SDD: LABORATORIO 1

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SDD: LABORATORIO 1

Giovedì 27 gennaio 2011

Ore 14.30-16.30 presso il Dipartimento di Matematica

TEORIA

SISTEMI DINAMICI DISCRETI

Per sistema dinamico discreto (SDD) si intende l’insieme di una o più variabili (un sistema) che evolvono (un sistema dinamico) a passi costanti della variabile tempo (un sistema dinamico discreto).

Un SDD del primo ordine descrive l’evoluzione di una grandezza attraverso una legge del tipo chiamata equazione alle differenze dove:

• 0, 1, 2, …

• è una successione definita in modo ricorsivo mediante la funzione . Per esempio, l’equazione alle differenze del primo ordine

fornisce il classico algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata di : definisce infatti una successione che converge (rapidamente) a .

Una soluzione di un’equazione alle differenze è una successione che soddisfa l’equazione data.

In generale le soluzioni di un’equazione alle differenze sono infinite: ciascuna caratterizzata dalle condizioni iniziali.

SDD lineari

Un SDD lineare è caratterizzato da un’equazione del tipo

con . Si ricava facilmente, dalla legge ricorsiva, la legge generale:

.

Al variare di possiamo riassumere le diverse caratteristiche della successione:

• Se allora tende a 0; per qualunque condizione iniziale la successione tende a 0, tanto più rapidamente quanto più è vicino a 0.

• Se allora è una successione esponenziale crescente.

• Se allora è una successione irregolare, a segni alterni, che diverge in modulo.

• I casi e non sono interessanti.

Se si applica la legge ricorsiva alle dinamiche di popolazioni (uomini, animali, vegetali, batteri, …) si ottiene il cosiddetto modello di Malthus (Thomas Malthus, 1766-1834): una

popolazione inizialmente di entità è soggetta ad un tasso di natalità (percentuale di nuovi nati, per esempio ogni anno, sul totale della popolazione) e ad un tasso di mortalità (percentuale di morti ogni anno , sul totale della popolazione). Se non ci sono immigrazioni né emigrazioni l’evoluzione nel tempo del numero di individui sarà del tipo

cioè , con .

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SDD: LABORATORIO 2

Martedì 8 febbraio 2011

Ore 14.00-16.00 presso il Liceo Scientifico Marconi

TEORIA

SDD lineari affini

Un SDD lineare affine è caratterizzato da un’equazione del tipo

con .

Se la successione costante di valore è soluzione dell’equazione alle differenze , allora viene chiamato punto di equilibrio (o equilibrio) del sistema.

In generale per i SDD lineari se tra le infinite soluzioni esiste una ed una sola successione costante.

L’equazione diventa la cui soluzione è .

Se si parte da il sistema dinamico… non è dinamico, è stazionario.

Quindi l’equilibrio di un SDD lineare affine

è, con , .

Se invece allora il sistema diventa

È immediato osservare che non ci sono equilibri: il sistema evolve linearmente verso se , verso se .

Dall’equazione ricorsiva , con , si estrae l’equazione generale

o anche, posto , .

Possiamo riassumere le diverse caratteristiche della successione.

• Se allora la soluzione è la successione costante di valore .

• Se allora tende a 0 e il sistema converge ad per qualunque condizione iniziale . In questo caso si dice che è un equilibrio stabile (oppure che è un attrattore).

Anzi, in questo caso è un attrattore globale, nel senso che qualunque sia il punto di partenza del sistema, il sistema evolve convergendo ad .

• Se allora il sistema diverge esponenzialmente. In questo caso l’equilibrio è instabile; se si parte da il sistema resta fermo, ma la più piccola perturbazione sulla condizione iniziale produce una catastrofe: il sistema si allontana indefinitamente dall’equilibrio.

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SDD: LABORATORIO 4

TEORIA

Il modello logistico

Il modello malthusiano è allora da scartare completamente? Non del tutto. Infatti nel breve periodo fornisce una buona stima della crescita di una popolazione. Durante tale fase la popolazione sembra crescere in maniera esponenziale ed il rapporto di crescita [A(n+1)-A(n)]/A(n) è in buona approssimazione costante. Nel lungo periodo però questo rapporto non si mantiene costante ma cambia al variare di An. Dobbiamo allora sostituire alla costante r (vedi esercizio 1 Laboratorio 3), una funzione f(An), che rappresenti il rapporto di crescita della popolazione

Per formulare un modello matematico bisogna fare alcune ipotesi. Innanzitutto l’ambiente in cui vive la popolazione deve garantire la sussistenza di un numero massimo di individui L. Inoltre

(1) Se A(n) > L non ci sono abbastanza risorse disponibili (cibo o spazio) ed il numero di morti supera quello dei nati. Ne consegue che l’indice di crescita è negativo.

(2) Se A(n) è minore di L, allora c’è cibo in abbondanza e spazio disponibili e la popolazione aumenta così l’indice di crescita è positivo.

(3) Se il numero della popolazione è piccolo in rapporto al limite L, cioè, c’è abbondanza di cibo e spazio per la popolazione esistente, allora il rapporto di crescita è prossimo al parametro r di crescita illimitata. Ma poiché la popolazione aumenta, l’indice di crescita dovrebbe diminuire e dovrebbe, infatti, valere zero quando A(n) = L

Riassumendo in simboli:

Ovviamente le condizioni (1), (2), (3) non individuano un’unica funzione. La più semplice funzione che soddisfa queste condizioni è la funzione lineare

(1) (A(n) >L)  ( f(A(n)) < 0) (2) (A(n) <L)  (f(A(n)) > 0) (3) (A(n) <<L)  (f(A(n))  r)

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Nota bene:

• Se A(n) è piccolo tende a 1 e il tasso di crescita f(A(n)) è prossimo a r

• Se A(n) < L allora >0 e il tasso di crescita f(A(n))>0

• Se A(n) = L allora f(A(n))…..

