Grandezze fisiche Scalari e Vettoriali

Grandezze fisiche Scalari e Vettoriali

Grandezze fisiche scalari: possono essere rappresentate con un numero, che puó essere positivo o negativo, seguito da una unità di misura.

Es.: massa, volume, temperatura, potenza, energia etc.

Grandezze fisiche vettoriali: per essere definite hanno bisogno di 3 parametri intensità ( o modulo) direzione e verso. Lo strumento matematico per descrivere queste grandezze sono i vettori

Es.: velocitá , accelerazione, forze, etc.

I Vettori

• Operazioni con i vettori:

Somma, Differenza, Prodotto scalare e Prodotto vettoriale

Esempio di equazione vettoriale:

F = m  a

caso 3D

z

A_z

Rappresentazione grafica di una grandezza

vettoriale A: una freccia nello spazio definita dalle componenti A_x, A_y, A_z

•il modulo del vettore si indica con A o | A | ed é rappresentato dalla lunghezza della freccia

Componenti di un vettore

• Rappresentazione grafica di un vettore in un piano

• e nello spazio tridimensionale

3

-La retta su cui giace la freccia indica la direzione

-La lunghezza della freccia il modulo (numero sempre positivo) -La punta il verso

Modulo : |A|=√A_x²+A_y²

o

A



tan=A_y/A_x

Modulo : |A|=√A_x²+A_y²+A_z² tan=A_y/A_x cosϕ=A_z/A

A_X= Asinfcos A_Y = Asinfsin A_Z = Acosf ì 

í ï  î ï 

A = (A_X² + A_Y² + A_Z²) cosf = A_Z A

tan = A_Y A_X ì 

í ï  ï  î ï  ï 

A_y A_x ^x

y

• Sono vettori di modulo unitario di solito usati per indicare direzione e verso degli assi di un sistema di riferimento.

• Ad esempio direzione e verso dell’asse X e Y si indicano con rispettivamente

I versori

0 ˆx ˆy

ˆx (o ˆi ) e ˆy (o ˆj )

Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: verticale

Verso: dal basso verso l’alto

Scomposizione di un vettore nelle sue componenti sugli assi in un sistema cartesiano

a y

x a_y

a_x

Operazioni con i vettori

xˆ

ˆy

Esempio 1

Determinare le componenti di un vettore con modulo 3.5 m e direzione 66^°

Dunque il vettore si può esprimere come:

m 1.4 66

cos m)

(3.5 θ

cos A

A

=  =

=

m 3.2 66

sen m)

(3.5 θ

sen A

A_y =  = ^o =

A  = (1.4 m) ˆi + (3.2 m) ˆj

Esempio 2

Determinare modulo e direzione di un vettore con componenti AX=1.4 m e Ay=3.2 m

Il modulo del vettore sarà:

L’angolo  si ottiene da:

m 3.5 m)

(3.2 m)

4 . 1 ( A

A A

A = = ²_x + ²_y = ² + ² =

o x

y atan 2.25 66

m 1.4

m atan 3.2

A atan A

θ = = = =

A  = (1.4 m) ˆi + (3.2 m) ˆj

• Moltiplicazione di un vettore A per uno scalare ossia un numero n n^.A= C (vettore )

C=-2A A

Operazioni con i vettori

Il vettore C che si ottiene ha:

•Direzione uguale ad A

•Verso uguale od opposto (dipende dal segno del numero n )

•Modulo = prodotto dei moduli |n |x|A|

Somma di due vettori a+b: Regola del parallelogramma

b c

a₁ + b₁

10m 15m

= c₁

25m

a₂ + b₂

10m 15m

= c₂

5m

a₃ + b₃ =

a₃ b₃

c₃

10m 15m 18m

• Somma di due vettori

La differenza di due vettori si riconduce alla somma a con (-b)

dove (-b) è il vettore opposto del vettore b che si ottiene cambiando solo il verso a b

• Differenza di due vettori

a

b c

-b

• Prodotto scalare

a b _

O

B

H

Il prodotto scalare di due vettori é uno scalare Dati due vettori a e b di componenti:

di conseguenza

Il prodotto scalare:

- è massimo quando i due vettori sono paralleli (l’angolo compreso =0)

-è nullo quando i due vettori sono ortogonali - è minimo e vale: -|a||b| quando I due

vettori sono antiparalleli

• Prodotto scalare

il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore il prodotto vettoriale di due vettori non nulli è nullo se e solo se i vettori sono tra loro paralleli;

• Prodotto vettoriale

Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km, come mostrato in figura  = 30°)

Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est.

Esercizio

A S

S_nord

NN



Soluzione

= spostamento dello stormo = 30 km

O = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso est

Si costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonale individuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette.

A S

S_nord

NN

|S| S = S_est + S_nord

S_nord = S sin  =  km S_est = S cos  =  km



n. 38, pag. M88 Walker

Si immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il piano ?

Soluzione

S’imposta il sistema:

da cui si ricava

m 10 s =

senθ s

y = 

sen = y

s = 0.3

y

s

 Esercizio

Il piano inclinato

Gli Egizi e le piramidi

Piramide = piano inclinato

Il piano inclinato rende più agevole lo spostamento dei carichi (blocchi di pietra).

Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta

proiettando P lungo la direzione del piano inclinato.

P_// = Psin

= P cos

Esempio di somma di vettori

Un aereo vola da Bari a Roma  AB = 388 km

quindi l’aereo vola da Roma a Milano  BC = 472 km Lo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di Bari è dato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia dal vettore che congiunge Bari con Milano  AC = 740 km

C

B A

vettore risultante uguale somma vettori

BARI ma

MILANO

Esercizio

Una barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone

che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale.

Sapendo che:

 = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N Determinare la forza necessaria per trainare la barca.

/2/2

Soluzione:

 = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB OH = OA cos ( =  cos ( =   

forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’

        O A

H /2/2

Dagli esercizi dei compiti

• Un vettore A di modulo 3 è diretto in verso concorde lungo l’asse x di un sistema di assi caretsiani mentre il vettore B di modulo 4 è diretto lungo l’asse y ma in verso discorde. Calcolare il modulo e l’angolo formato con l’asse x del vettore C=A+B

• Dati i due vettori ā = 5x+ 0y+ −1z e ī = −1x+5y+0z. Determinare il modulo della somma ū= ā+ ī e l’angolo compreso tra ā e ī