Appendice D Espressione analitica della forza magnetica

Appendice D Espressione analitica della forza magnetica

APPENDICE D: ESPRESSIONE ANALITICA DELLA FORZA MAGNETICA

L’espressione dell’energia associata al campo magnetico è data da (1.33):

( ) _∑ ( )

=

+ +

+ + +

=

⁴

1

0

1 2

1 2

j

dj u s j

s l r l r

fld

Ni

W _F ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (D.1)

Il calcolo della forza magnetica con l’espressione:

( )

s s fld

m

x

x i F W

∂

= ∂ ,

(D.2)

risulta essere il seguente:

( )

⁴

0

1

1 1

2F

r l

r l d d u

m j

2

j

s s

F N i

x x

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

=

∂ + + + ∂

= +

∂ ∑ ∂ ^(D.3)

Inserendo a questo punto le espressioni dei flussi magnetici ottenute in appendice C nella (D.3) si ottiene:

(

0 0 0 0

)

0

(

1 1 1 1

)

⁴

1 0

4

0 0 1 4

1

1

1 2

1 2

F F

F

j j m

s

j j

j s j

h l m n h l m n N i

F x

g g N i

N i

x

=

=

=

⎛ ⎞

∂ ⎜ + + + + + + + ⎟

⎝ ⎠

= +

∂

⎛ ⎞

∂ ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

+ ∂

∑

∑ ∑

(D.4)

D-1

Appendice D Espressione analitica della forza magnetica

Portando fuori dall’operazione di derivata le costanti rispetto a x

s

, si ha:

(

0 0 0 0

) (

1 1 1 1

)

⁴

2

0 0

1

4 4 2

0 2 1

0

1 1

1 1

2 2

1 1

2 2

F F

F

m j

s s j

j j

j j

s s

h l m n h l m n

F N

x x

g g

N i N i

x x

=

= =

∂ + + + ∂ + + +

= + i +

∂ ∂

⎛ ⎞

∂ ∂

+ ∂ + ∂ ⎝ ⎜ ⎟ ⎠

∑

∑ ∑

(D.5)

Riscrivendo l’equazione (D.5) nella forma presentata nel testo si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )

4 4 2

0 1 2

1 1

,

m s s s j s j

j j

F x i f x f x i f x i

= =

⎛ ⎞

= + + ⎜

⎝ ⎠ ⎟

∑ ∑ ^(D.6)

con

( )

2

(

0 0 0 0

)

0

1

0

2F

s

s

h l m n

f x

x

∂ + + +

= ∂ (D.7)

( ) (

1 1 1 1 0

)

1

1

0

2 F

s

s

h l m n g

f x N

x

∂ + + + +

= ∂ (D.8)

( )

^{2 1}

2

1

2

s

s

f x N g x

= ∂

∂ (D.9)

Sostituendo infine le espressioni da (C.16) a (C.23) in (D.7), (D.8) e (D.9) si ha:

D-2

Appendice D Espressione analitica della forza magnetica

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2

0 0

2

2

2

F

^{z m v z v m r l}

s

s

m r l v z z v r l

s

v z m r l z r l v

s

f x

x

x

x

⎡ ∂ ⎛ ℜ ℜ ℜ + ℜ ℜ + ℜ ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ℜ + ℜ ⎞

⎢

= ⎜ ⎟ +

⎜ ⎟

∂ ∆

⎢ ⎝ ⎠

⎣

⎛ ℜ ⎡ ℜ ℜ ℜ + ℜ + ℜ ℜ ℜ + ℜ ⎤ ⎞

∂ ⎣ ⎦

+ ∂ ⎜ ⎜ ⎝ ∆ ⎟ ⎟ ⎠ +

⎛ ℜ ℜ + ℜ ℜ + ℜ + ℜ ℜ ℜ ℜ ⎞ ⎤

+ ∂ ∂ ⎜ ⎝ ∆ ⎟ ⎠⎦ ⎥ ⎥

(D.10)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) }

1 0

2 2

1 2 1

F

^{r l}

s m z v m

s

z m v v m z z m

f x N

x

⎧ ℜ − ℜ

= ∂ ∂ ⎨ ⎩ ∆ ⎡ℜ ℜ ℜ ℜ + ⎣

ℜ ℜ + ℜ +ℜ ℜ + ℜ − ℜ ℜ ⎦ ⎤ ℜ + +

z

(D.11)

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

2 2 2

2

2

2 2

1 2

2

2

m r l v z r l v z

s

s

z m v r l r l v

z m v r l r l v m v

f x N

x

⎧ ℜ ⎡ ℜ + ℜ ℜ + ℜ + ℜ ℜ + ℜ + ℜ ⎤

∂ ⎪ ⎣ ⎦

= ∂ ⎨ ⎪⎩ ∆ +

⎡ ⎤

ℜ ℜ ℜ ℜ + ℜ + ℜ ℜ + ℜ ⎣ ⎦

+ +

∆

⎡ ⎤ ⎫

ℜ ⎣ ℜ + ℜ ℜ + ℜ + ℜ ℜ + ℜ + ℜ ℜ ⎪ ⎦

+ ∆ ⎬ ⎪⎭

(D.12)

D-3