• Se A(n) > L allora …… e f(A(n))…. Infatti più è grande A(n) più è piccolo e minore di zero il tasso di crescita.

Il numero r è detto tasso di crescita senza restrizioni (illimitato) e la quantità L è chiamata totale sostenibile.

Perciò il sistema dinamico che rappresenta la crescita della popolazione diventa

Dopo varie semplificazioni e ponendo b = r/L si ricava

Equazione logistica

-bA²(n) termine di smorzamento perché abbatte la crescita della popolazione ossia le

impedisce di andare all’infinito

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SDD: LABORATORI 6 e 7

Martedì 22 marzo 2011 e mercoledì 6 aprile 2011 Ore 14.00-16.00 presso il Liceo Scientifico Marconi

TEORIA

Biforcazioni del modello logistico

L’equazione

,

al variare del parametro nell’intervallo , rappresenta un fascio di parabole.

Esse hanno:

• la concavità rivolta verso il basso;

• due punti di intersezione con l’asse delle ascisse, l’origine del sistema di riferimento e il punto ;

• il vertice di ascissa ;

• il vertice sulla retta di equazione , asse di simmetria delle parabole, con ordinata .

Il sistema

ammette almeno la soluzione , cioè le due curve rappresentate dalle equazioni e hanno almeno un punto di intersezione nell’origine del sistema di riferimento.

Inoltre:

• se , la retta e la parabola hanno un’ulteriore intersezione di ascissa negativa;

• se , la retta è tangente alla parabola nell’origine del sistema di riferimento;

• se , la retta e la parabola hanno un’ulteriore intersezione nel punto di ascissa e ivi la tangente alla parabola ha coefficiente angolare con ;

• se , la retta e la parabola hanno un’ulteriore intersezione nel punto di ascissa e ivi la tangente alla parabola ha coefficiente angolare ;

• se , allora la retta e la parabola hanno un’ulteriore intersezione nel punto di ascissa e ivi la tangente alla parabola ha coefficiente angolare con .

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SDD: LABORATORI 6 e 7

Martedì 22 marzo 2011 e mercoledì 6 aprile 2011 Ore 14.00-16.00 presso il Liceo Scientifico Marconi

TEORIA

Sistema dinamico discreto, punti di equilibrio, orbita, ciclo

Un po’ di nomenclatura e interessanti osservazioni.

Definizione 1:

Siano

 I un intervallo contenuto in R contenente almeno due punti distinti

 una funzione continua.

La coppia viene detta sistema dinamico discreto (s.d.d) su I, del primo ordine, autonomo Osservazione:

Si noti che, assegnati un s.d.d ed un valore iniziale , è univocamente determinata una successione definita per ricorrenza

Per cui risulta

….=…

Per denotare la iterata k-esima di f adotteremo la seguente notazione

Dunque

Definizione 2:

Assegnati un s.d.d. ed un valore , la successione

Si dice traiettoria (o orbita), indicata con , del s.d.d. corrispondente al valore iniziale x0.

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Definizione 3:

L’insieme di tutte le orbite o traiettorie di un s.d.d. al variare di si dice quadro delle fasi (o quadro delle traiettorie).

E’ spesso utile una visualizzazione grafica del quadro delle fasi, in cui si evidenziano mediante frecce i successivi cambi di posizione dovuti all’iterazione della funzione che governa il s.d.d..

Definizione 4:

Dato un s.d.d. , e un numero si dice equilibrio (o punto fisso o punto stazionario) per il s.d.d. se vale

Se si sceglie un dato iniziale che è di equilibrio, allora l’orbita corrispondente si dice orbita stazionaria:

Più in generale, se per un certo esiste un k tale

Allora la traiettoria è definitivamente stazionaria:

Come sappiamo, per un sistema dinamico discreto i punti di equilibrio si determinano intersecando la funzione y = f(x) con la bisettrice del primo e terzo quadrante del piano cartesiano y = x, e quindi risolvendo l’equazione

I punti di equilibrio possono essere:

• uno,

• nessuno,

• infiniti.

Esempi:

Introduciamo ora delle nozioni che serviranno per la discussione sulla stabilità nei punti di

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equilibrio dei sistemi dinamici.

Una successione è un insieme numerabile di numeri reali, rappresentativi di punti nello spazio delle fasi. Ciò che spesso interessa è il comportamento asintotico di tale insieme, ossia il comportamento del termine generale al crescere del numero n.

La successione {xn} è convergente a un punto, se per n via via più grande, il termine xn si avvicina sempre di più, o tende asintoticamente al valore di equilibrio xe:

Una traiettoria è divergente se , per n → ∞, il termine xn tende asintoticamente all’infinito.

Per una successione divergente:

Tornando ai punti fissi del sistema, questi sono i valori che caratterizzano uno stato del sistema, nel quale esso permane, nonostante l’applicazione ripetuta della ƒ.

Nel caso in cui consideriamo una c.i. x0 vicina a xe potrà accadere che la successione :

• rimanga in prossimità del valore xe senza convergere a tale valore né allontanarvisi, il punto fisso allora è asintoticamente stabile: esiste un intorno di xe tale che, partendo da un punto di tale intorno e iterando la funzione, le traiettorie restano vicine a xe;

• converga a xe , in questo caso diremo che il punto fisso xe rappresenta un punto fisso semplicemente stabile (o attrattivo): oltre a essere stabile le traiettorie convergono a xe.

• si allontani senza più tornare in xe e quindi diremo che è un punto fisso instabile instabile (o repulsivo): scegliendo qualsiasi c.i. x0 in un intorno di xe , le traiettorie si allontanano da xe, come se questo punto le respingesse.

Esempio:

Avendo una pallina posta su una superficie liscia che presenti montuosità e avvallamenti, un punto fisso rappresenta una posizione in cui la pallina rimane ferma. Questo può avvenire quando si trova in fondo a un avvallamento o quando sia posta sull’apice di una convessità, o quando si trovi in un tratto pianeggiante. Un piccolo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio può essere pensato come l’effetto di perturbazioni esterne, come ad esempio una piccola vibrazione.

