Facolt` a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
dr. Armando Careri
Equazioni e disequazioni algebriche
Una raccolta di esercizi
dr. Armando Careri: Equazioni e disequazioni algebriche, Una raccolta di esercizi. Novembre 2009
Sito web:
http://www.mathematicsempire.com E-mail:
armandocareri@gmail.com
Il codice digitale del testo ed i grafici relativi sono stati progettati dall’autore attraverso i software open-source LATEX 2ε e Inkscape.
and capable of all that’s imagined and inconceivable . . . ” - James Maynard
Ringraziamenti
Per aver contribuito all’arricchimento dei contenuti di questo lavo- ro, ringrazio i docenti dei corsi di matematica del potenziamento 2009/2010 della Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell’Universit`a della Calabria ed i tutor/assistenti matematici che vi hanno collaborato. Fra i docenti di cui prima, desidero ringraziare in particolar modo la gentilissima dr.ssa Rosanna Caira per i suoi preziosi consigli e per il materiale fornitomi da cui ho parzialmente preso spunto ed il dr. Francesco Dell’Accio, la cui conoscenza profes- sionale, mi ha arricchito con nuove straordinarie idee d’insegnamento della matematica.
Un dovuto ringraziamento va anche a Patrizia Genova, per aver dato un contributo alla stesura materiale di questo lavoro nonch´e alla scelta delle soluzioni grafiche pi`u appropriate.
1 Algebra di primo grado 1
1.1 Equazioni di primo grado . . . 1
1.1.1 Equazioni numeriche e letterali, intere . . . 1
1.1.2 Equazioni numeriche e letterali, fratte . . . 5
1.1.3 Sistemi di equazioni . . . 6
1.2 Disequazioni di primo grado . . . 7
1.2.1 Disequazioni numeriche intere. . . 7
1.2.2 Disequazioni letterali intere . . . 8
1.2.3 Disequazioni numeriche fratte . . . 9
1.2.4 Sistemi di disequazioni . . . 10
1.3 Problemi di primo grado . . . 11
1.3.1 Problemi di algebra . . . 11
1.3.2 Problemi di geometria . . . 14
2 Algebra di secondo grado 17 2.1 Equazioni di secondo grado . . . 17
2.1.1 Equazioni numeriche intere . . . 17
2.1.2 Equazioni numeriche fratte . . . 17
2.1.3 Applicazioni sul discriminante. . . 18
2.1.4 Relazioni fra soluzioni e coefficenti di una equazione di secondo grado . . . 18
2.2 Disequazioni di secondo grado . . . 19
2.2.1 Disequazioni numeriche intere. . . 19
2.2.2 Disequazioni letterali intere . . . 19
2.2.3 Disequazioni numeriche fratte . . . 20
2.3 Problemi di secondo grado. . . 22
2.3.1 Problemi di algebra . . . 22
2.3.2 Problemi di geometria . . . 23
3 Algebra di grado superiore al secondo 25 3.1 Equazioni di grado superiore al secondo . . . 25
3.1.1 Equazioni numeriche scomponibili, intere e fratte . . . 25
3.2 Disequazioni di grado superiore al secondo . . . 26
3.2.1 Disequazioni numeriche scomponibili, intere e fratte . . . 26
4 Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche 29 4.1 Equazioni e disequazioni con il valore assoluto. . . 29
4.1.1 Equazioni numeriche, intere e fratte . . . 29
4.1.2 Disequazioni numeriche, intere e fratte . . . 31
4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali . . . 33
4.2.1 Equazioni numeriche, intere e fratte . . . 33
4.2.2 Disequazioni numeriche, intere e fratte . . . 33
1
Algebra di primo grado
1.1 Equazioni di primo grado
1.1.1
Equazioni numeriche e letterali, intere
. . . .Linee guida allo svolgimento degli Esercizi1.1.1e gli Esercizi 1.1.2.
Sfruttando il 1° ed il 2° principio di equivalen- za per equazioni, si trasforma l’equazione in altre equivalenti e via via pi`u “semplici”. L’obbiettivo `e ottenere al primo membro i termini in x ed al secon- do i termini noti per pervenire alla forma canonica ax = b. Poi si distinguono tre casi:
a = 0 ∧ b = 0 L’equazione diventa del tipo 0 = 0 ed `e dunque risolta per ogni valore di x, ossia
`e indeterminata.
a = 0 ∧ b 6= 0 Il primo membro si annulla ed il se- condo `e diverso da zero ossia si perviene ad una equazione del tipo 0 = b 6= 0 cio`e 0 6= 0 che `e impossibile.
a 6= 0 Applicando il secondo principio di equiva- lenza, si possono dividere ambo i membri per a ottenendo l’equazione x = b/a che `e la so- luzione di quella iniziale chiamata, in tal caso, determinata.
. . . . Esercizi 1.1.1. Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere.
1 3x = 6 [x = 2]
2 2(x − 2) + 5 = −(x + 3)
x = −4
3
3 8x − (3 + 5x) = 9 [x = 4]
4 2x − 3 = −3 [x = 0]
5 7(x − 2) + x = 3(x − 8) − 5 [x = −3]
6 x − 3 − (x − 2) = −2x + 2(x − 1) [x ∈ ∅]
7 2x + 3 = 2x + 3 [x ∈ R]
8 (x − 1)(x + 1) + 3 = 5x + (x − 1)2
x = 1
3
9 (x + 1)2− 4 = 2x + (x − 2)(x + 2) + 1 [x ∈ R]
10 7(x − 2) + x = 3(x − 8) + 5x [x ∈ ∅]
11 −(x−2)(x+2)(x2+4)+3 = 19−x4 [x ∈ R]
12 x
5 + 3 = 6 5 − x
x = −3
2
13 x + 3
2 −3 − x
3 =x − 3
2 + 3 [x = 3]
14 3(t − 5)
4 −t + 3
12 = t − 1
8 + 1 [t = 9]
15 t
2 − 3 +4t − 1
4 =2t + 9 4 +5
4− t
t = 27
8
16 x − 3 =
x − x − 1 3
−x − 2 3
!
[x = 6]
17 x − 0.2
2 +x + 0.4
4 =2x − 0.4 3
x = −8
5
18 0.5x + 0.¯3x
0.5 −0.5x − 0.¯3x
0.2 = 1
x = 6
5
19 (a − 1)2+ 4a − 1 = (a + 1)2 [a ∈ ∅]
20 a
√2+a2− 2
√3 = (a −√
2)(a +√
√ 2)
3 [a = 0]
2 1.1. Equazioni di primo grado
Svolgimento di alcuni esercizi.
