificata.
Figura 2: Vista in sezione trasversale della rettificazione di una macchina sincrona a poli salienti con forza magnetomotrice di armatura nulla.
Sul gambo polare sono avvolte Ne p, b Ne e spire (numero di spire in serie per polo dell’avvolgimento di eccitazione), ripartite equamente, nella rappresentazione rettificata, tra il gambo sinistro (polo nord) e il gambo destro (polo sud). Le linee di forza al traferro del campo di induzione magnetica sono
rappresentate in rosso. Si può osservare che la generica linea di forza è sempre ortogonale, in corrispondenza dell’attraversamento dello statore e della scarpa polare di rotore, alla superficie del materiale ferromagnetico, che, nelle ipotesi fatte, è in effetti equipotenziale magnetica. Ad ogni conduttore è stato associato il simbolo + o – ad indicare che la corrente corrispondente, se positiva, è uscente o entrante. Dal momento che il materiale ferromagnetico è stato assunto a permeabilità infinita, il sistema è lineare ed è quindi possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si procede quindi alla determinazione della distribuzione del campo di induzione magnetica al traferro B,em,t sostenuto dall’avvolgimento di eccitazione assumendo le correnti di armatura nulle. Si indicano con
e ,o rispettivamente la curva che si appoggia alla generica linea di forza al traferro e una curva scelta arbitrariamente che, attraversando il traferro, connette il rotore allo statore. La curva è vincolata alla coordinata angolare m in corrispondenza della quale attraversa lo statore. Si assume quindi
m
. E’ quindi possibile considerare la generica linea chiusa:
m ,0 m fe m
(2)
in cui fe è il tratto di che si sviluppa nello statore e nel rotore (ovvero all’interno del materiale ferromagnetico, dove il campo magnetico, sulla base delle ipotesi avanzate, è nullo).
La distribuzione di forza magnetomotrice si può agevolmente determinare applicando la legge della circuitazione di Ampère alla linea chiusa m . Risulta:
,
,
2 con 2 < < 2 2 con 2 < < 3 2
e p e m
e m
e p e m
N i
F N i
(3)
e m
F è quindi una funzione rettangolare alternativa con ampiezza Ne p e, i 2. Da osservare che Fe m
dipende da ,0. In particolare, al variare di ,0, è facile verificare che il picco-picco di Fe m rimane costante, mente cambia il corrispondente valore medio.
Scomponendo la circuitazione nelle curve definite dalla (2), si ottiene:
0
d d d 0
m m
e m e m
F H l H l H l F F
(4)ovvero, la distribuzione della caduta di forza magnetomotrice Fe m è legata a Fe m dalla relazione:
0
e m e m
F F F
(5)
F0
è la caduta della forza magnetomotrice in corrispondenza di ,0 e può essere determinata imponendo che il valor medio di Fe m sia nullo, condizione che deve essere soddisfatta in virtu’ della solenoidalità del campo di induzione magnetica. Nel caso considerato, F0 0, in quanto ,0 è stata scelta in maniera tale da restituire una distribuzione di forza magnetomotrice a valor medio nullo. Si ha pertanto:
e m e m
F F
(6)
Sulla base delle (3) e (6), lo sviluppo in serie di Fourier di Fe m fornisce:
, 1
1
2 1
cos 2 1
2 1
h
e m e p e m
h
F N i h
h
(7)D’altra parte:
d
m
e m
e m e m
m m
H l F H F
(8)in cui m m è la lunghezza della curva m (distribuzione del traferro magnetico) e He m è il valore del campo magnetico in corrispondenza della linea di forza al traferro che si appoggia sulla curva
m
. Definita la funzione permeanza al traferro:
m m 1 m
(9)
la (8) si può riscrivere come:
, 0
e m m e m e m m e m
H F B F (10)
Si può osservare che m è massima sugli assi polari (dove le line di forza al traferro hanno lunghezza minima) e minima sugli assi interpolari (dove le line di forza hanno lunghezza massima).
Conseguentemente m è una funzione periodica in m che si ripete due volte sull’angolo giro. Inoltre, a meno del valor medio 0, sulla base della simmetria della struttura, è antisimmetrica rispetto al semiperiodo. Conseguentemente lo sviluppo in serie di Fourier di m porge:
0 2 1
1
cos 2 2 1
m h m
h
h
(11)Trascurando le armoniche spaziali di ordine superiore, le espressioni della distribuzione di caduta di forza magnetomotrice e della funzione permeanza al traferro si semplificano nelle seguenti relazioni:
,
0 1 0
2 cos
cos2 1 2 cos2
e m e p e m
m m m
F N i
(12) da cui:
, , 0 0
2 cos 1 2 cos2
e m e p e m m
B N i
(13)
con 1 20 fattore di anisotropia magnetica.