L’equilibrio della pallina è semplicemente stabile quando si trova in una depressione della superficie, instabile quando si trova in cima a una convessità e asintoticamente stabile quando si trova su un tratto pianeggiante. Infatti, nel primo caso una piccola perturbazione viene riassorbita dal sistema : la posizione della pallina, con il passare del tempo, si riavvicina sempre più a quella iniziale di equilibrio. Nel secondo caso invece, una piccola perturbazione, viene amplificata e lo stato del sistema non torna più all’equilibrio originario. Nel terzo caso la pallina si trova ferma nella posizione di equilibrio e vi rimane.

Osservazione:

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Se α è un equilibrio per il s.d.d. allora α è un equilibrio anche per il s.d.d. per ogni k appartenente ad N.

Definizione 5:

Sia un sistema s.d.d.. Un ciclo di ordine s (o orbita periodica di (minimo) periodo s, o s ciclo) è un insieme di s valori in I, diversi tra loro e verificanti

Osservazione:

Se è come nella definizione 5, allora la traiettoria ha andamento s periodico:

Le eventuali orbite periodiche di periodo s di un s.d.d. si determinano come le traiettorie i cui valori appartengono all’insieme delle soluzioni dell’equazione

privato delle soluzioni di tutte le s-1 equazioni

Cosa succede nel modello logistico?

Il sistema s.d.d presenta due equilibri ed un solo 2 ciclo che si ottiene risolvendo l’equazione

, con ,

ed eliminando i punti di equilibrio.

E’ un’equazione di quarto grado che ammette due soluzioni per e quattro soluzioni per .

La risoluzione dell’equazione non è immediata; tuttavia si possono raccogliere i termini e riducendola ad un’equazione di secondo grado. Questo è un fatto generale, perché se allora per ogni k naturale.

Esse sono:

• e , già soluzioni dell’equazione ;

• .

In particolare se le soluzioni e coincidono con . Invece se le soluzioni e sono distinte.

Si può vedere che nel caso particolare le soluzioni e , sono proprio i due valori a cui tende la successione dopo la biforcazione.

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SDD: LABORATORIO 1

Giovedì 27 gennaio 2011

PROBLEMI

1. Supponiamo che una popolazione di cinghiali si incrementi ogni anno di una percentuale pari al 10% degli individui presenti su un certo territorio. Se è il numero di cinghiali nel 2010, quale sarà il numero di cinghiali dopo 1, 2, 3, 4 anni? In generale, quale sarà il numero

dopo anni? Quanti anni occorrono affinché il numero di cinghiali sia raddoppiato?

2. Un fascio di luce diminuisce la propria intensità del 5% ogni volta che attraversa una lastra di vetro spessa 1 cm. Se è l’intensità iniziale, quale è l’intensità del fascio dopo aver

attraversato lastre? Quante lastre occorrono per dimezzare l’intensità del fascio?

3. Lo iodio ¹³¹ ha tempo di emivita di 8 giorni(l’attività radioattiva si dimezza in 8 giorni). Quanto tempo occorre affinché l’attività radioattiva sia ridotta del 70%?

4. Una popolazione di particelle decade in modo tale che in un secolo si riduce del 20%.

Trovare la legge di decadimento, il tempo di emivita e la vita media delle particelle.

5. (Interesse semplice) Un’obbligazione del valore nominale di 200 Euro frutta una cedola a tasso fisso annuo del 2% calcolato sul valore nominale. Quanto sarà il capitale accumulato dopo anni?

6. (Interesse composto) Un fondo pensioni assicura un rendimento fisso annuo del 3% calcolato sul capitale accantonato con calcolo annuale degli interessi. Se inizialmente si investono 10000 Euro, quanto sarà il valore del fondo dopo 20 anni?

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SDD: LABORATORIO 2

Modello di decadimento radioattivo

Consideriamo una popolazione di particelle che decadono secondo la legge seguente: in ogni intervallo unitario si riducono a volte il numero precedente.

Se indica il numero di particelle dopo intervalli di tempo, risulta

o anche .

Poniamoci la seguente domanda: qual è la vita media di tali particelle?

Il numero , cioè la media delle vite di tutte le particelle, è rappresentato dalla seguente uguaglianza:

da cui

.

La quantità è la somma di una serie geometrica, quindi calcolabile come , dove è la somma dei primi termini.

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SDD: LABORATORIO 2

PROBLEMI

1. In un piccolo paese del Parmense di 1000 abitanti, il tasso di mortalità annuo è del 20%;

fortunatamente ogni anno nascono 100 bambini. Qual è nel tempo l’evoluzione della popolazione? Si estingue, aumenta a dismisura, si stabilizza?

2. Discutere l’evoluzione della popolazione nel caso in cui sia la popolazione iniziale, il tasso di mortalità e si supponga che nascano bambini ogni anno.

3. Riprendiamo il problema 1. del LABORATORIO 1. La popolazione di cinghiali cresce troppo rapidamente. La comunità locale decide dunque di abbattere un certo numero di capi ogni anno. Calcolare il numero di cinghiali dopo anni. Come deve essere preso affinché la popolazione non superi le 300 unità nel 2020.

4. Un pigro quarantenne di nome Oblomov decide di vivere di rendita. Dispone di un capitale di 100000 Euro che produce ogni mese interessi pari al 1%; per vivere stima di avere bisogno di 1000 Euro al mese. Ce la farà?

5. (Accrescimento con risorse limitate) La crescita geometrica o Malthusiana di una popolazione presuppone la disponibilità di una certa quantità illimitata di risorse. È più ragionevole pensare che le risorse disponibili si esauriscano quando la popolazione raggiunge una quota massima . Supponendo che l’incremento annuale di una popolazione sia proporzionale del fattore al numero di posti disponibili, formulare la legge di accrescimento della popolazione.