1 Si effettuano i seguenti passaggi:
3x = 6 l’equazione `e in forma canonica
3x
3 = 6 3
applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di isolare l’incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa
x = 2 l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione
3 Si effettuano i seguenti passaggi:
8x − (3 + 5x) = 9 l’equazione non `e in forma canonica
8x − 3 − 5x = 9 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
8x − 5x = 9 + 3
applicando il 1° principio di equivalenza, si trasportano tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo
3x = 12 l’equazione `e in forma canonica
3x
3 = 12 3
applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di isolare l’incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa
x = 4 l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione
5 Si effettuano i seguenti passaggi:
7(x − 2) + x = 3(x − 8) − 5 l’equazione non `e in forma canonica
7x − 14 + x = 3x − 24 − 5 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
7x + x − 3x = −24 − 5 + 14
applicando il 1° principio di equivalenza, si trasportano tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo
5x = −15 l’equazione `e in forma canonica 5x
5 =−15 5
applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di isolare l’incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa
x = −3 l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione
7 Si effettuano i seguenti passaggi:
2x + 3 = 2x + 3 poich´e ambo i membri delle equazioni sono uguali, l’equazione `e una identit`a
x ∈ R l’equazione `e soddisfatta per ogni valore attribuito all’incognita
9 Si effettuano i seguenti passaggi:
(x + 1)2− 4 = 2x + (x − 2)(x + 2) + 1 l’equazione non `e in forma canonica
x2+ 2x+1 − 4 = 2x + x 2− 4 + 1 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
x2+ 2x − 3 = x2+ 2x − 3 poich´e ambo i membri delle equazioni sono uguali, l’equazione `e una identit`a
x ∈ R l’equazione `e soddisfatta per ogni valore attribuito all’incognita
11 Si effettuano i seguenti passaggi:
−(x − 2)(x + 2)(x2+ 4) + 3 = 19 − x4 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
−(x2− 4)(x2+ 4) + 3 = 19 − x4 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
−(x4− 16) + 3 = 19 − x4 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
−x4+ 19 = −x2+ 19 poich´e ambo i membri delle equazioni sono uguali, l’equazione `e una identit`a
x ∈ R l’equazione `e soddisfatta per ogni valore attribuito all’incognita
13 Si effettuano i seguenti passaggi:
x + 3
2 −3 − x
3 =x − 3
2 + 3 l’equazione presenta termini frazionari 6„ x + 3
2 −3 − x 3
«
= 6„ x − 3 2 + 3
« applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di li- berare l’equazione dai denominatori, si moltiplicamo ambo i membri per il loro mcm
3(x + 3) − 2(3 − x) = 3(x − 3) + 18 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
3x + 9 − 6 + 2x =
3x − 9 + 18 semplificando i termini uguali che sono ai membri opposti dell’equazione
2x = −9 + 18 − 9 + 6
applicando il 1° principio di equivalenza, si trasportano tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo
2x = 6 l’equazione `e in forma canonica
2x
2 = 6 2
applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di isolare l’incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa
x = 3 l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione
15 Si effettuano i seguenti passaggi:
t
2− 3 +4t − 1
4 = 2t + 9
4 +5
4− t l’equazione presenta termini frazionari 8„ t
2− 3 +4t − 1 4
«
= 8„ 2t + 9
4 +5
4− t
« applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di li- berare l’equazione dai denominatori, si moltiplicamo ambo i membri per il loro mcm
2t − 12 + 4t − 1 =2t + 9 + 5 − 4t semplificando i termini uguali che sono ai membri opposti dell’equazione
4t + 4t = 9 + 5 + 12 + 1 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell’equazione
8t = 27 l’equazione `e in forma canonica 8t
8 = 27 8
applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di isolare l’incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa
t =27 8
l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione
Esercizi 1.1.2. Discutere la risoluzione delle seguenti equazioni letterali intere nella variabile x.
21 5x − 3a = 0
x = 3
5a
22 3x + 2b = 0
x = −2
3b
23 6x − 2a = 2x + 8a
x = 5
2a
24 ax = a
"
a 6= 0 ⇒ x = 1 a = 0 ⇒ x ∈ R
#
25 ax = a2
"
a 6= 0 ⇒ x = a a = 0 ⇒ x ∈ R
#
26 a2x = a
"
a 6= 0 ⇒ x = 1a a = 0 ⇒ x ∈ R
#
27 bx = b − x
"
b 6= −1 ⇒ x = b+1b b = −1 ⇒ x ∈ ∅
#
4 1.1. Equazioni di primo grado
28 3x − 6 = a(x − 3) + a
"
a 6= 3 ⇒ x = 2 a = 3 ⇒ x ∈ R
#
29 mx + (m − 1)(m + 1) = (m + 1)2− x
"
m 6= −1 ⇒ x = 2 m = −1 ⇒ x ∈ R
#
30 mx + 4n = 2nx − m
m 6= 2n ⇒ x = 4n+m2n−m a = 2n ∧ n = 0 ⇒ x ∈ R a = 2n ∧ n 6= 0 ⇒ x ∈ ∅
31 (m − x)(n − x) = (m + x)(n + x) − 2
"
m 6= −n ⇒ x = m+n1
m = −n ⇒ x ∈ ∅
#
32 a(x + b) + b(x − b) = b(a − b) + 2
"
a 6= −b ⇒ x = a+b2 a = −b ⇒ x ∈ ∅
#
33 3(ax + b) = ax + 5b
a 6= 0 ⇒ x = ba a = 0 ∧ b 6= 0 ⇒ x ∈ ∅ a = 0 ∧ b = 0 ⇒ x ∈ R
34 3x − 2a
3 + 6b = x + 5b − 2a 3
"
b 6= 0 ⇒ x ∈ ∅ b = 0 ⇒ x ∈ R
#
35 b(a − b) + 2(3a + x) − x(a + 2) = a(b − x) − 3 b2 3 − 2a
[x ∈ R]
36 1
2(x + a) − 2
x + b
3
= 5
6 3(a − 2b) − x −2 3(x + b)
"
a 6=5b2 ⇒ x ∈ ∅ a =5b2 ⇒ x ∈ R
#
37 −(x − a − b)2+ (a − b)2= (2a − x)(3b + x) + 5ab
"
b 6= 0 ⇒ x = 3a b = 0 ⇒ x ∈ R
#
38 −(a + b)(x + b) − (a2− b2) = (b − a)(x + a)
"
b 6= 0 ⇒ x = −a b = 0 ⇒ x ∈ R
#
39 (a − 1)(b + 1)x = 0
"
a 6= 1 ∧ b 6= 1 ⇒ x = 0 a = 1 ∨ b = −1 ⇒ x ∈ R
#
40 b(x − 2) = a
b 6= 0 ⇒ x = 2b+ab b = 0 ∧ a = 0 ⇒ x ∈ R b = 0 ∧ a 6= 0 ⇒ x ∈ ∅
Svolgimento di alcuni esercizi.
25 L’equazione `e gi`a in forma canonica quindi si distinguono subito due casi:
a = 0 In tal caso si ha
ax = a2 l’equazione di par- tenza
0 · x = 02 sostituendo con a = 0
0 = 0 svolgendo i calcoli x ∈ R l’equazione `e inde-
terminata
a 6= 0 In tal caso si ha
ax = a2 l’equazione di par- tenza
ax
a =a2
a
dividendo ambo i membri per a (operazione lecita poich´e a 6= 0) x = a l’equazione `e de-
terminata
27 Si riconduce l’equazione alla forma canonica:
bx = b − x l’equazione di par- tenza
bx + x = b
trasportando −x al 1° membro e cam- biandolo di segno
(b + 1)x = b
mettendo in eviden- za la x al primo membro
A questo punto si distinguono due casi:
b + 1 = 0 ossia b = −1. In tal caso si ha (b + 1)x = b l’equazione di par-
tenza
0 · x = −1 sostituendo b + 1 = 0
0 = −1 svolgendo i calcoli x ∈ ∅ l’equazione `e im-
possibile
b + 1 6= 0 ossia b 6= −1. In tal caso si ha
(b + 1)x = b l’equazione di par- tenza
(b + 1)x
b + 1 =
−1 b + 1
dividendo ambo i membri per b + 1 (operazione lecita poich´e b + 1 6= 0) x = − 1
b + 1
l’equazione `e de- terminata 29 Si riconduce l’equazione alla forma canonica:
mx + (m − 1)(m + 1) = (m + 1)2− x mx +m2− 1 =m2+ 2x + 1 − x
mx − 2x + x = 1 + 1 (m − 1)x = 2.
A questo punto si distinguono due casi:
m − 1 = 0 ossia m = 1. In tal caso si ha (m − 1)x = 2 ⇔ 0 · x = 2 ⇔ 0 = 2 ⇔ x ∈ ∅.
m − 1 6= 0 ossia m 6= 1. In tal caso, dividendo ambo i membri per m − 1 si ha
(m − 1)x = 2 ⇔ x = 2 m − 1.
1.1.2
Equazioni numeriche e letterali, fratte
Esercizi 1.1.3. Risolvere le seguenti equazioni numeriche fratte.
