Progetto Lauree Scientifiche 2010/11 Laboratorio di Sistemi Dinamici Discreti (SDD)
Coordinatori: Stefano Panizzi, Maria Groppi Dipartimento di Matematica
Università di Parma
Programma del Laboratorio
1) Modello a crescita geometrica: xk+1 = Axk
• Problemi (con EXCEL): Vedi LAB 1
• Discussione del comportamento della successione al variare del parametro A;
• Soluzione in forma chiusa: xk= Akx0;
2) Modello lineare affine: xk+1 = Axk+ B
• Problemi (con EXCEL): Vedi LAB 2
• Confronto dei modelli (geometrico e a risorse limitate) con dati reali di crescita di popolazioni;
• Metodo grafico per il SDD xk+1= Axk+ B:
Introduzione al concetto di punto di equilibrio; come punto iniziale della successione: come eventuale attrattore; come punto di intersezione nel grafico; come punto fisso.
Stabilitá/instabilitá indipendentemente dai dati iniziali a se- conda del valore di A, con Excel o carta e penna, periodicitá per A = −1;
Propagazione degli errori di approssimazione in Aritmetica Finita: esempi Impedovo con richiami a Lorenz (effetto far- falla).
• Soluzione in forma chiusa: come somma della progressione geome- trica oppure riportandosi con cambio di variabile al caso yk+1 = Ayk (yk = xk− B/(1 − A));
• Applicazione del metodo ai problemi visti in LAB2.
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3) Introduzione al Modello Logistico (Salinelli - Tomarelli pag. 8,9; San- defur pag 124, 125):
an+1− an = ran(1 − an) (1)
• Applicazione a problemi concreti (crescita di popolazioni); solu- zione non esprimibile in forma chiusa; confronto con il modello malthusiano;
• Eventuale aggancio con equazione differenziale logistica;
• Punti di equilibrio per la logistica (nella forma (??) sono 0, 1);
• Applicazione del metodo grafico e sperimentazione al calcolatore con grafico delle successioni ottenute per diversi valori del para- metro;
• Conclusioni e confronto con i risultati ottenuti con il modello malthusiano;
• Giustificazione matematica del metodo grafico: Teorema del valor medio e Teorema delle contrazioni (Sandefur pag. 130, 131)
• Equazione normalizzata xk+1 = µxk(1 − xk) nell’intervallo [0, 1] e quindi con µ ≤ 4. Si pone xn= r/(r + 1)an da cui µ = 1 + r.
4) Calibrazione per modelli di crescita di una popolazione (Capitolo 4 di Console - Roggero).
Ricerca di una curva che approssima i dati sperimentali. A partire da dati sperimentali individuare la curva soluzione di modelli che meglio approssima i dati e stimare i parametri in gioco. Retta di regressione, scala logaritmica.
5) Strategie di controllo di una popolazione (Sandefur Cap. 3, pag. 133 - 142).
Controllo mediante abbattimento di una percentuale fissa oppure di una percentuale della popolazione attuale. Studio qualitativo, stabilità dei punti fissi, individuazione delle strategie sostenibili. Confronto delle strategie.
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6) Biforcazioni del Modello Logistico xk+1 = µxk(1 − xk), per 0 < µ ≤ 4:
raddoppio del periodo e transizione al caos.
• Discussione con diversi valori del dato iniziale e del parametro con µ < 3: µ < 1 convergenza esponenziale a 0; µ = 1 convergenza lenta a 0; µ < 3 convergenza esponenziale al punto fisso 6= 0; µ = 2 convergenza super esponenziale (si analizza il rapporto (xk+1 − x∗)/(xk− x∗) dove x∗ è il punto fisso).
• Definizione di 2-ciclo e punti fissi di f ◦ f ( esercizio 6 pag. 172 Sandefur) ; conto un po’ lungo: verificare che per µ > 3 si hanno 2-cicli nel modello logistico normalizzato, grafico di f ◦ f ;
• µ > 3: Stabilita’ di 2-cicli, esempio µ = 1 + r = 3.2.
• Biforcazioni con raddoppiamento del periodo; k-cicli, esempio 4- ciclo µ = 3.5, 8-ciclo µ = 3.55, 16-ciclo µ = 3.568, caos per µ = 3.6; nascita di un’orbita di periodo 3, µ = 3.84, per altri valori consultare Impedovo pag. 39.
7) Problemi a scelta libera: Sistema preda-predatore, catene di Markov, gioco di Collatz, numeri di Fibonacci, algoritmo di Erone. Per i primi tre seguire Impedovo; per gli altri due argomenti vedere schede fornite alla fine file LAB3.
8) Studio della logistica per µ = 4 e fenomenologia del caos (vedere nuova scheda).
Con una semplice trasformazione si vede come il SSD xk+1 = 4xk(1 − xk) sia equivalente a quello generato dalla mappa a tenda T : [0, 1] → [0, 1]
T (x) = 2x 0 ≤ x ≤ 12, 2(1 − x) 12 < x ≤ 1
Studio delle iterate Tk = T ◦ T ◦ ... ◦ T della funzione T : il grafico è fatto da 2k−1 triangoli di altezza 1 e base 2−(k−1); i punti fissi di Tk sono pertanto in numero di 2k. Conseguenze: esistenza di un 2-ciclo, di due 3-cicli, tre 4-cicli, sei 5-cicli ecc. Si osservano i seguenti fenomeni, comuni a tutti i sistemi caotici:
1) Le orbite periodiche sono infinite e tendono a riempire tutto l’intervallo [0, 1] (sono dense).
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2) Sensibilità rispetto ai dati iniziali: per prevedere l’andamento dopo n passi, occorre conoscere il dato iniziale con una precisione superiore a 2−n (qui si possono fare interessanti collegamenti con il concetto filosofico del DETERMINISMO).
3) Transitività: presi comunque due punti, c’è un’orbita che li collega (in senso approssimato)
9) Frattali.
Triangolo di Sierpinski; iterazione di mappe bidimensionali: insiemi di Mandelbrot (seguire Impedovo);
10) Caos e Frattali: diagramma di biforcazione della logistica con simula- zioni Matlab al Dipartimento
Riferimenti bibliografici
1. Giovanni Prodi, Istituzioni di Matematica, Cap. 8, McGraw-Hil, 1994
2. E. Salinelli & F. Tomarelli, Modelli dinamici discreti, Springer Italia, 2009
3. James T. Sandefur, Discrete Dynamical Sytems, Oxford Univ. Press, 1990
4. Michele Impedovo, Sistemi dinamici discreti, Appunti on-line:
http://www.matematica.it/impedovo/articoli.htm
5. P. Brandi, A. Salvadori, Appunti on-line
LINK http://matematica-old.unibocconi.it/brandi/modelli2.htm 6. S. Console - M. Roggero, Modelli Matematici applicati all’Ecologia
(dispense on-line Università di Torino)
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