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SDD: LABORATORIO 3

Mercoledì 16 febbraio 2011

Il diagramma di fase

Esiste un altro modo per esplorare un SDD e per capirne la struttura: tracciare il diagramma di fase.

Consideriamo il SDD relativo all’esercizio 1. del laboratorio precedente definito dall’equazione .

Sappiamo che l’equilibrio del sistema si trova risolvendo l’equazione ,

che è l’equazione risultante del sistema

.

Tracciamo quindi sullo stesso piano cartesiano i grafici della funzione lineare e della funzione identica .

L’equilibrio è l’ascissa del punto di intersezione tra le rette.

Poiché , se da un punto qualsiasi sull’asse delle ascisse saliamo in verticale fino al grafico della funzione , troviamo il punto di coordinate cioè il punto . Se ora dal punto ci muoviamo prima in orizzontale fino alla retta e poi in verticale fino alla funzione troviamo dapprima il punto e poi il punto . Di nuovo ci muoviamo in orizzontale fino a e in verticale fino a trovando il punto e poi il punto . Se proseguiamo indefinitamente costruiamo una ragnatela e osserviamo che il sistema non può che convergere a 500.

Esercizio 1.

Costruire i diagrammi di fase dei SDD definiti dalle seguenti equazioni, dopo averne determinato l’equilibrio:

Discutere in che modo il fatto che la ragnatela converga all’equilibrio dipenda dalla pendenza della retta che interseca la retta .

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L’esplorazione degli errori e l’effetto farfalla

«

Si dice che il minimo battito d’ali di una farfalla sia in grado di provocare un uragano dall’altra parte del mondo

»

(The Butterfly Effect, 2004)

Esercizio 2.

Considerare l’equazione alle differenze di equilibrio 1/3.

Calcolare con Excel i primi 40 termini della successione.

Cosa succede se scegliamo come valore iniziale proprio 1/3?

Come interpretare tale risultato?

Esiste un curioso aneddoto che appartiene alla storia dei SDD. Nel 1960 il meteorologo Edward Lorenz riuscì a costruire un modello ridotto (solo 12 variabili) per le previsioni del tempo, mediante un sistema dinamico discreto; utilizzando un computer poteva simulare numericamente l’evoluzione del tempo impostando i 12 valori di partenza delle sue variabili. Un giorno scoprì che le stesse condizioni iniziali, con le stesse leggi ricorsive, generavano evoluzioni completamente diverse! Era successo che al termine della giornata di lavoro il calcolatore aveva calcolato un migliaio di interazioni delle variabili e Lorenz aveva ricopiato su un pezzo di carta i 12 valori della 500-esima iterazione; la mattina successiva, per non ricominciare tutto da capo, Lorenz aveva introdotto nel calcolatore, come valori iniziali, i numeri che aveva ricopiato il giorno prima. Si aspettava così di osservare di nuovo la seconda metà del processo già svolto. Sorpresa: l’evoluzione era completamente differente! I numeri che aveva ricopiato non erano gli stessi che il calcolatore aveva in memoria: la differenza, inizialmente piccolissima, dava luogo a errori via via maggiori e a evoluzioni completamente differenti. Questa è una caratteristica centrale dei SDD.

Dal modello di Malthus alla … crescita logistica

Esercizio 3. Considera il seguente modello di crescita di una popolazione:

Considera una popolazione di conigli. Per semplicità, ipotizza che in media ogni coniglio partorisca due conigli in una unità di tempo e che nessun coniglio muoia.

Modelli di Malthus

1) Il modello più semplice per risolvere questo problema è quello di considerare la variazione nel conto della popolazione di conigli in un periodo di tempo. Sia A(0)=a0 il numero di conigli al tempo t=0 (il tempo in cui iniziamo la nostra osservazione). Allora A(1)-A(0) rappresenta la variazione della popolazione nella prima unità di tempo..

Completa le seguenti uguaglianze:

A(1) - A(0 )= ………

A(2) - A(1) = ………

… Perciò

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A(n+1) - A(n) = …...

La soluzione (A(n) in funzione di A(0)=a0) è perciò:

A(n) = ……….

2) Ora però vogliamo rendere questo modello più realistico. Ipotizziamo che il numero delle nascite nel periodo di tempo n sia proporzionale alla entità della popolazione in quel periodo di tempo, cioè, il numero delle nascite sia uguale a bA(n), dove b rappresenta l’indice di natalità. Allo stesso modo, il numero di morti nel periodo di tempo n sia uguale a dA(n).

La variazione della popolazione in un periodo di tempo è uguale al numero di nati meno quello dei morti. Perciò:

A(n-+1) - A(n )= ……….

E se r = b-d rappresenta l’indice di crescita della popolazione

A(n-+1) - A(n )= ……….

La soluzione (A(n) in funzione di A(0)=a0) è perciò:

A(n) = ……….

Considera come indice di crescita un valore ragionevole, per esempio r = 0.2, e a0 = 100. Allora ottieni

A(10) = … A(20) = ….

A(50) = ……

A(100) = ……….

Osserviamo che mentre il nostro modello può avere un senso, la misura della popolazione diventa grande in modo non realistico dopo un lungo periodo di tempo (A(k) tende a infinito in modo esponenziale). Questa è la teoria di Malthus in cui le popolazioni crescono in modo esponenziale e perciò egli predisse una catastrofe mondiale che non è ancora accaduta.

Questo significa che il nostro modello è sbagliato?