41 1
x= 1 [x = 1]
42 1
x − 1 = 1 [x = 2]
43 1
x= 0 [x ∈ ∅]
44 x
x= 1 [x 6= 0]
45 x
x2+ 1 = 0 [x = 0]
46 3x + 9
x − 3 = 0 [x = −3]
47 4
x + 1 = 3
x + 1 [x ∈ ∅]
48 −(x + 6)
x2− 25 = 0 [x = −6]
49 1 −x − 1 x + 2 − 1
x + 1 = − 1
x2+ 3x + 2 [x ∈ ∅]
50 1 2−1
x= 4x + 3 6x −1
3 [x = 9]
51 x + 7
x − 1+x − 7
x + 1 = 2 [x ∈ ∅]
52 1 3
1 x− 1
− 3 = −x + 2
x [x = 1]
53 t − 5
t − 1 = t − 1
t − 5 [t = 3]
54 x − 1
x + 3 − 1
x2+ 5x + 6 = −x + 1
x + 2 [x ∈ ∅]
55 −(1 − x)
x − 2 −x − 2
x − 1 = 1
x2− 3x + 2 [x ∈ ∅]
56 x + 3 − 6x
2x − 1= x − 3 2x − 1
x 6= 1
2
57 2 t − 5−1
t =2(t − 1)2
5t − t2 + 2 [t = −1]
58 2(x + 2)(x − 4)
x2− 5x + 6 = x − 3
x − 2+2 − x 3 − x
x = 29
6
59 − 8
a + 4= a 2 + a
2
−
1 + 1
4
23
5 [a 6= −4]
60 0.¯3x
√x 9
+ x2− 4
(x − 2)(x + 2)= 2
[x 6= 0 e x 6= 2 e x 6= −2]
Svolgimento di alcuni esercizi.
6 1.1. Equazioni di primo grado
41 Affinch´e x1 = 1 abbia senso, si deve imporrex6= 0 che rappresenta la condizione di accettabilit`a del- l’equazione. Dunque
1
x= 1 l’equazione iniziale
x1 x= x · 1
moltiplicando ambo i membri per x (ope- razione lecita perch´e per ipotesi x 6= 0) 1 = x l’unica candidata so-
luzione
Poich´e x = 1 soddisfa la condizione di accettabili- t`a x 6= 0 allorax = 1`e soluzione dell’equazione di partenza.
43 Affinch´e x1 = 0 abbia senso, si deve imporrex6= 0 che rappresenta la condizione di accettabilit`a del- l’equazione. Dunque
1
x = 0 l’equazione di par- tenza
x1 x = x · 0
moltiplicando ambo i membri per x (ope- razione lecita perch´e per ipotesi x 6= 0) 1 = 0 non `e verificata per
nessun valore di x x ∈ ∅ l’equazione `e impos-
sibile
45 Affinch´e x2x+1 = 0 abbia senso, si deve imporre x2+ 16= 0 che rappresenta la condizione di accet- tabilit`a dell’equazione. Dunque
x
x+1 = 0 l’equazione di par- tenza
(x2+ 1)x
x2+ 1 = (x
2+ 1) · 0
moltiplicando ambo i membri per x2 + 1 (operazione leci- ta perch´e per ipotesi x2+ 1 6= 0)
x = 0 rappresenta l’unica candidata soluzione Poich´e x =0soddisfa la condizione di accettabilit`a x2+ 1 6= 0, in quanto02+ 1 = 1 6= 0, allorax = 0
`
e soluzione dell’equazione di partenza.
Esercizi 1.1.4. Discutere la risoluzione delle seguenti equazioni letterali fratte nella variabile x.
61 a + x 1 − x = a
"
a 6= −1 ⇒ x = 0 a = −1 ⇒ x ∈ R
#
62 3 + ax
x − a − 2 = 0
"
a 6= 2 ⇒ x = 2a+32−a a = 2 ⇒ x ∈ ∅
#
63 2
a + x= 3 a − x
"
a 6= 0 ⇒ x = −a5 a = 0 ⇒ x ∈ ∅
#
64 a
x − 1+ 3x
x + 1 = 3x2 1 − x2
"
a 6= 3 ∧ a 6= 32 ⇒ x = −3−aa a = 3 ∨ a = 32 ⇒ x ∈ ∅
#
65 2a − x
x − 3 −2ax + 3 6 − 2x = a
"
a 6=103 ⇒ x = −10a+32 a =103 ⇒ x ∈ ∅
#
66 −x
1 − x− a + b x − 1 = a
a 6= 1 ∧ a 6= −b + 1 ⇒ x = 1−ab a = 1 ∧ b 6= 0 ⇒ x ∈ ∅ a = 1 ∧ b = 0 ⇒ x ∈ R
67 2
a2− 1+ 1 = x
ax + a + x + 1− x ax + a − x − 1
"
a 6= 1 ⇒ x = −aa22+3+1 a = 1 ⇒ x ∈ ∅
#
68 x
bx − b+ b − 1
x2− bx + b − x = − b − 1
b(x − 1) +x − b − 1 bx − b2
"
b 6= −1 ⇒ x ∈ ∅ b = −1 ⇒ x ∈ R
#
1.1.3
Sistemi di equazioni
Esercizi 1.1.5. Risolvere i seguenti sistemi di equazioni numeriche intere.
69
( x + y = 6 x − y = 4
"(
x = 5 y = 1
#
70 ( x
2− y = 0
x
4+ y = 3
"(
x = 4 y = 2
#
71
( 3x − y = 9 2x + 5y = 23
"(
x = 4 y = 2
#
72 ( x
5+y3 = −2 x − y = −2
"(
x = 5 y = −3
#
73 ( x
3+y2 = 43
x
2−y4 = 0
"(
x = 1 y = 2
#
74
( 3x + 3y = 6
x + y = 1 [impossibile]
75
( 2x − y = 6 4x − 2y = 12
"(
x ∈ R y = 2x − 6
#
76
( −x + 2y = 1 2x − 4y = −2
"(
x ∈ R y = 12x +12
#
77
( −x − y = −1
x + y = 2 [impossibile]
78
( x + y = 0 x − y = 0
"(
x = 0 y = 0
#
Esercizi 1.1.6. Risolvere i seguenti sistemi di equazioni numeriche fratte.
79
x + 1
y =1 4 x y + 1 = 1
5
"(
x = 5 y = 24
#
80
x − y + 4
x = −3
2x + y − 4
y = 5
4
"(
x = 5 y = 24
#
81
3x − 4y x + 2y = 7 2(x − y)
3x − 5 = 1
"(
x = 9 y = −2
#
82
x − y x + y = 11
7
−3x − y 2(x + 1) = −5
4
"(
x = 9 y = −2
#
83
7(x + y) − 5 3x + 2y =18
7 20(x − y)
2x − 3y = −20 3
"(
x = 6 y = 5
#
84
2x − y y + 3 = 7
8 2y − x
x + 3 = 4 9
"(
x = 6 y = 5
#
85
3x + 5y − 2 6x − 3y + 5 = 1
14 x − y
x + y − 1 = 10 3
"(
x = 7 y = −3
#
86
x − y + 1
x − y = x + y − 2 x + y x + y
xy +1 y = 4
x 4 y
"(
x = 4 y = 12
#
87
4x − 6y + 15 3x + y − 2 =12
7 x + y − 4 5x − 2y + 6 = 9
11
x = −3 4 y = 5
2
88
x − 1
y + 2 = x + 1 y − 2+ 2 x + 2
y + 2+x − 1 y + 3 = 1
"(
x = 1 y = 1
#
1.2 Disequazioni di primo grado
1.2.1
Disequazioni numeriche intere
Esercizi 1.2.1. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche intere.
89 2x + 3 < 5x [x > 1]
90 3 > 5 + 2(2 − x) [x > 3]
91 3(x − 1) < 1 − 2x
x < 4
5
92 1 > 2(x − 1)
x < 3
2
8 1.2. Disequazioni di primo grado
93 2(x − 7) > 3(4 − x)
x > 26
5
94 3 − 4x < x − 2(2 + x)
x > 7
3
95 2 − 3x + 2(1 + 5x) > 10
x > 6
7
96 (x + 2)2< (1 − x)2
x < −1
2
97 (2x + 1)2− 8 ≤ (2x − 1)2 [x ≤ 1]
98 x2− (3 − x)2≥ 0
x ≥ 3
2
99 (x + 1)2+ 2 > 6 − (1 − x)x [x < 1]
100 (x + 5)(x + 3) < (x + 9)(x + 1) [x > 3]
101 (2 + 3x)2 + x ≥ 3 − 2(1 − 5x) [x ≤ 1]
102 (10x + 1)2> 4(4x + 1)2+ (6x + 1)2
x < −1
6
103 2x − 1
3 >x − 4
2 + 1 [x > −4]
104 1
2 2x − (1 + x) > x −1
3(1 − 3x)
x < −1
9
105 5 (x − 2)2− x(x − 2) ≤ 2(1 − 5x) [x ∈ ∅]
106 1 2 x −
1 + 25
26
!
