Metodi di calcolo del Centro di Rigidezza e Valutazione della Deformabilità Torsionale

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Metodi di calcolo del Centro di Rigidezza e Valutazione della Deformabilità Torsionale

Il seguente esempio mostra la metodologia per valutare la DEFORMABILITA' TORSIONALE di un edificio in calcestruzzo, dotato di pareti di taglio e telai costituiti da travi e pilastri.

I piani sono assunti infinitamente rigidi!

PROCEDURA DI CALCOLO:

Partendo dal piano copertura si procede nel seguente modo:

1) Si bloccano i gradi di libertà Ux e Uy dei piani inferiori a quello considerato

2) Si applica una forza in direzione x, dopo aver vincolato la traslazione Uy del piano considerato 3) Si determina lo spostamento Ux

4) Si applica una forza in direzione y, dopo aver vincolato la traslazione Ux del piano considerato 5) Si determina lo spostamento Uy

6) Si applica un momento attorno a z, senza bloccare Ux e Uy del piano considerato 7) Si determina la rotazione Rz

8) Si determinano le rigidezze di piano come rapporto Fi/∆i e Mi/θi

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VALUTAZIONE DELLA DEFORMABILITA' TORSIONALE CON SAP 2000:

Determinazione del raggio polare delle masse:

Assumendo che la massa di ciascun piano sia uniformemente distribuita su di esso, è possibile determinare il raggio polare delle masse L_p riferendosi unicamente alle dimensioni in pianta del piano considerato:

B_{x_piano}:= 20.51 m⋅ B_{y_piano}:= 21.40 m⋅

L_p B_{x_piano}²+B_{y_piano}²

12 =8.557 m

:=

Valutazione della suscettività dei piani alla deformabilità torsionale:

Per valutare la rigidezza flessionale di un piano in direzione X, si applica una forza arbitraria F_x = 10000kN.

Tale forza andrebbe applicata nel centro di rigidezza al fine di evitare rotazioni del piano, oppure si vincola il piano considerato lungo Y oltre a bloccare tutti i gradi di libertà in X ed Y dei piani sottostanti.

Si determina poi lo spostamento U_x del piano considerato e si calcola la rigidezza flessionale come rapporto tra la F_x e U_x.

Per valutare la rigidezza flessionale di un piano in direzione Y, si applica una forza arbitraria F_y = 10000kN.

Tale forza andrebbe applicata nel centro di rigidezza al fine di evitare rotazioni del piano, oppure si vincola il piano considerato lungo X oltre a bloccare tutti i gradi di libertà in X ed Y dei piani sottostanti.

Si determina poi lo spostamento U_y del piano considerato e si calcola la rigidezza flessionale come rapporto tra la F_y e U_y.

Per valutare la rigidezza torsionale di un piano, si applica un momento arbitrario M_z = 10000kNm dopo aver provveduto a bloccare tutti i gradi di libertà in X ed Y dei piani sottostanti.

Si determina poi la rotazione R_z del piano considerato e si calcola la rigidezza torsionale come rapporto tra M_z e R_z.

PIANO 5°

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Al fine di applicare delle forze o dei momenti di piano, è necessario dapprima aver definito i piani rigidi con i

"joint constraints tipo DIAPHRAGM" differenti per ciascun piano da indagare.

Dopodichè dal manù "Load Patterns" si definiscono tre casi di carico "WIND" cui si assegna come "Auto Lateral Load Pattern" una tipologia di carico "USER DEFINED".

Utilizzando poi il comando "MODIFY LATERAL LOAD PATTE RN" si poss ono applicare forze e momenti di piano.

F_x5:= 10000 kN⋅ U_x5:= 0.0091 m⋅ k_x5 F_x5 U_x5

1098901.099 kN m

⋅

= :=

F_y5:= 10000 kN⋅ U_y5:= 0.0046 m⋅ k_y5 F_y5 U_y5

2173913.043 kN m

⋅

= :=

(4)

M_z5:= 10000 kN⋅ ⋅m R_z5:= 0.00015 rad⋅ k_T5 M_z5 R_z5

66666666.667 kN m⋅ rad

⋅

= :=

r_y5 k_T5

k_x5 = 7.789 m

:= r_x5 k_T5

k_y5 = 5.538 m :=

r_y5 L_p

0.91

= r_x5

L_p

0.647

= PIANO DEFORMABILE TORSIONALMENTE!