Si e no. Dipende da quale informazione vogliamo dal modello. Per piccoli valori di tempo questo modello dà una buona stima della crescita della popolazione. Per periodi brevi di tempo, la popolazione sembra crescere esponenzialmente e gli indici di crescita sono approssimativamente costanti. Una delle cose che non funziona è che per lunghi periodi tempo l’indice di crescita r non è costante ma cambia allo stesso modo in cui cambia l’entità della popolazione. Così dobbiamo sostituire il parametro r nel nostro sistema dinamico con f(A(n)), dove f è una funzione che descrive l’entità della popolazione. In altre parole, il nostro indice di crescita f(A(n)) varia allo stesso modo in cui varia l’entità della popolazione.

Nel prossimo laboratorio si analizzerà questo nuovo modello di crescita: crescita logistica

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SDD: LABORATORIO 4

Dal modello di Malthus alla … crescita logistica (continuazione)

Il modello malthusiano è allora da scartare completamente? Non del tutto. Infatti nel breve periodo fornisce una buona stima della crescita di una popolazione. Durante tale fase la popolazione sembra crescere in maniera esponenziale ed il rapporto di crescita [A(n+1)-A(n)]/A(n) è in buona approssimazione costante. Nel lungo periodo però questo rapporto non si mantiene costante ma cambia al variare di An. Dobbiamo allora sostituire alla costante r, una funzione f(An). In riferimento all’esercizio 1 svolto nel Laboratorio 3 utilizzando il modello di Malthus, considereremo lo stesso problema risolto con un altro modello, quello della crescita logistica.

ESERCIZIO 1

Prima di affrontare il modello logistico analizza la seguente tabella e fai le osservazioni che ritieni utile segnalare.

Tabella della dinamica della popolazione USA

Anno Popolazione

effettiva Dati calcolati con la legge malthusiana (k=0.301)

Errore % Errore

T = 0 1790 3.929.000 3.920.000 0 0

T = 1 1800 5.308.000 5.308.000 0 0

T = 2 1810 7.240.000 7.173.000 -67.000 -0.9

T = 3 1820 9.638.000 9.693.000 55.000 0.5

T = 4 1830 12.866.000 13.097.000 231.000 1.8

T = 5 1840 17.069.000 17.697.000 628.000 2.0

T = 6 1850 23.192.000 23.912.000 720.000 2.3

T = 7 1860 31.443.000 32.310.000 867.000 2.8

T = 8 1870 38.558.000 43.658.000 5.100.000 13.2

T = 9 1880 50.156.000 58.991.000 8.835.000 17.6

T = 10 1890 62.948.000 79.709.000 16.761.000 21.0

T = 11 1900 75.995.000 107.704.000 31.702.000 41.7

T = 12 1910 91.972.000 145.530.000 53.558.000 58.2

T = 13 1920 105.711.000 196.642.000 90.931.000 86.0 T = 14 1930 122.775.000 265.705.000 142.930.000 116.4

T = 15 1940 131.669.000 359.002.000 227.333.000 172.6

T = 16 1950 150.697.000 485.114.000 334.417.000 221.9

Dopo il 1860 l’equazione maltusiana non fornisce una previsione accettabile

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Il modello logistico

ESERCIZIO 2

Come abbiamo già detto, dobbiamo sostituire il parametro r ( r = b-d) nel nostro sistema dinamico con f(A(n), dove f è una funzione che descrive la misura della popolazione. In altre parole, il nostro indice di crescita f(A(n)) varia allo stesso modo in cui varia la misura della popolazione.

La funzione f(A(n)) che stiamo cercando deve avere certe caratteristiche. Innanzitutto occorre osservare che l’ambiente della popolazione può solo sostenere un certo numero di specie, sia per esempio L. Inoltre, l’indice di crescita f(A(n)) deve soddisfare tre ipotesi:

(1) Se A(n) > L non ci sarà abbastanza cibo e spazio disponibili e molti animali moriranno (di fame

…) più di quanti ne nascano. Ne consegue che l’indice di crescita è negativo.

(2) La popolazione è minore di L, allora c’è cibo in abbondanza e spazio disponibili, così l’indice di crescita dovrebbe essere positivo.

(3) La popolazione è piccola rispetto a L, cioè, c’è abbondanza di cibo e spazio per la popolazione esistente, allora l’indice di crescita dovrebbe essere prossimo al parametro r di crescita senza restrizioni. Ma poiché la popolazione aumenta, l’indice di crescita dovrebbe diminuire e dovrebbe, infatti, valere zero quando A(n) = L

Riassumendo in simboli:

Prova a individuare una funzione che abbia le caratteristiche sopra descritte

(1) (A(n) >L)  ( f(A(n)) < 0) (2) (A(n) <L)  (f(A(n)) > 0) (3) (A(n) <<L)  (f(A(n))  r)

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ESERCIZIO 3

Considera l’equazione logistica descritta in teoria che rappresenta la crescita della popolazione

Che cosa osservare per L  +∞?

ESERCIZIO 4

Analizzate la seguente tabella e fate le osservazioni che ritenete utile segnalare.

Popolazione degli Usa nel periodo 1790-‐1950 e dati calcolati con la legge di crescita logistica

Anno Popolazione

effettiva Dati calcolati con la crescita

logistica

Errore % Errore

T = 0 1790 3.929.000 3.929.000 0 0

T = 1 1800 5.308.000 5.336.000 28.000 0.5%

T = 2 1810 7.240.000 7.228.000 -12.000 -0.2%

T = 3 1820 9.638.000 9.757.000 119.000 1.2%

T = 4 1830 12.866.000 13.109.000 243.000 1.9%

T = 5 1840 17.069.000 17.506.000 437.000 2.6%

T = 6 1850 23.192.000 23.192.000 0 0%

T = 7 1860 31.443.000 30.412.000 -1.031.000 -3.3%

T = 8 1870 38.558.000 39.372.000 814.000 2.1%

T = 9 1880 50.156.000 50.177.000 21.000 0.0%

T = 10 1890 62.948.000 62.769.000 -179.000 -0.3%

T = 11 1900 75.995.000 76.870.000 875.000 1.2%

T = 12 1910 91.972.000 91.972.000 0 0%

T = 13 1920 105.711.000 107.559.000 1.848.000 1.7%

T = 14 1930 122.775.000 123.124.000 349.000 0.3%

T = 15 1940 131.669.000 136.653.000 4.984.000 3.8%

T = 16 1950 150.697.000 149.053.000 -1.644.000 -1.1%

(19)

Esempi e confronto con il modello malthusiano

ESERCIZIO 5

Supponiamo che r = 0.2 e L = 8 (supponendo che un’unità rappresenti 1000 individui), A(0) = 0.1.

