Grandezze scalari e vettoriali   A = AA

Grandezze scalari e vettoriali

v

θ=35°

E N

Distanza, massa, temperatura ecc. sono completamente definite da 1 numero (+ un. misura).

Sono grandezze scalari

Un vettore “A” si indica con A oppure il suo modulo so indica

A  A =  A

Velocità, forza, spostamento ecc. sono caratterizzati da

♦  intensità o modulo (es. aereo viaggia a velocità di 700 km/h)

♦   direzione (la traiettoria forma un’angolo di 35

con direzione E)

♦   verso (nord-est)

Sono grandezze vettoriali

per esse si utilizza l’ente matematico vettore

Rappresentazione di un vettore

Ad es. Il vettore posizione OP in un piano (2D)

•  lunghezza OP ( a=|a| )

•  angolo orientato rispetto ad una retta data

(rappresentazione in coordinate polari)

•  Componenti X e Y rispetto ad un sistema di assi cartesiani (coordinate cartesiane)

!"

! #

$

= +

=

!"

! #

$

=

=

X Y

Y X

Y X

a a

a a

a a

a

a a

θ θ θ

tan

) (

sin

cos

direzione e verso

$

Relazione fra le 2 rappresentazioni

Graficamente: segmento orientato (freccia) modulo

a

O θ

a _P

In alternativa:

a

x y

a

a

O

P

$

$ _a

X

, a

sono le “componenti cartesiane” di a

€

A

= Asin φ ^cos θ A

= Asin φ ^sin θ A

= Acos φ

$

% &

' &

A = (A

+ A

+ A

) cos φ = A

A

tan θ = A

A

$

%

&

&

'

&

&

Trasformazione coordinate cartesiane / coordinate polari

In 3D, servono 3 componenti:

3 componenti cartesiane: A

, Ay, A

oppure

modulo + 2 angoli: A, θ , φ

θ φ

caso 3D!

x

y z

A

A

A

A

A

Vettori

Terna cartesiana destrorsa.

Due vettori sono uguali <=>

•   sono uguali modulo, direzione e verso

•   sono uguali le componenti X, Y, Z

Dati i vettori AB e BC A

B C

a

b 

c

Il vettore AC

si dice somma di AB e BC

AC BC

AB + =

c b

a   

= +

A

B C

a

b 

c Regola del parallelogramma

Operazioni con i vettori

Somma

somma (differenza) prodotto scalare prodotto per uno scalare prodotto vettore

Questa regola riproduce anche la somma di due forze, due velocità ecc.

b a c b

a − ≤ ≤ +

Disuguaglianza triangolare:

c b

a   

= +

! !

"

! !

#

$

+

=

+

=

+

=

Z Z

Z

Y Y

Y

X X

X

b a

c

b a

c

b a

c

A

A

A

A

A

A

S

€

S =   A

K =1 6

∑

Somma di vettori

Spesso conviene usare le componenti cartesiane:

€

S

= A

K =1 6

∑

S

= A

K =1 6

∑

S

= A

K =1 6

∑

Somma di più vettori:

Rappresentazione grafica

A

B C

a

b 

c

$ $

a

€

b

A B

B

A     +

= +

) C B ( A C

) B A

(       + +

= + +

proprietà commutativa

proprietà associativa

A

B C

B

A

A

B C

A

B C

Somma di vettori. Proprietà

Scalare (k) per Vettore (A):

A 

A  2 A 

A 

−

Z Z

Y Y

X X

kA C

kA C

kA C

=

=

=

A C  

= k

Versore : vettore di modulo unitario

k=2:

vettore doppio

k = -1:

vettore opposto

ˆ = u

+ u

+ u

= 1 u

versori degli assi:

! !

"

! !

#

$

=

=

=

=

=

=

k z

j y

i x

) ˆ 1 , 0 , 0 ˆ (

) ˆ 0 , 1 , 0 ˆ (

) ˆ 0 , 0 , 1 ˆ (

z y

x

A  = A

ˆ + A

ˆ + A

ˆ

( )

B A

B A

A A

A















k k

k

k k

k k

+

= +

+

= +

) (

2 1

2

1

Proprietà distributive.

Si può operare come con i numeri reali A

C = k

♦  stessa direzione

♦   stesso verso se k>0

♦   verso opposto se k<0

♦  modulo:

A

A u A

 ˆ =

A u

A  = ˆ

modulo A  direzione e verso

Differenza di vettori.