− 2
13(1 − 3x) > x
x < −59 2
107 (2x + 1)3− 4x2(2x + 1) < 2(2x − 1)2
x < 1
14
1.2.2
Disequazioni letterali intere
Esercizi 1.2.2. Discutere la risoluzione delle seguenti disequazioni intere letterali nella variabile x.
108 1 + 2ax < 1 + ax
2 con a > 0
x < − 1 3a
109 1 + ax < 2 + ax
4 con a < 0
x > − 2 3a
110 x − a
2 +4ax − 1
4 − a < ax −1
4 [x < 3a]
111 x − a
b −b − x
a < 1 con a > 0 e b > 0
x < a2+ b2+ ab a + b
112 x(a + 2) − (a + 2)(2 − a) > 0
"
a ≶ −2 ⇒ x ≶ 2 − a
a = −2 ⇒ x ∈ ∅
#
113 ax
a − 1−x + 1
2 < 2x + 1 4
"
a ≶ 1 ⇒ x ≷ 3(a−1)4
a = 1 ⇒ x ∈ ∅
#
114 (a − 1)(x − 1) − (x − 2)(a + 1) > ax
"
a ≶ −2 ⇒ x ≷ a+3a+2
a = −2 ⇒ x ∈ R
#
115 2 + kx
k + 1 ≤ x +1 3
"
k ≶ −1 ⇒ x ≶ 5−k3
k = −1 ⇒ x ∈ ∅
#
116 x
a + 1≤ x + 1 − x 3a + 3
"
a ≶ −1 ⇒ x R 1 +34a
a = −1 ⇒ x ∈ ∅
#
117 (x + a)(x − b) < (x − a)(x + b)
"
a ≶ b ⇒ x ≶ 0 a = b ⇒ x ∈ ∅
#
Esercizi 1.2.3. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta.
118 La soluzione di 3x(x−a+1)+1
3 = a(2 − x) + x2`e minore di −2 per a < −56. V F 119 L’insieme delle soluzioni di ax(3 − a) ≤ 3a(x − a) + 1 `e (−∞,3aa22−1]. V F
120 La soluzione dell’equazione x + 5 − k = x2−k(3+x)+2x `e maggiore di 12 per k < 16. V F
121 Per k ≤ 9 l’equazione x2− 9 + k = 0 ammette soluzioni. V F
122 Per k < −1 l’equazione 4x2− k + 1 = 0 non ammette soluzioni. V F 123 Per a = 0 la disequazione a(x + 1) + 2a < 2ax + 1 non ammette soluzioni. V F
1.2.3
Disequazioni numeriche fratte
. . . .Linee guida allo svolgimento degli Esercizi1.2.4.
Mediante il 1° principio di equivalenza per dise- quazioni ed il 2° a patto che coinvolga termini di segno costante (ad esempio quelli numerici in cui non compaiono l’incognita e/o altri parametri), si riconduce la disequazione fratta nella forma
A(x) B(x) Q 0,
detta forma normale, con A e B polinomi di primo
grado. Poi si studiano separatamente i segni di A e B in funzione di x. A tale scopo si calcolano le radici e i coefficienti direttori di A e B applicando la seguente regola: un polinomio di primo grado assume a de- stra della sua radice lo stesso segno del coefficiente direttore e discorde a sinistra. Procedendo con la composizione dei segni di A e B, si ottengono i se- gni di A/B mediante i quali si pu`o rispondere alla disequazione iniziale.
. . . . Esercizi 1.2.4. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche fratte.
124 2x
3x + 3> 0 [x < −1 ∨ x > 0]
125 2 + x
3x < 0 [−2 < x < 0]
126 3 − x
x − 1 ≥ 0 [1 < x ≤ 3]
127 1 − 2x 2x + 1< 0
x < −1
2 ∨ x >1 2
128 2x − 3
x − 5 > 2 [x > 5]
129 6 > 1 4x − 3
x < 3
4 ∨ x >19 24
130
√3 − 1 x − 1 > 1
√2
h
1 < x < 1 +√ 6 −√
2i
131 16
2x − 5 > 3 5
2 < x < 31 6
132 1 − 3 2x+3
4
1 x− 1
>2 + 3x
x [−1 < x < 0]
133 x − 4
3 − 3
x − 4 >1
3x 7
4 < x < 4
Svolgimento di alcuni esercizi.
124 La disequazione `e gi`a in forma normale, pertan- to, si studiano subito i segni di numeratore e denominatore della funzione al primo membro:
2x Lo zero di2xsi ottiene da 2x= 0 ⇔ x =i 0.
Il coefficiente direttore di2x `e2> 0.
Segue dunque che2x`e strettamente positivo a destra di 0 e strettamente negativo a si- nistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di2ed il segno discorde a sinistra).
3x + 3 Lo zero di3x + 3si ottiene da3x + 3=i 0 ⇔ x = −33 =−1. Il coefficiente direttore di3x + 3 `e3> 0.
Segue dunque che3x + 3`e strettamente posi- tivo a destra di−1e strettamente negativo a sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di3ed il segno discorde a sinistra).
Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni
da cui si evince che x ∈(−∞, −1) ∪ (0, +∞).
126 La disequazione `e gi`a in forma normale, pertan- to, si studiano subito i segni di numeratore e denominatore della funzione al primo membro:
3 − x Lo zero di3 − xsi ottiene da3 − x= 0 ⇔i x = −−13 ⇔ x =3. Il coefficiente direttore di 3 − x`e−1< 0 (in quanto 3−x = 3+(−1)x).
Segue dunque che3 − x`e strettamente nega- tivo a destra di 3 e strettamente positivo a
10 1.2. Disequazioni di primo grado
sinistra (in quanto esso assume a destra del- la radice lo stesso segno di −1 ed il segno discorde a sinistra)..
x − 1 Lo zero dix − 1si ottiene dax − 1= 0 ⇔i x =1. Il coefficiente direttore di x−1 `e1> 0 (in quanto x − 1 =1· x − 1).
Segue dunque chex − 1`e strettamente posi- tivo a destra di 1e strettamente negativo a sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di1ed il segno discorde a sinistra).
Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni
da cui si evince che x ∈(1, 3].
128 Si riconduce la disequazione ad un’altra equivalen- te ma in forma normale:
2x − 3 x − 5 − 2 > 0
trasportando tutti i termini al primo membro
2x − 3 −2x + 10
x − 5 > 0 sommando i termini e semplificando 7
x − 5 > 0 l’equazione `e ora in forma normale.
Si studiano ora i segni del numeratore e del denominatore della funzione al primo membro:
7 Per quanto riguarda il segno di 7si ha, indi- pendentemente dal valore di x, che 7 > 0.
Ci`o significa che nel prospetto del segno di7 vi sar`a una sequenza di soli “+”.
x − 5 Lo zero dix − 5si ottiene dax − 5= 0 ⇔i x =5. Il coefficiente direttore di x−5 `e1> 0 (in quanto x − 5 =1· x − 5).
Segue dunque chex − 5`e strettamente posi- tivo a destra di 5e strettamente negativo a sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di1ed il segno discorde a sinistra).
Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni
da cui si evince che x ∈(5, +∞).
1.2.4
Sistemi di disequazioni
Esercizi 1.2.5. Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni numeriche intere.