Sviluppando il prodotto delle funzioni trigonometriche:
cosm 1 2 cos2m cosm2cosmcos2mcosmcosmcos3m (14) e trascurando il termine in 3m (che, si può dimostrare, non incide sul componente simmetrico del flusso al traferro che si concatena con l’avvolgimento di armatura), si perviene all’espressione finale della distribuzione di induzione al traferro sostenuta dalla forza magnetomotrice dell’avvolgimento di eccitazione:
, , 0 0
, 2 1 cos
e m e p e m
B t N i t
(15)
nella quale sono stati evidenziati i termini che dipendono dal tempo.
3. Distribuzione di induzione al traferro sostenuta dall’avvolgimento di armatura L’avvolgimento di armatura, nel caso considerato, ha una struttura analoga all’avvolgimento trifase di una macchina asincrona. Conseguentemente, in ogni fase, le qa matasse che compongono la bobina corrispondente possono essere sostituite con un’unica matassa equivalente di fase costituita da
, , , ,
d a c a a az q b d aNa p
spire in serie, con d a, e Na p, rispettivamente modulo del fattore di distribuzione e numero di spire in serie per polo e per fase dell’avvolgimento di armatura. L’asse magnetico della matassa di fase equivalente è ritardato rispetto all’asse magnetico della prima matassa sulla base della fase del fattore di distribuzione complesso d a, . Inoltre, le tre matasse equivalenti di fase possono essere sostituite con una unica matassa equivalente di avvolgimento costituita da 3d a, Na p, 2 spire in serie e percorsa dal modulo del componente simmetrico della corrente di armatura ia. L’asse magnetico della matassa equivalente di avvolgimento è ritardato rispetto all’asse magnetico della matassa equivalente della prima fase sulla base della fase di ia.
Conseguentemente, la distribuzione di induzione al traferro sostenuta dalle correnti di armatura si può agevolmente determinare a partire dalla rappresentazione della macchina rettificata di figura 3, nella
quale è stata assunta nulla la corrente di eccitazione. Si può osservare che la matassa equivalente dell’armatura corrisponde a un avvolgimento concentrato analogo a quello di eccitazione. Tuttavia, a differenza dell’avvolgimento di eccitazione, il cui asse magnetico è vincolato all’asse polare, la posizione dell’asse magnetico dell’avvolgimento di armatura può variare con continuità su tutto l’angolo giro.
Figura 3: Vista in sezione trasversale della rettificazione di una macchina sincrona a poli salienti con forza magnetomotrice di eccitazione nulla.
Indicando con e r la posizione angolare dell’asse magnetico d’armatura rispettivamente nel riferimento solidale con lo statore e con il rotore, risulta r p. Conseguentemente:
jp jp
e e
(r) (r)
a a a a
i i i i (16)
con i(r)a componente simmetrico delle corrente d’armatura riportato in fase al riferimento solidale con il rotore.
La caduta di forza magnetomotrice Fa m sostenuta dalla forza magnetomotrice d’armatura si può quindi esprimere come:
3 , , Re
j m
3 , , Re
jp j m
a m a p d a a p d a
F N e N e e
i(r)a ia (17)
da cui, proseguendo analogamente rispetto alle (12), si ottiene:
, 0 0 , ,
3 Re j m 1 2 cos2
e m a p d a m
B N e
iar (18)
Sviluppando separatamente il termine che dipende da m:
2 2
3 3 3
Re 1 2 cos2 Re ˆ
2
ˆ ˆ ˆ
Re Re
2
m m m m m m
m m m m m m m
j j j j j j
m
j j j j j j j
e e e e e e
e e e e e e e
r r r r
a a a a
r r r r r r r r
a a a a a a a a
i i i i
i i i i i i i i
(19)
Trascurando anche in questo caso la terza armonica spaziale della distribuzione del campo di induzione magnetica al traferro, si perviene alla seguente:
, 0 0 , ,
3 ˆ
, Re j m
e m a p d a
B t N t t e
iar iar (20)
nella quale sono stati evidenziati i termini che dipendono dal tempo.
4. Distribuzione di induzione al traferro complessiva
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, si perviene agevolmente all’espressione della distribuzione di induzione al traferro complessiva nel riferimento solidale con il rotore:
m ,a m ,e m 0 0
3 a p, d a, Re
ˆ
j m
2 e p,
1
ecos m
B B B N e N i
iar iar (21)
Definendo la corrente di eccitazione riportata in ampiezza all’avvolgimento di armatura:
' ,
, ,
3 2
e p
e e
a p d a
i N i
N
(22)
la (21) si può riscrivere sinteticamente come:
m, 3 0 0 a p, d a, Re
ˆ
1
j m
B t N t t t e
iar iar i'e (23)
con i'ei ee' j0componente simmetrico della corrente di eccitazione riportato all’armatura. Da osservare che la definizione di i'e è congruente con il significato fisico di competente simmetrico riportato in ampiezza: la corrente di eccitazione infatti genera la stessa distribuzione di induzione al traferro che sarebbe sostenuta dalla matassa equivalente dell’avvolgimento d’armatura se questa fosse percorsa dal modulo del componente simmetrico i'e (ovvero ie') e se l’asse magnetico corrispondente fosse allineato con i'e (ovvero disposto secondo l’asse diretto dal momento che, per definizione, la fase di i'e è nulla).