4.1) Calcolare i primi 30 valori di A(n) e confrontarli con quello che si sarebbe ottenuto con il modello malthusiano.

4.2) Ripetere l’esperimento con altri dati iniziali A(0), ad esempio A(0) = 0.3, A(0) = 1, A(0)= 3, A(0) = 5, A(0) = 9.

4.3) Dall’andamento delle successioni trovate si vede come la crescita ad un certo punto rallenti.

Per quale valore di An la curva inizia a piegarsi?

4.4) Tracciare il grafico della parabola e della retta y = x. Individuare i punti di equilibrio (intersezioni) del sistema ed utilizzare il metodo grafico per descrivere la dinamica del sistema.

4.5) Esiste una formula che dia il valore di An come nella crescita esponenziale?

4.6) Calcolare il coefficiente angolare della parabola nei punti di equilibrio.

4.7) Calcolare i rapporti ; che cosa osservate?

4.8) Fare altre prove lasciando L = 8 e con r = 0.5, r = 1, r = 2, r = 2.2.

Un paio di trasformazioni del modello logistico

ESERCIZIO 6

La prima è molto semplice: invece di considerare la popolazione assoluta A(n) che scriveremo per semplicità di scrittura An, si può prendere in esame il rapporto an = An/L. Verificare che il modello logistico si trasforma in

Trovare i punti di equilibrio, tracciare alcune parabole e trovare i coefficienti angolari.

ESERCIZIO 7

Un’ulteriore trasformazione si ottiene ponendo

Verificare che si ottiene

(20)

SDD: LABORATORIO 5

Martedì 15 marzo 2011

Punti di equilibrio stabili/instabili

Un sistema dinamico discreto è una legge che permette di calcolare una successione di valori An, a partire da uno o più valori precedenti. Nel caso più semplice, basta conoscere il valore immediatamente precedente e si parla di un sistema ad un passo. Naturalmente deve essere nota la condizione iniziale A(0). Pertanto un sistema ad un passo è del tipo

An+1 = F(An); A(0) assegnato;

dove F(a) è una funzione. Ad esempio per il modello logistico, la funzione è del tipo F(a) = ra(1 - a):

Ritornando al caso generale, un punto a* è di equilibrio se F(a*) = a*

Un punto di equilibrio a* è stabile o attrattivo se partendo da valori vicini la successione dei valori An (si dice anche l’orbita) tende ad a*. In caso contrario è instabile o repulsivo. Avete visto come nel caso

f(a) = Pa + Q

la stabilità dipendesse dal valore del coefficiente angolare P della retta:

-1 < P < 1 allora a* =Q/(1 – P) stabile

|P| > 1 allora a* = Q/(1 – P) instabile

Il caso P = 1 potremmo dire che è un equilibrio indifferente mentre P = -1 porta a delle orbite periodiche.

Cosa succede se il grafico di F(a) non è più una retta? Bisogna considerare il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di equilibrio, cioè la derivata P = F’(a*).

PROBLEMA

Cercare di giustificare questo criterio:

-1 < F’(a_) < 1 allora a* stabile

(21)

Calibrazione di modelli matematici

Supponiamo che siano disponibili conteggi o stime di una data popolazione in stagioni successive.

Ad esempio, consideriamo i dati per la quantità di piante della specie phlox drummondii in una località del Texas.

tempo (mesi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 piante 996 158 154 151 147 136 105 74 22

Il nostro scopo è:

• decidere quale modello matematico sia il più adatto a descrivere l’andamento della popolazione;

• una volta deciso il modello, stimare nel modo più preciso i parametri del modello.

Questa stima dei parametri viene detta calibrazione dei dati o “fitting” del modello.

Vediamo come procedere nel caso dei dati sulla phlox drummondii.

Iniziamo con il riportare i dati su un foglio Excel e costruiamo l’analogo grafico.

Dal grafico si vede come la distribuzione sembri approssimativamente rispettare il modello malthusiano, cioè la decrescita sia di tipo esponenziale con equazione .

Procedere con la calibrazione dei dati o fitting del modello, significa stimare i valori di e che lo rendono più adatto a descrivere l’andamento della popolazione.

A tale scopo “linearizziamo” l’equazione, cioè calcoliamo il logaritmo in base di entrambi i membri ottenendo

In un riferimento semilogaritmico (ascissa e ordinata ) l’equazione diventa lineare.

Disegnamo ora un altro grafico inserendo come asse delle ascisse il tempo e asse delle ordinate i dati ottenuti calcolando il logaritmo in base della quantità di piante e, contemporaneamente, inseriamo la retta di regressione insieme alla sua equazione.

(Ricordiamo che: dati un insieme di punti del piano, la retta di regressione lineare rappresenta la retta che “passa più vicino ai punti”. In termini più precisi, viene minimalizzata la somma dei quadrati delle distanze dei punti stessi dalla retta.)

Nel caso della distribuzione di phlox drummondii la retta di regressione lineare ha equazione .

Quindi e .

Ricavato il valore di possiamo confrontare i dati sperimentali con quelli del modello maltusiano calibrato.

Cosa si osserva?

Possiamo affermare che il modello maltusiano sia la scelta ottimale?

(22)

Trasformazioni linearizzanti

Il procedimento usato per il modello maltusiano può essere applicato in altri casi.