134
( 2x − 1 > 0
3 − x < 0 [x > 3]
135
( 5x ≤ 0
7 − 2x > 0 [x ≤ 0]
136
( 1 + 2x > 0
√3 − x > 5x
"
−1 2 < x <
√3
6
#
137
( x + 2 > 5
x − 5 > 0 [x > 5]
138
x + 3
2 >x + 7 3 x − 1
5 + 1 < 0
[x ∈ ∅]
139
1
2x + 3 > x − 5 2 x − 3 − x
2 > 1
x > 5
3
140
x − 1
5 +x − 4 3 < x x + 1 < −1
−23
7 < x < −2
141
3x + 1 3 > 3 x2< (x + 5)2
x > 8
3
142
3x − 1 < 7 − 2x 2x + 5 < x − 4 4x + 7 > x − 1
[x ∈ ∅]
143
3x < 0 1 − x > 0 (2 + x)2< x2
[x < −1]
1.3 Problemi di primo grado
1.3.1
Problemi di algebra
Esercizi 1.3.1. Risolvere i seguenti problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita.
144 Se al triplo di un numero si toglie 1, si ottie- ne il doppio del numero stesso aumentato di 3.
Determinare tale numero.
145 Un ragazzo dice a un suo amico: “pensa ad un numero intero; aggiungigli il numero suc- cessivo; aggiungi 9 alla somma; dividi il risul- tato per 2; sottrai il numero pensat”. A questo punto il ragazzo dice all? esterrefatto amico:
“il risultato `e 5!”. Il risultato ottenuto `e quello corretto?
146 I tre quinti di un certo numero sommati a cin- que valgono quanto il numero stesso diminuito di 3. Determina il numero.
147 Di quanto si deve diminuire il numero 1.5 per ottenere il suo reciproco?
148 Quanti litri di vino sono contenuti in una bot- te se togliendo 12 litri ed aggiungendo i 13/7 della quantit`a rimasta si raddoppiano i litri contenuti?
149 Una fune lunga 113 m `e stata tagliata in quat- tro parti in modo che ogni parte risulti 5.5 m pi`u lunga della precedente. Trova la lunghezza della parte maggiore.
150 Due giovani iniziano a giocare con 14e e 18 e.
Alla fine il primo giocatore possiede il triplo dell’altro. Quale somma ha perso il secondo giocatore?
151 Determina due numeri sapendo che la loro somma `e il triplo della loro differenza, mentre la somma del primo con il doppio del secondo
`e 52.
152 Dieci anni fa la somma delle et`a di un padre e di un figlio era 50. Oggi l’et`a del padre `e pari al triplo di quella del figlio meno 6 anni. Quali sono le due et`a oggi?
153 Determina le misure dei lati di un rettangolo sapendo che la somma di due lati disuguali `e 7 cm e che la differenza fra il triplo del primo e i del secondo `e 10 cm.
154 L’area di un rettangolo `e 48 cm2. Se le di- mensioni aumentano di 4 cm l’area del nuovo rettangolo `e 120 cm2. Trovare le dimensioni del rettangolo originale.
155 Durante una vendita promozionale mi vengono fatte due offerte: se compero 5 paia di pantalo- ni e 2 giacche spendo 821e mentre se compro tre completi giacca e pantalone spendo 826e.
Quanto costa ogni giacca e ogni pantalone?
156 Trova due numeri naturali di cui sai che la divi- sione d`a quoziente 7 e resto 3, mentre la som- ma del doppio del dividendo con il quadrato del divisore `e uguale alla differenza fra il qua- drato della somma del divisore aumentato di 6 e il numero 16.
157 Un dietologo compila una tabella che illustra il contenuto nutritivo del pane bianco, del formaggio e dei pomodori:
Energia (Kcal) 2,53 4,12 0,14 Proteine (g) 0,083 0,254 0,009
Grassi(gr) 0,017 0,345 0,0 Quale dieta dovrebbe proporre il dietologo per fornire esattamente 2000Kcal, 80g di proteine e 45g di grassi al giorno usando soltanto questi alimenti?
158 Trova i numeri tali che la loro met`a diminuita di 2 superi il numero 5 aumentato del doppio dei numeri suddetti.
159 Trova per quali numeri il triplo della somma dei numeri stessi con 7 non supera la met`a della differenza fra i numeri e 8.
160 Trova i numeri tali che il loro quadrato au- mentato di 2 non sia minore del prodotto dei numeri per i numeri stessi aumentati di 5.
161 Laura, studentessa di psicologia, ha sostenu- to 4 esami riportando i punteggi: 28, 30, 27 e 26. Quali votazioni pu`o accettare come risul- tato per il quinto esame se vuole garantirsi una media che non sia inferiore a 27?
162 La signora Rossi va al supermercato e vuole ac- quistare 3 confezioni di pasta a 1.55e ciascu- na, 2 barattoli di caff`e a 8.25e ciascuno e delle scatolette di tonno che costano 2.45e ciascu- na. La signora Rossi ha nel portamonete 32e.
Quante scatolette pu`o acquistare? Se compe- ra il numero massimo di scatolette consentite dalla somma a disposizione, quanto resta nel portamonete?
12 1.3. Problemi di primo grado
163 Trova i numeri che soddisfano contemporanea- mente la seguenti condizioni:
(a) Il loro triplo diminuito di 1 supera il loro doppio aumentato di 5;
(b) La met`a della somma fra tali numeri e 4 non supera 10.
164 Trova i numeri che soddisfano contemporanea- mente la seguenti condizioni:
(a) Il doppio dei numeri diminuiti di 1 non supera il triplo dei numeri;
(b) La met`a di tali numeri aumentata di 3 supera i numeri diminuita di 2;
(c) La terza parte della somma dei numeri con 1 `e minore della met`a della differenza tra i numeri e 1.
165 Il serbatoio della mia auto contiene fino a 55 litri di benzina. Vado dal benzinaio con la som- ma di 90e. Sapendo che la benzina verde co- sta 1.8e il litro, qual `e la quantit`a massima di benzina che posso mettere nel serbatoio?
166 Una famiglia di tre persone sostiene spese di trasporto per il tram non inferiori a 15e men- sili per persona. Nel bilancio della famiglia
`e prevista una spesa massima settimanale di 20e. Quali possono essere le spese mensili della famiglia per il tram?
167 Un’azienda manifatturiera trasforma dei pez- zi semilavorati che acquista a 7.50e l? uno.
Sapendo che i costi fissi mensili ammontano a 300000e, che i pezzi vengono riveduti a 15 e l’uno e che la produzione non pu`o superare le 60000 unit`a, determina quanti pezzi possono essere prodotti per non andare in perdita.
168 Qual `e quel numero che sommato a 42 d`a i 10/3
del numero stesso? [18]
169 Sommando 15 al doppio di un numero si otten- gono i 7/2 del numero stesso. Qual `e il nume-
ro? [10]
170 Dividere il numero 42 in due parti in modo che i 7/8 della prima parte superano di 3 la secon-
da. [24, 18]
171 Determinare due numeri consecutivi pari tali che dividendo il doppio del maggiore per il mi- nore si ottenga per quoziente 2 e per resto 2.
[impossibile]
172 Determinare due numeri consecutivi pari sa- pendo che dividendo il doppio del maggiore per il minore si ottiene per quoziente 2 e per resto
4. [indeterminato]
173 Dividendo tra loro due numeri si ottiene per quoziente 3 e per resto 2; determinare i due numeri sapendo che il maggiore supera di 7 il
doppio del minore. [5, 17]
174 L’et`a di una madre supera di 18 anni la som- ma dell’et`a delle due figlie e l’et`a della figlia maggiore `e i 5/3 dell’et`a della sorella. Deter- minare le loro et`a sapendo che fra 2 anni l’et`a della madre sar`a il triplo di quella della figlia
maggiore. [34, 10, 6]
175 Un negoziante vende prima 1/4 di una pezza di stoffa, poi i 2/3 della stoffa rimasta; deter- minare la lunghezza della pezza sapendo che, dopo le due vendite, rimangono 15 m.
