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REGOLE DI DERIVAZIONE Derivata della somma di due o più funzioni. La derivata della somma di due o più funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni.

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Academic year: 2021

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(1)

REGOLE DI DERIVAZIONE

Derivata della somma di due o più funzioni. La derivata della somma di due o più funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole

funzioni.

   

f x g x

f'

 

x g'

 

x Esempio. Calcolare la derivata della funzione y x2x1 Risulta: y

 

x2

   

x 1 2x102x1

Derivata del prodotto di una costante per una funzione. La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.

k·f

 

x

k·f'

 

x Esempio. Calcolare la derivata della funzione y 4x3 Risulta: y

     

4x3 4·x3 4·3x2 12x2

Derivata del prodotto di due funzioni. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata, più il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda funzione.

 

f ·g f·g f ·g Esempio. Calcolare la derivata della funzione y x2·ex

Risulta: y

   

x2·ex x2 ·exx2·

 

ex 2xex x2ex ex

2xx2

(2)

Derivata del quoziente di due funzioni. La derivata del quoziente di due funzioni è uguale ad una frazione avente per numeratore il prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata, meno il

prodotto della prima funzione per la derivata della seconda funzione, e per denominatore il quadrato della funzione divisore.

2

·

· g

g f g f g

f

Esempio. Calcolare la derivata della funzione sin2 x y  x

Risulta:

   

   

3 4

4 2

4 2 2 2

2 2

2

sin 2 cos sin

2 cos

·

sin 2 cos 2

· sin

· cos

· sin

· sin sin

x

x x

x x

x x

x x

x

x x x x

x

x x x

x x

x x x

x x

y x

Derivata di una funzione composta. La derivata di una funzione composta f

g

 

x

è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna f per la derivata della funzione interna g.

g

 

x

f

g

 

x

g

 

x

f ·

Esempio 1. Calcolare la derivata della funzione y ex2 . La funzione esterna è l’esponenziale ex; la funzione interna è x2.

Risulta: y

 

ex2 ex2·

 

x2 ex2·

 

2x 2xex2

Esempio 2. Calcolare la derivata della funzione y 

 

ln x 2. La funzione esterna è il quadrato; la funzione interna è lnx.

Risulta: y

  

lnx 2

2lnx·

 

lnx 2lnx·1x 2lnx x

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