Metodi di calcolo del Centro di Rigidezza e Valutazione della Deformabilità Torsionale

Metodi di calcolo del Centro di Rigidezza e Valutazione della Deformabilità Torsionale

Il seguente esempio mostra le metodoloigie per il calcolo del Centro delle Rigidezze, sia manualmente che attraverso l'utilizzo dei risultati di un software FEM.

NUMERAZIONE DEI SETTI, POSIZIONE IN PIANTA E CARATTERISTICHE MECCANICHE

Setto N°1:

h₁:= 3.40⋅m t₁:= 0.30⋅m x₁:= 8.70⋅m

y₁:= 0.5 3.40⋅ ⋅m = 1.7m

A₁:= h₁⋅t₁= 1.02m² I_1x t₁⋅h₁³ 12

0.983m⁴

=

:= I_1y t₁³⋅h₁

12

0.008m⁴

= :=

Setto N°2:

h₂:= 3.40⋅m t₂:= 0.30⋅m

x₂:= 11.80⋅m

y₂:= 0.5 3.40⋅ ⋅m = 1.7m

A₂:= h₂⋅t₂= 1.02m² I_2x t₂⋅h₂³ 12

0.983m⁴

=

:= I_2y t₂³⋅h₂

12

0.008m⁴

= :=

Setto N°3:

h₃:= 2.00⋅m t₃:= 0.40⋅m x₃:= 11.40⋅m y₃:= 9.45⋅m

A₃:= h₃⋅t₃= 0.8m² I_3x t₃⋅h₃³ 12

0.267m⁴

=

:= I_3y t₃³⋅h₃

12

0.011m⁴

= :=

Setto N°4:

h₄:= 2.60⋅m t₄:= 0.30⋅m x₄:= 11.80⋅m y₄:= 20.10⋅m

A₄:= h₄⋅t₄= 0.78m² I_4x t₄⋅h₄³ 12

0.439m⁴

=

:= I_4y t₄³⋅h₄

12

0.006m⁴

= :=

Setto N°5:

h₅:= 2.40⋅m t₅:= 0.40⋅m x₅:= 10.2⋅m y₅:= 8.45⋅m

A₅:= h₅⋅t₅= 0.96m² I_5x t₅³⋅h₅ 12

0.013m⁴

=

:= I_5y t₅⋅h₅³

12

0.461m⁴

= :=

Setto N°6:

h₆:= 2.40⋅m t₆:= 0.40⋅m x₆:= 10.2⋅m y₆:= 10.45⋅m

A₆:= h₆⋅t₆= 0.96m² I_6x t₆³⋅h₆ 12

0.013m⁴

=

:= I_6y t₆⋅h₆³

12

0.461m⁴

= :=

Setto N°7:

h₇:= 4.30⋅m t₇:= 0.30⋅m x₇:= 15.45⋅m y₇:= 21.30⋅m

A₇:= h₇⋅t₇= 1.29m² I_7x t₇³⋅h₇ 12

0.01m⁴

=

:= I_7y t₇⋅h₇³

12

1.988m⁴

= :=

CALCOLO DEL CENTRO DI RIGIDEZZA CON IL METODO DELLE AREE DI TAGLIO Area di taglio in direzione X:

A_Vx:= A₅+A₆+A₇= 3.21m² Area di taglio in direzione Y:

A_Vy:= A₁+A₂+A₃+A₄= 3.62m² Coordinate del Centro di Rigidezza:

XCR_metodo_1

A₁⋅x₁+A₂⋅x₂+A₃⋅x₃+A₄⋅x₄ A_Vy

10.838m

= :=

YCR_metodo_1

A₅⋅y₅+A₆⋅y₆+A₇⋅y₇ A_Vx

14.212m

= :=

CALCOLO DEL CENTRO DI RIGIDEZZA CON IL METODO DELLE RIGIDEZZE Altezza di interpiano:

H_p:= 3.00⋅m

Modulo di Elasticità del Calcestruzzo:

E:= 31476⋅MPa

Calcolo della rigidezza delle pareti in direzione X:

K_x5

3⋅ IE⋅_5y H_p³

1611571.2 kN

⋅m

= :=

K_x6

3⋅ IE⋅_6y H_p³

1611571.2 kN

⋅m

= :=

K_x7

3⋅ IE⋅_7y H_p³

6951562.033 kN

⋅m

= :=

K_{x_tot} K_x5+K_x6+K_x7 10174704.433 kN

⋅m

= :=

Calcolo della rigidezza delle pareti in direzione Y:

K_y1

3⋅ IE⋅_1x H_p³

3436479.733 kN

⋅m

= :=

K_y2

3⋅ IE⋅_2x H_p³

3436479.733 kN

⋅m

= :=

K_y3

3⋅ IE⋅_3x H_p³

932622.222 kN

⋅m

= :=

K_y4

3⋅ IE⋅_4x H_p³

1536728.267 kN

⋅m

= :=

K_{y_tot} K_y1+K_y2+K_y3+K_y4 9342309.956 kN

⋅m

= :=

Coordinate del Centro di Rigidezza:

XCR_metodo_2

K_y1⋅x₁+K_y2⋅x₂+K_y3⋅x₃+K_y4⋅x₄ K_{y_tot}

10.62m

= :=

YCR_metodo_2

K_x5⋅y₅+K_x6⋅y₆+K_x7⋅y₇ K_{x_tot}

17.546m

= :=

CALCOLO DEL CENTRO DI RIGIDEZZA CON SAP E DEFORMABILITA' TORSIONALE (Piano singolo)

X_{CR_SAP}:= 11⋅m Y_{CR_SAP}:= 15⋅m

K_X 10000⋅kN 0.0015⋅m

6666666.667 kN

⋅m

= :=

K_Y 10000⋅kN 0.0014⋅m

7142857.143 kN

⋅m

= :=

K_T 10000kN m⋅ 4 10⋅ ⁻⁵⋅rad

250000000 kN m⋅

⋅ rad

= :=

r K_T

max K( _X, K_Y) ^=5.916m

:=

L_p (20.50⋅m)²+(21.40⋅m)² 12

8.555m

= :=

r L_p

0.692

= STRUTTURA DEFORMABILE TORSIONALMENTE

CALCOLO DEL CENTRO DI RIGIDEZZA CON SAP E DEFORMABILITA' TORSIONALE EDIFICIO COMPLETO - METODO ALTERNATIVO (blocco successivo dei piani)

PIANO 4°

F_x4:= 10000⋅kN ∆_x4:= 0.0028⋅m k_x4 F_x4

∆_x4

3571428.571 kN

⋅m

= :=

F_y4:= 10000⋅kN ∆_y4:= 0.0026⋅m k_y4 F_y4

∆_y4

3846153.846 kN

⋅m

= :=

M₄:= 10000⋅kN⋅m ∆_θ4:= 7 10⋅ ⁻⁵⋅rad k_T4 M₄

∆_θ4

142857142.857 kN m⋅

⋅ rad

= :=

R₄ k_T4

max k( _x4, k_y4) ^{= 6.094m}

:=

R₄ L_p

0.712

= PIANO DEFORMABILE TORSIONALMENTE

PIANO 3°

F_x3:= 10000⋅kN ∆_x3:= 0.0027⋅m k_x3 F_x3

∆_x3

3703703.704 kN

⋅m

= :=

F_y3:= 10000⋅kN ∆_y3:= 0.0025⋅m k_y3 F_y3

∆_y3

4000000 kN

⋅m

= :=

M₃:= 10000⋅kN⋅m ∆_θ3:= 6 10⋅ ⁻⁵⋅rad k_T3 M₃

∆_θ3

166666666.667 kN m⋅

⋅ rad

= :=

R₃ k_T3

max k( _x3, k_y3) ^{= 6.455m}

:=

R₃ L_p

0.755

= PIANO DEFORMABILE TORSIONALMENTE

PIANO 2°

F_x2:= 10000⋅kN ∆_x2:= 0.0027⋅m k_x2 F_x2

∆_x2

3703703.704 kN

⋅m

= :=

F_y2:= 10000⋅kN ∆_y2:= 0.0024⋅m k_y2 F_y2

∆_y2

4166666.667 kN

⋅m

= :=

M₂:= 10000⋅kN⋅m ∆_θ2:= 6 10⋅ ⁻⁵⋅rad k_T2 M₂

∆_θ2

166666666.667 kN m⋅

⋅ rad

= :=

R₂ k_T2

max k( _x2, k_y2) ^{= 6.325m}

:=

R₂ L_p

0.739

= PIANO DEFORMABILE TORSIONALMENTE

PIANO 1°

F_x1:= 10000⋅kN ∆_x1:= 0.0014⋅m k_x1 F_x1

∆_x1

7142857.143 kN

⋅m

= :=

F_y1:= 10000⋅kN ∆_y1:= 0.0013⋅m k_y1 F_y1

∆_y1

7692307.692 kN

⋅m

= :=

M₁:= 10000⋅kN⋅m ∆_θ1:= 4 10⋅ ⁻⁵⋅rad k_T1 M₁

∆_θ1

250000000 kN m⋅

⋅ rad

= :=

R₁ k_T1

max k( _x1, k_y1) ^{= 5.701m}

:=

R₁ L_p

0.666

= PIANO DEFORMABILE TORSIONALMENTE

PROCEDURA DI CALCOLO:

Partendo dal piano copertura si procede nel seguente modo:

1) Si bloccano i gradi di libertà Ux e Uy dei piani inferiori a quello considerato

2) Si applica una forza in direzione x, dopo aver vincolato la traslazione Uy del piano considerato 3) Si determina lo spostamento Ux

4) Si applica una forza in direzione y, dopo aver vincolato la traslazione Ux del piano considerato 5) Si determina lo spostamento Uy

6) Si applica un momento attorno a z, senza bloccare Ux e Uy del piano considerato 7) Si determina la rotazione Rz

8) Si determinano le rigidezze di piano come rapporto Fi/∆i e Mi/θi