[60 m]
176 Un asta alta 15 m deve essere divisa in 3 parti in modo che la prima parte superi la seconda di 21 dm e la seconda parte superi di 26 dm i 3/5 della terza. Determinare la lunghezza di ciascuna parte. [6.8m, 4.7m, 3.5m]
177 In un numero di due cifre, la somma delle cifre
`
e 10 e la cifra delle unit`a supera di 8 quella delle decine. Trovare il numero. [19]
178 Trovare un numero di due cifre sapendo che la cifra delle unit`a supera di 2 la cifra delle deci- ne e che il numero `e il quadruplo della somma
delle sue cifre. [24]
179 In un numero di due cifre la cifra delle deci- ne supera di 1 quella delle unit`a; dividendo il numero per la somma delle cifre si ottiene per quoziente 6 e per resto 2. Trovare il numero.
[32]
180 Un negoziante vende prima 1/3, poi i 2/5 di una pezza di stoffa e successivamente 1/4 della parte rimasta; sapendo che complessivamente vende 48 m, determinare quanti metri riman- gono ancora da vendere. [12 m]
181 Un negoziante vende i 2/5 di una partita di olio ad un primo compratore; ad un secondo vende 1/3 della quantit`a rimasta e ad un terzo com- pratore la met`a della quantit`a d’olio rimasta dopo le prime due vendite; alla fine rimangono ancora 16 litri da vendere. Quanti litri ha ven- duto complessivamente il negoziante? [64 l]
182 Una somma di 50.000e `e formata con banco- note da 50e, 100 e e 200 e; il numero delle banconote da 200e `e i 3/2 del numero delle banconote da 100e. Determinare il numero delle banconote da 50e sapendo che `e i 4/5 del numero complessivo delle altre banconote.
[200]
183 Una somma di denaro viene divisa fra tre per- sone; la prima prende il doppio della seconda, che prende i 4/3 della terza. Determinare il valore della somma sapendo che la prima per- sona prende 5000 pi`u della terza. [15000e]
184 Si narra che sulla tomba del celebre matema- tico greco Diofanto fosse scolpita la seguente iscrizione:
“Qui Diofanto ha la sua tomba che a te rivela con l’aritmetica quanti anni egli visse. Egli pass`o 1/6 della vita nell’infanzia, 1/12 adolescenza, 1/7 nella giovinezza. Poi si ammogli`o e dopo 5 anni ebbe un figlio che fisse la met`a della vita del padre; il pa- dre gli sopravvisse ancora 4 anni mi- tigando il suo dolore con lo studio dell’aritmetica.”
A che et`a mor`ı Diofanto? [84]
185 Da un blocco di ferro di 21 kg si ricavano dei chiodi, ciascuno dei quali pesa 15 g. Determi- nare il numero di chiodi che si possono ricava- re, sapendo che nella lavorazione c’`e uno scarto che `e pari ai 2/5 del peso dei chiodi prodotti.
[1000]
186 Un tondino di ferro lungo 4.6 m deve essere di- viso in 3 parti, tali che la prima sia 2/3 della seconda e 3/4 della terza. Determinare la lun- ghezza delle tre parti.
[1.2 m, 1.8 m, 1.6 m]
187 Due mattoni pesano un chilogrammo pi`u 3/2 mattoni. Quanto pesa un mattone, supponen- do che tutti i mattoni considerati siano di ugual
peso? [2 kg]
188 Una persona impiega una parte del suo capitale al 7% per 2 anni e 4 mesi e la parte rimanente, che `e doppia della prima, all’8% per 3 anni e 6 mesi. Alla fine riscuote l’interesse complessivo di 2170e. Qual era il capitale impiegato.
[9000e]
189 Un capitale di 36000e dopo un certo tempo `e diventato coi suoi interessi 38340e. Per met`a del tempo `e stato impiegato al 3%, per 1/5 del tempo al 4.5% e per il tempo rimanente al 5%.
Per quanto tempo `e stato impiegato quel capi-
tale? [1 anno e 8 mesi]
190 Il fatturato di un’azienda, nel 2007, `e aumenta- to del 20% rispetto al 2006. Nel 2008 il fattu- rato `e aumentato ancora del 5% rispetto all’an- no precedente. Sapendo che in quei due anni
il fatturato `e aumentato di 52000e, calcolare il fatturato nel 2008. [252000e]
191 Due macchine producono complessivamente 72 pezzi in un certo tempo. Per confezionare un pezzo, la prima macchina impiega 40 secondi e la seconda 50 secondi. Determinare quan- ti pezzi ha prodotto ciascuna macchina e per quanto tempo ciascuna ha lavorato.
[40, 32, 26 minuti e 40 secondi]
192 Un ingranaggio `e composto di due ruote denta- te, rispettivamente con 24 e 72 denti. Quando le due ruote hanno compiuto complessivamen- te 160 giri, quanti giri ha compiuto ciascuna
delle due? [120, 40]
193 Due tubi di ferro di eguale calibro sono lun- ghi rispettivamente 8.4 m e 5.6 m. Calcolare la lunghezza del pezzo che si deve togliere dal primo tubo e saldare poi al secondo perch`e il doppio del primo risulti i 3/2 del secondo.
[2.4 m]
194 Un litro di una certa soluzione salina contiene sale al 4; si vuol diluire la soluzione fino al 2.5. Quanti litri d’acqua bisogna aggiunge-
re? [0.6 l]
195 Si devono preparare 2 quintali di una lega di ferro, nichel e carbonio. Sapendo che il peso del ferro adoperato `e 5 volte quello del carbo- nio che `e, a sua volta, 1/4 del peso del nichel, determinare il peso di ciascun componente ado-
perato. [100 kg, 80 kg, 20kg]
196 Una biblioteca acquista nuovi volumi incre- mentando cos`ı del 25% la sua dotazione. L’an- no successivo vengono effettuati ulteriori ac- quisti, incrementando in tal modo la dotazione del 10% rispetto ai volumi posseduti al mo- mento dell’acquisto. Sapendo che nei due anni sono stati acquistati 6000 volumi, quanti volu- mi possiede ora la biblioteca?
[22000 volumi]
197 Pierino ha aperto il rubinetto della vasca da bagno, e sa che per riempirla occorreranno 10 minuti. Si `e per`o dimenticato di sistemare be- ne il tappo sul fondo. In queste condizioni la vasca, se fosse gi`a piena e se i rubinetti fosse- ro chiusi, si svuoterebbe in 15 minuti. Quanto tempo occorre per riempirla col tappo cos`ı si-
stemato? [30 minuti]
14 1.3. Problemi di primo grado
1.3.2
Problemi di geometria Problemi di geometria piana
Esercizi 1.3.2. Risolvere i seguenti problemi.
198 Determinare gli angoli di un triangolo isoscele sapendo che l’angolo al vertice `e doppio di cia- scuno degli angoli adiacenti alla base.
[90°, 45°, 45°]
199 Determinare l’ampiezza degli angoli di un triangolo isoscele sapendo che ciascuno degli angoli alla base `e i 2/5 dell’angolo al vertice.
[100°, 40°, 40°]
200 Il perimetro di un rettangolo `e 120 cm; calco- lare l’area del rettangolo sapendo che la base `e tripla dell’altezza. 675 cm2 201 Determinare le diagonali di un rombo sapendo che la maggiore `e i 15/8 della minore e la loro differenza `e 21.14 m. [45.30 m, 24.16 m]
202 Determinare il perimetro e l’area del rettan- golo ABCD sapendo che AB ∼= 209BC e che
3
5AB − 34 cm = 49BC +163AB.
464 cm, 11520 cm2
203 Nel triangolo isoscele ABC, la base BC supera di 22 cm l’altezza AH. Determinare il perime- tro del triangolo sapendo che45BC+74AH = 38
cm. [64 cm]
204 Nel trapezio rettangolo ABCD, AB `e la base maggiore e AD il lato perpendicolare alle ba- si. Si sa che AD ∼= 34AB e CD ∼= 1112AD; la somma delle basi `e 54 cm. Dopo aver determi- nato la base maggiore AB, determinare l’area del trapezio ed il perimetro.
32 cm, 648 cm2, 104 cm
205 Nel trapezio rettangolo ABCD, la base mino- re CD `e di 9 cm e la diagonale AC, perpen- dicolare al lato obliquo BC, `e i 3/5 della base maggiore AB. Si sa che AC + 2BC = 55 cm.