( ) ^{B C}

A

C B

A

 









=

− +

= A −

-B B C

B A

C C

B

A      

=

−

⇒

= +

si opera come sui numeri reali.

A

B

C

-A è il vettore opposto di A

€

A −  

A = 0

b a c b

a − ≤ ≤ +

Anche qui vale la disuguaglianza triangolare:

Scomposizione di un vettore!

j a i

a a

a

a  





 +

= +

=

a b

c

r

r’

Scomposizione lungo due direzioni date.

Inversione della regola del parallelogramma:

a

e a

sono i vettori componenti di a c = a+b

Ci interesserà solo la scomposizione lungo direzioni ortogonali fra loro (assi cartesiani)

Esempio: scomposizione della forza peso su un piano inclinato.

x y

θ

a 

a 

a 

iˆ jˆ

N

P

P  P 

a

e a

sono le componenti (cartesiane) di a

Prodotto scalare!

A B B

A    

⋅

=

⋅

= c A  ⋅ B 

Associa a 2 vettori uno scalare

Z Z Y

Y X

X

B A B A B

A AB

+ +

=

⋅

=

⋅ B A

B A





 

cos θ

( ^{B C} ) ^{A B A C}

A       

⋅ +

⋅

= +

⋅

Proprietà commutativa:

Proprietà distributiva:

⇔

=

⋅ B 0 A  

A e B ortogonali

⇔

>

⋅ B 0 A  

0 < θ < 90°

⇔

<

⋅ B 0 A  

90° < θ < 180°

A

θ B

0 2

0

cos A

A

A =

= A  ⋅ A 

ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

z z y y x x

z y z

x y

x

ˆ 1 ˆ ⋅ u = u

A

= A ˆ  ⋅ x

ecc.

Esempio: lavoro

Prodotto vettoriale!

è un vettore (pseudovettore)

sin θ

= AB A  × B 

Modulo: area del parallelogramma Direzione: ortogonale ad A e B Verso: mano destra o vite destrorsa

B A A

B    

×

−

=

×

( ^{B C} ) ^{A B A C}

A       

× +

×

= +

×

Proprietà anticommutativa:

Proprietà distributiva:

A B C

A B

-C

A

B C

AB C

C C

=

⇒

°

=

=

⇒

°

=

=

⇒

°

=

90

0 180

0 0

θ θ θ

Area del

parallelogramma

C B

A   

=

×

A B C

minore dei due angoli

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Torque_animation.gif

Esempi di prodotto vettoriale in Fisica

Prodotto vettoriale!

( )

( )

( )

Z X X

Z Y

Y Z Z

Y X

B A B

A

B A B

A

B A B

A

B A AB

AB

−

=

×

−

=

×

−

=

×

=

=

=

×

B A

B A

B A

B A

 

 

 



 sin θ

z y

x

z y

x

B B

B

A A

A

z y

x ˆ ˆ ˆ

Formalmente

! !

"

! !

#

$

=

×

=

×

=

×

y x z

x z y

z y x

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

componente di B ortogonale ad A

componente di A ortogonale a B

B A A

B    

×

−

=

× ^{A  ×} ( ^{B  + C } ) ^{= A  × B  + A  × C }

Proprietà anticommutativa: Proprietà distributiva:

l’ordine dei fattori è importante

da cui

permutazione

ciclica

Derivata di un vettore:

dt C dA

 

=

A(t)

A(t+dt) dA

dt z y dA dt

x dA dt

dA dt

d A  =

ˆ +

ˆ +

ˆ Interpretazione geometrica.

Caso di vettore di modulo costante _dt ^d ( ^{A  ⋅ A } ) ^{= 2 d} _dt ^{A  ⋅ A  = 0 ⇒ d} _dt ^{A  ⊥ A }

Ciò vale in particolare per i versori (ad es. versori degli assi).

x ˆ x ˆ dt ⊥

d Esiste un vettore ω tale che:

€

dˆ x

dt = 

ω × ˆ x

ω ha il significato di velocità angolare: un vettore di modulo costante può solo ruotare.

( )

( ) ^{k A dk} _dt ^{A k d} _dt ^A

dt d

dt B d dt

A B d

dt A d

 



 

 

+

=

+

=

+ ( )

( ) ^{A B d} _dt ^{A B A d} _dt ^B

dt d

dt B A d dt B

A B d

dt A d

 

 





 

 



× +

×

=

×

⋅ +

⋅

=

⋅

Proprietà