Ad esempio, per il modello logistico, la linearizzazione si ottiene con i seguenti passaggi algebrici:

Calibrazione per un modello di crescita logistica

Partiamo dai dati per una popolazione di parameci aurelia che inseriamo in un foglio Excel.

giorni 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 popolazione 25 51 67 98 197 287 339 409 512 519 534 544 551 556 Dal grafico si vede come sembri rispettare il modello logistico.

Vogliamo effettuare un fitting con il modello logistico di crescita mediante trasformazione delle variabili (in modo da ridursi a una equazione lineare) e poi mediante regressione lineare.

Dai dati supponiamo che la popolazione limite (di equilibrio) sia (ricordiamoci che è l’asintoto orizzontale della funzione logistica). Determiniamo e mediante regressione lineare.

Dunque , , .

Possiamo infine fare il grafico dei dati misurati e di quelli calibrati.

ESERCIZI

1. Determinare la retta di regressione per la crescita del bacillo aspergillus niger.

tempo 3 4 5 6 7 8 9 diametro 9,3 16,8 22,8 28,5 33,6 36,6 42,8 2. Analogamente per la crescita del saccharomyces cerevisiae.

tempo 0 1,5 9 10 18 18,5 23 15,5 17 34 38 42 45,5 47 volume 0,37 1,63 6,2 8,87 10,66 10,97 12,5 12,6 12,9 13,27 12,77 12,87 12,9 12,7 3. Analogamente per la crescita di girasoli.

tempo 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 cm 17,93 36,36 67,76 98,1 11,0 169,5 205,5 228,3 247,1 250,5 253,8 254,5

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SDD: LABORATORIO 6

Martedì 22 marzo 2011

Riprendiamo gli ultimi esercizi proposti nel LABORATORIO 4…

Un paio di trasformazioni del modello logistico

La prima è molto semplice: invece di considerare la popolazione assoluta , si può prendere in esame il rapporto . Verificare che il modello logistico si trasforma in

. Un’ulteriore trasformazione si ottiene ponendo

Verificare che si ottiene

.

Biforcazioni del modello logistico

Il sistema dinamico a cui ci riferiamo è il sistema logistico

, .

Con valori del parametro compresi nell’intervallo , partendo da un valore iniziale nell’intervallo , anche tutti gli altri valori della successione rimangono nell’intervallo . Perché?

Procediamo con la discussione dei punti di equilibrio e delle condizioni di stabilità.

Vediamo cosa succede facendo variare il parametro , esaminando vari casi.

•

Tracciare il grafico della funzione e della retta bisettrice . Discutere graficamente l’andamento della successione partendo da un dato qualunque.

Fare prove al computer e studiare la velocità di convergenza della successione: a cosa tende il rapporto ? Cosa significa?

•

Stessi problemi del punto precedente.

•

Tracciare il grafico della funzione e della retta bisettrice . Quanti e quali sono i punti fissi?

A cosa convergono le successioni?

Se chiamiamo il punto fisso diverso da zero, calcolare il coefficiente angolare della parabola nel punto . A cosa tende il rapporto ?

Fare le prove con , , .

•

Grafico e prove numeriche. Quanto vale ?

(24)

SDD: LABORATORIO 7

Mercoledì 6 aprile 2011

Biforcazioni del modello logistico

Concludiamo l’analisi dei punti di equilibrio del s.d.d.

, .

con valori del parametro compresi nell’intervallo , partendo da un valore iniziale nell’intervallo

Procediamo con la discussione dei punti di equilibrio e delle condizioni di stabilità nel caso in cui

•

Fare prove numeriche per con , .

•

Fare prove numeriche per con , , , , .

(25)

SDD: LABORATORIO 8

Martedì 12 aprile 2011

Crescita logistica e caos

La convergenza o la divergenza non sono gli unici comportamenti possibili per un SDD: il caos è in agguato!

Il sistema dinamico a cui ci riferiamo è il sistema logistico

, , con valori del parametro compresi nell’intervallo .

Abbiamo visto che per valori del parametro minori di 3 si ottiene un singolo equilibrio stabile.

Quando è esattamente uguale a 3, la convergenza verso il punto di equilibrio è estremamente lenta: è il segnale che ci troviamo sulla soglia di un cambiamento radicale.

Infatti per il punto di equilibrio diventa instabile ed iniziano fenomeni inattesi.

Inizialmente la successione assume alternativamente due numeri distinti, cioè entra in un ciclo di periodo due (un 2 ciclo). Lo stato stazionario perde stabilità e diventa periodico: in altri termini il sistema inizia ad oscillare.

Se si aumenta anche l’attrattore di periodo due diventa instabile e appare un ciclo di periodo quattro, un 4 ciclo, che poi diventa un 8 ciclo, un 16 ciclo e così via.

La cascata dei raddoppiamenti ha poi uno stop e compare un ciclo di periodo 3 per per poi riprendere ad aumentare a 6, a 12 con quella che sembra una certa regolarità.

Ma cosa succede per ? ESERCIZIO 1

Tracciare il grafico della funzione e della retta bisettrice . Determinare i punti di equilibrio e discutere graficamente l’andamento della successione partendo da un dato qualunque.

Fare prove al computer per esplorare il sistema.

Cosa succede per ? E per valori molto vicini ad esso ad esempio ? Cosa succede per ? E per valori molto vicini ad esso?

Supponiamo di volere fornire una previsione sull’evoluzione del sistema in corrispondenza al dato iniziale . Il numero in questione è irrazionale perciò possiamo solo darne delle approssimazioni che inseriamo nel computer.

Calcolare le successioni con due approssimazioni: 0,707106 per difetto e 0,707107 per eccesso.

Calcolare la differenza tra le due successioni.

Cosa succede?