Determinare il lato obliquo e la base maggiore del trapezio. Successivamente calcolare il peri- metro e l’area del trapezio.
20 cm, 25 cm, 66 cm, 204 cm2
206 Il perimetro di un triangolo isoscele `e di 98 cm e l’altezza `e i 7/25 di ciascuno dei due lati con- gruenti. Determinare l’area del triangolo.
168 cm2
207 Sia O il punto d’incontro delle diagonali del rombo ABCD di cui si conoscono le seguen- ti relazioni: AD ∼= 257OD e 43AO + 25AD =
7
6AC− 14 cm. Determinare l’area del rombo.
336 cm2
Problemi di geometria solida
Esercizi 1.3.3. Risolvere i seguenti problemi.
208 In un parallelepipedo rettangolo, avente il peri- metro della base di 22.4 dm, un lato della base
`e i 3/5 dell’altro. Determinare gli spigoli del parallelepipedo, sapendo che la superficie late- rale `e di 224 dm2. [7 dm, 4.2 dm, 10 dm]
209 In un parallelepipedo rettangolo, la somma del- le tre dimensioni `e di 50 cm, una dimensione
`e la m et`a della maggiore e il triplo della mi- nore. Trovare l’area della superficie totale e il volume del solido. 1350 cm2, 2250 cm3 210 Un parallelepipedo retto ha per base un ret- tangolo di perimetro 44.8 cm, i cui lati sono in rapporto 3/5. Determinare il volume del paral- lelepipedo, sapendo che l’area della superficie totale `e 1131.20 cm2. 2352 cm3 211 La somma del lato di base e dell’altezza di una piramide quadrangolare regolare `e 70 cm e il loro rapporto `e 3/2. Determinare il volume
della piramide. 16464 cm3
212 In una piramide quadrangolare regolare il lato di base `e i 10/13 dell’apotema e la loro diffe- renza `e di 1.2 cm. Determinare la superficie totale e il volume della piramide.
57.6 cm2, 25.6 cm3
213 Un solido `e formato da un cubo sormontato da una piramide retta avente per base una faccia del cubo. Lo spigolo del cubo `e i 5/7 dello spi- golo laterale dell piramide e la somma di tutti gli spigoli del solido `e di 352 cm. Determinare gli spigoli del solido. [20 cm, 28 cm]
214 Un solido `e formato dalla somma di due pira- midi regolari avanti in comune la base che `e un quadrato di lato 8 cm; il rapporto delle altezze delle due piramidi `e 13/50 e la distanza dei due vertici `e di 9.45 cm. Determinare il volume del solido e le altezze delle due piramidi.
201.6 cm3, 7.5 cm, 1.95cm
215 L’altezza di un cilindro `e i 3/2 del raggio della
sua base e la loro somma `e 40 cm. Determinare il volume del cilindro. 19292.16 cm3 216 Determinare il raggio di un cilindro sapendo che l’altezza `e i 5/3 del raggio e che la somma dell’altezza con i 3/4 del diametro `e di 5.7 cm.
[1.8 cm]
217 La somma dell’altezza di un cono con il raggio di base `e 51 cm e 1/4 dell’altezza `e congruente ai 3/5 del raggio. Determinare il peso del so- lido supposto che sia formato da ferro di peso specifico 7.8 kg/dm3. [66.13 kg]
2
Algebra di secondo grado
2.1 Equazioni di secondo grado
2.1.1
Equazioni numeriche intere
Esercizi 2.1.1. Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere.
218 x2= 1 [x = ±1]
219 x2+ 25 = 0 [x ∈ ∅]
220 x2− 6x = 1 h
x = 3 ±√ 10i
221 (x − 2)(x + 2) = 0 [x = ±2]
222 x + 1
2 −x2+ 3
3 =x2− 3
6 [x = 0 ∨ x = 1]
223 x2− 3x = 5
"
x = 3 ±√ 29 2
#
224 x2+ x = 6 [x = 2 ∨ x = −3]
225 x2− 2√
3x − 9 = 0 h
x = −√
3 ∨ x = 3√ 3i
226 (2 − x)2+x2− 1
3 = 2 (x − 1)2+ 1
[x ∈ ∅]
227 3x2= 2(1 +√
3x2) − (x2− 2) h
± √ 3 + 1i
228 3x2− 6x = 5 h
1 ± 2/3√ 6i
229 x2+ 2x − 35 = 0 [x = −7 ∨ x = 5]
230
x + 1
2
2
= 25 36
x = 1
3 ∨ x = −4 3
231 (2x + 1)2−x2
2 = 4x −x2
2 [x ∈ ∅]
232 x2 9 +2x
3 + 1 = 0 [x = −3]
233 (x + 1)2= (x − 1)2+ 4x [x ∈ R]
234 2
3 =x2− 1
6 +2
3 −x − 1
3 [x = 1]
235 x2− 2√
3x + 2 = 0 h
x =√ 3 ± 1i
236 (2x − 1)2+ 18 = 4(2 − x)(x + 2) [x ∈ ∅]
237 √
5x2− 4x −√ 5 = 0
x =√
5 ∨ x = − 1
√5
2.1.2
Equazioni numeriche fratte
Esercizi 2.1.2. Risolvere le seguenti equazioni numeriche fratte.
238 1
1 − x+ x
1 + x+ 1
x2− 1 = 0 [x = 0 ∨ x = 2]
239 3
x + 3 = 1 − 2 x + 2
h x ±√
6i
240 x −3
2 + 4
2x + 3= 0
x = ±1
2
241 x + 1
1 − x = x + 12
x − 12, con x ∈ Q [x ∈ ∅]
242 4 + x 3 −5
x =7 − x
6 , con x ∈ N [x = 3]
243 1
x + 2 − 2 + x
4x − 8 = 10 + 3x
4 − x2 [x = 14]
18 2.1. Equazioni di secondo grado
244 x2+ 1
4x2+ 4x + 1− x
6x + 3 = 5
12(2x + 1)2 − x − 1 4x + 2
x = 1
2∨ x = 1 8
245 x − 1 x2− 4
12x − 24 x2− 1 + 2
x + 1
x − 2
: x2− 1
3x − 6 = 3 + x 2x + 4
x = 3
11
246
2x −1 + 2x2 x + 3
x2+ 4x + 3
4x2− 9 − 13 + 6x 24x − 36=
3
x + 3− 1
: 2x2− 3x x2− 9
x = −53 42
247 x√ 2 8 − 1 −
√2 4
! :
√2 x − 2 +
1 + 1
x
:
√2 + 12
x = 0 h
x = 2 √
2 + 1 ∨ x = 2 9√
2 − 11i
2.1.3
Applicazioni sul discriminante
Esercizi 2.1.3. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e coincidenti.
248 x2− 2(k − 1)x + k2= 0 [k = 1/2]
249 x2+ (2k − 1)x + k2= 0 [k = 1/4]
250 k2x2− 2kx + 1 = 0 [k 6= 0]
251 4k2x2− 12kx + 9 = 0 [k 6= 0]
Esercizi 2.1.4. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e distinte.
252 x2− 2x + k = 0 [k < 1]
253 x2+ 2kx + (k − 1)2= 0 [k > 1/2]
254 x2− (2k + 1)x + (k2+ k − 2) = 0 [k ∈ R]
255 (k − 2)x2+ 2kx + k − 2 = 0 [k > 1 ∧ k 6= 2]
256 x2− (k − 4)x + 2k = 0
257 x2+ k2+ 1 = 0 [k ∈ ∅]
Esercizi 2.1.5. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni complesse coniugate.
258 x2− 2x + k = 0 [k > 1]
259 x2+ 2(k − 1)x + k2− k = 0 [k > 1]
260 4x2+ 4x + 4k2+ 5 = 0 [k ∈ R]
261 x2− 2kx + k2+ 4 = 0 [k ∈ R]
262 x2+ k = 0 [k > 0]
263 x2− (k2− 1) = 0
2.1.4
Relazioni fra soluzioni e coefficenti di una equazione di secondo grado
Esercizi 2.1.6. Risolvere i seguenti problemi inerenti equazioni di secondo grado dove con x1 e x2 sono state denotate le eventuali soluzioni corrispondenti.
264 Nell’equazione x2 − 2(k + 1) − (k − 1) = 0, determinare k in modo che risulti:
(a) x1= x2; [k = 0]
(b) x1= 2. [k = −3]
265 Nell’equazione x2− (3k − 2)x + (k2− 1) = 0, determinare k in modo che sia x2= 3x1
[k = 14/11 ∨ k = 2]
266 Nell’equazione x2− 2(m + 2)x + (2m2− 8) = 0, determinare m in modo che sia:
(a) x1= 0; [m = ∓2]
(b) x1= −x2; [m = −2]
(c) x1+ x2= 4/3. [m = −4/3]
267 Nell’equazione (m − 1)x2+ 5mx + 11m − 8 = 0, determinare m in modo che sia:
(a) una radice nulla; [k = 8/11]
(b) una radice il quadruplo dell’inversa del-
l’altra. [k = 4/7]
268 Nell’equazione 8mx2− 2(3m − 2)x + m − 1 = 0, determinare m in modo che:
(a) le radici siano reali e coincidenti;
(b) le radici siano opposte;
(c) le radici siano reciproche;
(d) la somma degli inversi delle radici sia 4;
(e) il prodotto delle radici sia doppio della loro somma.
269 Nell’equazione (2x − 1)x2− 2(k − 1)x + 3k = 0, determinare k in modo che:
(a) una radice sia eguale a − 1;
(b) la somma dei quadrati delle radici sia 4;
(c) la somma degli inversi delle radici sia 1/3.
270 Nell’equazione x2 − 3x + (k − 1) = 0, determinare k in modo che x31+ x32= 81.
271 Nell’equazione x2+ (k − 2)x + (k − 1) = 0, determinare k in modo che sia:
(a) x1+ x2= 3; [k = −1]
(b) x1x2= 8; [k = 0]
(c) x1= 0; [k = 1]
(d) x21+ x22= 1; [k = 1]
(e) x31+ x32= 1.
272 Senza risolvere l’equazione ax2+ bx + c = 0, esprimere, per mezzo dei coefficienti, la somma dei cubi dei reciproci delle radici.
273 Nell’equazione 2(h−1)x2+2(h−3)x−(h+1) = 0, determinare h in modo che sia:
(a) x1= x2; [h ∈ ∅]
(b) x1+ x2 x1x2
=17 13;
h = 95
9
(c) x1(x1+ x2) + x2(2x1+ x2) = −1/2;
[h = 2 ∨ h = 5]
274 Nell’equazione x2− 2(k − 3)x − (3 − k) = 0, determinare k in modo che sia:
(a) x1= x2; [k ∈ ∅]
(b) x1= −1; [k = 1]
(c) x21+ x22= 85 15;
k = 3
8 ∨ k = 9 8
275 Nell’equazione (k + 1)x2− 2mx + km = 0, con m 6= 0, determinare k in modo che sia:
(a) x1= 0; [k = 0]
(b) x1+ x2= m; [k = 1]
(c) 1 x1+ 1
x2 = 3m;
k = 2
3m
(d) −m(x1+ x2) + x1x2= 0; [k = 2m]
2.2 Disequazioni di secondo grado
2.2.1
Disequazioni numeriche intere
Esercizi 2.2.1. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche intere.
276 4x2> 0 [x 6= 0]
277 x2> 1 [x < −1 ∨ x > 1]
278 x2+ 4 > 0 [x ∈ R]
279 −3x2< 0 [x 6= 0]
280 x − 3x2> 0
0 < x <1 3
281 5x2− 4x > 0
x < 0 ∨ x > 4 5
282 x2+ 2 < 0 [x ∈ ∅]
283 x2− x > 0 [x < 0 ∨ x > 1]
284 2x − x2≥ 0 [0 ≤ x ≤ 2]
285 x2− 2x + 1 > 0 [x 6= 1]
286 x2− 5x + 5 > 0 [x < 2 ∨ x > 3]
287 −x2+ 2x − 5 > 0 [x ∈ ∅]
288 4x(x − 2) ≤ 11 + (x − 4)2 [−3 ≤ x ≤ 3]
289 2x2+ 16x + 32 > 0 [x 6= −4]
290 4x + 21 − x2> 0 [−3 < x < 7]
291 x2
4 − x < 21
4 [−3 < x < 7]
292 4(x2− 1) < 4x − 1 1
2 < x < 3 2
293 (3x + 2)2≥ (3x − 2)3 [x ∈ R]
294 x2< 4√
3(x −√
3) [x ∈ ∅]
295 x − (2x −√
5)(x +√ 5) +√
5 ≤ 0
"
x ≤ −√
5 ∨ x ≥ 1 +√ 5 2
#
2.2.2
Disequazioni letterali intere
Esercizi 2.2.2. Discutere la risoluzione delle seguenti disequazioni intere letterali nella variabile x.
20 2.2. Disequazioni di secondo grado
296 x2− mx ≤ 0
m < 0 ⇒ m ≤ x ≤ 0
m = 0 ⇒ x = 0
m > 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ m
297 x2− 4mx + 4m2> 0 [x 6= 2m]
298 x2≤ 4a4 −2a2≤ x ≤ 2a2
299 a2x2− 2a2x + a2− 1 > 0 con a > 0
x < a − 1
a ∨ x > a + 1 a
300 3x2− 2bx − b2> 0
b < 0 ⇒ x < b ∨ x > −b3
b = 0 ⇒ x 6= 0
b > 0 ⇒ x < −3b∨ x > b
301 ax2− (a2− 2)x − 2a > 0
a < −2 ⇒ x < a ∨ x > −2 a = −2 ⇒ x > 0 a > −2 ⇒ x < −2 ∨ x > a
302 x2+ (2 − a)x − 2a > 0
a < −2 ⇒ x < a ∨ x > −2
a = −2 ⇒ x 6= −2
a > −2 ⇒ x < −2 ∨ x > a
303 2x2− (a − 1)x − a(a + 1) ≤ 0
a < −13 ⇒ a ≤ x ≤ −a+12 a = −13 ⇒ x = −13 a > −13 ⇒ −a+12 ≤ x ≤ a
304 (x + a)(x − a) ≥ 1 − 2a
a < 1 ⇒ x ≤ a − 1 ∨ x ≥ 1 − a
a = 1 ⇒ x ∈ R
a > 1 ⇒ x ≤ 1 − a ∨ x ≥ a − 1
305 2a(x − 1)2− x(1 − 4a) − 2a ≤ 0
a < 0 ⇒ x ≤ 2a1 ∨ x ≥ 0
a = 0 ⇒ x ≥ 0
a > 0 ⇒ x ≤ 0 ≤ x ≤ 2a1
2.2.3
Disequazioni numeriche fratte
. . . .Linee guida allo svolgimento degli Esercizi2.2.3.
Mediante il 1° principio di equivalenza per dise- quazioni ed il 2° a patto che coinvolga termini di segno costante (ad esempio quelli numerici in cui non compaiono l’incognita e/o altri parametri), si riconduce la disequazione fratta nella forma
A(x) B(x) Q 0,
detta forma normale, con A e B polinomi di primo
e/o secondo grado. Poi si studiano separatamente i segni di A e B in funzione di x. A tale scopo si calcolano le radici e i coefficienti direttori di A e B applicando la seguente regola: un polinomio di se- condo grado assume all’esterno delle sue radici lo stesso segno del coefficiente direttore e discorde al- l’interno. Procedendo con la composizione dei segni di A e B, si ottengono i segni di A/B mediante i quali si pu`o rispondere alla disequazione iniziale.
. . . . Esercizi 2.2.3. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche fratte.
306 (x − 1)3x
2x − 6 ≥ 0 [0 ≤ x ≤ 1 ∨ x > 3]
307 4x2+ 4x + 1 x2+ x + 5 ≥ 0
x = −1
2
308 x − 1
x2+ 2x + 2< 0 [x < 1]
309 3x2− x − 2 6x2− x − 7 < 0
−1 < x < −2
3 ∨ 1 < x < 7 6