PIANO 4°

Analogamente a quanto svolto per il piano 5, si effettuerà per il piano quarto e per i piani sottostanti. Per prima cosa si applicherà una forza in direzione X bloccando i gradi di libertà in direzione Y del piano 4 ed i gradi di libertà in direzione X ed Y dei piani 3, 2 ed 1. Poi si applicherà una forza in direzione Y bloccando i gradi di libertà in direzione X del piano 4 ed i gradi di libertà in direzione X ed Y dei piani 3, 2 ed 1, Infine si applicherà un momento attorno a Z senza bloccare gradi di libertà del piano 4 ma bloccando i gradi di libertà in direzione X ed Y dei piani 3, 2 ed 1.

F_x4:= 10000 kN⋅ U_x4:= 0.0097 m⋅ k_x4 F_x4 U_x4

1030927.835 kN m

⋅

= :=

F_y4:= 10000 kN⋅ U_y4:= 0.0049 m⋅ k_y4 F_y4 U_y4

2040816.327 kN m

⋅

= :=

71428571.429 kN m⋅ rad

⋅

= :=

r_y4 k_T4

k_x4 = 8.324 m

:= r_x4 k_T4

k_y4 = 5.916 m :=

r_y4 L_p

0.973

= r_x4

L_p

0.691

PIANO 3°

F_x3:= 10000 kN⋅ U_x3:= 0.01 m⋅ k_x3 F_x3 U_x3

1000000 kN m

⋅

= :=

F_y3:= 10000 kN⋅ U_y3:= 0.0053 m⋅ k_y3 F_y3 U_y3

1886792.453 kN m

⋅

= :=

80000000 kN m⋅ rad

⋅

= :=

r_y3 k_T3

k_x3 = 8.944 m

:= r_x3 k_T3

k_y3 = 6.512 m :=

r_y3 L_p

1.045

= r_x3

L_p

0.761

(5)

PIANO 2°

F_x2:= 10000 kN⋅ U_x2:= 0.0098 m⋅ k_x2 F_x2 U_x2

1020408.163 kN m

⋅

= :=

F_y2:= 10000 kN⋅ U_y2:= 0.0060 m⋅ k_y2 F_y2 U_y2

1666666.667 kN m

⋅

= :=

92592592.593 kN m⋅ rad

⋅

= :=

r_y2 k_T2

k_x2 = 9.526 m

:= r_x2 k_T2

k_y2 = 7.454 m :=

r_y2 L_p

1.113

= r_x2

L_p

0.871

= PIANO NON DEFORMABILE TORSIONALMENTE!

PIANO 1°

F_x1:= 10000 kN⋅ U_x1:= 0.0074 m⋅ k_x1 F_x1 U_x1

1351351.351 kN m

⋅

= :=

F_y1:= 10000 kN⋅ U_y1:= 0.0072 m⋅ k_y1 F_y1 U_y1

1388888.889 kN m

⋅

= :=

M_z1:= 10000 kN⋅ ⋅m R_z1:= 5.75 10⋅ ⁻⁵⋅rad k_T1 M_z1 R_z1

173913043.478 kN m⋅ rad

⋅

= :=

r_y1 k_T1

k_x1 = 11.344 m

:= r_x1 k_T1

k_y1 = 11.19 m :=

r_y1 L_p

1.326

= r_x1

L_p

1.308

= PIANO NON DEFORMABILE TORSIONALMENTE!

CONCLUSIONI

La struttura risulta deformabile torsionalmente. L'ellisse delle rigidezze infatti si alunga in direzione Y (Ry >

Rx), dal momento che in direzione Y i setti sono integri mentre in direzione X sono forati per consentire la realizzazione di portefinestre per l'accesso alle logge!

Si nota inoltre che in direzione y l'eccentricità tra centro di massa CM e centro di rigidezza CR non risulta trascurabile, pertanto gli effetti delle torsione dovranno essere presi in debito conto all'atto della progettazione degli elementi strutturali sismo-resistenti.

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