Insomma… Siamo in presenza di un comportamento caotico perché l’evoluzione del sistema è imprevedibile, perché il sistema mostra l’effetto farfalla, la dipendenza sensibile dai dati iniziali in modo parossistico. Siamo in presenza di un comportamento caotico perché l’insieme dei valori assunti dalla successione è denso sull’intervallo : per quanto piccolo prendiamo un intervallo contenuto in , in esso cadono infiniti valori della successione ; questo significa che

(26)

possiamo partire da qualsiasi punto dell’intervallo e arrivare in qualsiasi punto dell’intervallo .

Oggetti matematici semplici, come un polinomio di secondo grado, possono generare comportamenti caotici e informi!

ESERCIZIO 2

A questo punto facciamo un po’ di ordine visto che siamo ormai giunti al caos.

Occorre fare una sintesi di quello che si è ricavato nei laboratori 6, 7 e 8. Riprendendo quindi tutti i risultati algebrici e grafici ottenuti studiando il sistema dinamico logistico

, ,

al variare del parametro nell’intervallo , descriverli in uno schema chiaro e completo che possa risultare utile da presentare in una lezione ad altri studenti. Utilizzare qualsiasi software che conosci, colori e altro utili ad esprimere anche il senso di quello che abbiamo appreso.

(27)

SDD: LABORATORIO 9

Lunedì 2 maggio 2011

Diagramma di biforcazione

Possiamo ora tracciare il diagramma di biforcazione, una celebre figura che traduce geometricamente il comportamento del SDD

, al variare del parametro nell’intervallo .

Sull’asse delle ascisse poniamo un intervallo del parametro , sull’asse delle ordinate indichiamo l’intervallo I costituito dai valori che possono assumere le successioni calcolate con il modello logistico (a partire da un valore iniziale scelto); ad un fissato (sull’asse ) vengono fatti corrispondere (asse ) i punti dell’intervallo I che si trovano nel ciclo attrattivo (i “punti limite” del SDD).

Sarà indispensabile utilizzare il calcolatore perché occorrerà rappresentare molti dati. Per esempio potremmo calcolare almeno trecento valori per ogni e considerare soltanto quelli interessanti (per es. gli ultimi 100).

ESERCIZIO1

Determina il diagramma di biforcazione per compreso tra 2.9 e 3.6.

ESERCIZIO2

Determina il diagramma di biforcazione per compreso tra 2.9 e 4.

ESERCIZIO3

Determina il diagramma di biforcazione per compreso tra 3.56 e 3.57 e riporta soltanto il ramo superiore.

ESERCIZIO4

Determina il diagramma di biforcazione per compreso tra 3.84 e 3.85 e riporta soltanto il ramo superiore.

ESERCIZIO5

Determina il diagramma di biforcazione per compreso tra 3.84 e 3.85 e riporta soltanto il ramo intermedio.

ESERCIZIO6

Quali osservazioni puoi fare analizzando i grafici ottenuti.

Mappa a tenda

Ma cosa succede al SDD quando ?

Per semplificare il problema, introduciamo la cosiddetta mappa a tenda. Si tratta di considerare il SDD generato dalla funzione

(28)

.

Il comportamento qualitativo della soluzione dell’equazione logistica può essere riprodotto anche nella mappa a tenda che dal punto di vista computazionale è più trattabile.

ESERCIZIO7

Confrontare i grafici cartesiani della funzione con quelli della parabola di equazione per alcuni valori di ( , , ).

ESERCIZIO8

Disegnare la funzione per , la bisettrice del primo e del terzo quadrante e considerare il quadrato di lato 1 con un vertice nell’origine e lati sugli assi coordinati.

Per quali valori di , il punto di coordinate esce dal quadrato?

Togliere dal segmento sull’asse di estremi 0 e 1 tale insieme (restano due segmenti sull’asse corrispondenti agli intervalli , ).

Per quali valori di , il punto di coordinate esce dal quadrato?

Togliere dal segmento sull’asse di estremi 0 e 1 tale insieme (restano … segmenti corrispondenti agli intervalli …).

Quindi procedere per e così via?

Tutti i punti dell’intervallo di partenza che non vengono mai tolti da questo procedimento ricorsivo costituiscono l’insieme di Cantor (Georg Cantor 1845-1918) anche detto polvere di Cantor.

Calcolare la lunghezza totale degli intervalli tolti a quello di partenza . Allora quanto è “lungo” l’insieme di Cantor?

(29)

SDD: LABORATORIO 10

Giovedì 12 maggio 2011

???

Il triangolo di Sierpinski

Esistono SDD con attrattori molto complessi.

Consideriamo un SDD di dimensione due nel quale introduciamo un elemento casuale. Sia dato, per esempio, il triangolo di vertici A(0,0), B(8,0) e C(4,7). Partiamo da un punto qualsiasi P0. Ora lanciamo un “dado” a tre facce:

• se esce 1 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e A;

• se esce 2 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e B;

• se esce 3 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e C.

L’attrattore di questo SDD è il triangolo di Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1882-1969): dato un triangolo qualsiasi T0, si consideri la figura T1 ottenuta “togliendo” il triangolo centrale, cioè il triangolo dei punti medi; da T1 si tolga il triangolo centrale ad ognuno dei 3 triangoli ottenuti; da T2

si tolga il triangolo centrale ad ognuno dei 3² triangoli ottenuti, e così via. Il limite, per n che tende a , è il triangolo di Sierpinski.

ESERCIZIO1

Calcolare il perimetro della figura ottenuta dopo n passi.

Calcolare l’area della figura ottenuta dopo n passi.

Quanto valgono il perimetro e l’area del triangolo di Sierpinski?

ESERCIZIO2

Calcolare con Excel i primi 200, 800, ... elementi del SDD sopra indicato e tracciare il grafico dei corrispondenti punti.

Alcune funzioni Excel che potrebbero servire:

CASUALE() restituisce un numero casuale che cambia se viene ricalcolato, maggiore o uguale a 0 e minore di 1.

INT(num) arrotonda un numero per difetto all’intero più vicino.

SE(test;se_vero;se_falso).