5. Flussi concatenati al traferro
Definendo il componente simmetrico della corrente magnetizzante riferita al riferimento di rotore:
r r ˆ r
1
'μ a a e
i i i i (24)
l’espressione della distribuzione di induzione risultante al traferro diviene analoga a quella della macchina asincrona:
m, 3 0 0 a p, d a, Re
j m
B t N e
iμr (25)
Conseguentemente, il componente simmetrico del flusso di mutua al traferro che si concatena con l’armatura nel riferimento solidale con il rotore si può calcolare come:
Lm
r r
m,a μ
Φ i (26)
in cui Lm è l’induttanza di mutua al traferro:
20 0 , ,
3
m a p d a
L DL N
(27)
Dalla (16), si ottiene il componente simmetrico del flusso di mutua riferito al riferimento solidale con lo statore:
ejp
r
m,a m,a
Φ Φ (28)
ovvero:
jp
ˆ
1
jpm m
L e L e
r r r '
m,a μ a a e
Φ i i i i (29)
Sostituendo nella precedente relazione i(r)a iaejp, si perviene alla seguente:
jp ˆ jp 1
jp
ˆ j p2
1
' jp
m m e
L e e e L e i e
'
m,a a a e a a
Φ i i i i i (30)
In virtù della solenoidalità del campo di induzione magnetica e tenendo in contro che, sulla base delle assunzioni fatte, tutte le linee di induzione al traferro vanno dalle scarpe polari allo statore (ovvero i
gambi polari sono tubi di flusso ideali), il flusso m e, che si concatena con l’avvolgimento di eccitazione si può calcolare eseguendo l’integrale superficiale del campo di induzione magnetica rispetto alla superficie semicilindricaS,echa ha come altezza L e come base la semicirconferenza di raggio D 2, delimitata dalle ascisse curvilinee m,1 2, m, 2 2. Ricordando che l’avvolgimento di eccitazione è costituito da Ne p, spire in serie, si ha:
,
2
, ,
2
d d
2
e
m e e p m m
S
B S DLN B
(31)Eseguendo l’integrale, si ottiene:
2 2
0 0 , , 0 0 , ,
2 2
3 3
d Re j md Re 2
m m a p d a m a p d a
B N e N
iμr
iμr (32)ovvero:
,
, 0 0 , , ,
, ,
3 Re e p Re
m e a p d a e p m
a p d a
N N N L
N
iμr iμr (33)
6. Equazioni di equilibrio elettrico ai valori istantanei
Le equazioni di equilibrio elettrico dei circuiti di armatura e di eccitazione nei rispettivi riferimenti si scrivono:
,
, ,
d d
d d
d d
d d
a a
e e e e e m e
R L
t t
v R i L i
t t
a a a m,a
v i i Φ
(34)
in cui Ra (Re) e L,a (L,e) sono la resistenza e l’induttanza di dispersione dell’avvolgimento di armatura (eccitazione).
E’ conveniente riportate in ampiezza all’avvolgimento di armatura tutte le quantità relative all’avvolgimento di eccitazione. Sostituendo nella seconda delle (34) l’espressione (33) di m e, , l’equazione di equilibrio elettrico dell’avvolgimento di eccitazione diviene:
, ,
, ,
d d
d d Re
e p
e e e e e m
d a e p
v R i L i N L
t N t
iμr (35)
che, ricordando l’espressione (22) di ie', si modifica nella seguente:
, , ' , , ' ,
,
, , , ,
2 2
, , , , ' , , '
,
, , ,
' ' ' ' '
,
3 3 d d
2 2 d d Re
3 3 d d
2 2 d d Re
d d
2 Re
d d
a p d a a p d a e p
e e e e e m
e p e p a p d a
a p d a a p d a a p d a
e e e e e m
e p e p e p
e e e e e m
N N N
v R i L i L
N N t N t
N N N
v R i L i L
N N N t t
v R i L i L
t t
r μ
r μ
r μ
i
i
i
(36)
in cui è stato posto:
2 2
, , , , , ,
' ' '
, ,
, , ,
3 3
2 , ,
2 2
a p d a a p d a a p d a
e e e e d e d e
e p e p e p
N N N
v v R R L L
N N N
(37)
Le (34) divengono quindi:
