a) Determinare i punti critici di f e studiarne la natura.

(1) Data la funzione f (x, y) = (x + y)

− 3y(x + y)

a) Determinare i punti critici di f e studiarne la natura.

(Suggerimento: scrivere in funzione di u = x + y..)

b) Dimostrare che la funzione ha massimo e minimo assoluti sul triangolo T = { (x, y) ∈ R

: −1 ≤ x ≤ 0 ; −x ≤ y ≤ 1 } e determinare i punti di minimo e massimo assoluto e i valori della funzione nei punti di estremo assoluto.

[ a) Sono punti critici tutti e soli i punti della retta y = −x dove la funzione vale f (x, −x) = 0.

Se x = −y > 0 si ha un punto di minimo locale, non stretto, dato che lungo la retta y = −x f vale 0.

Se x = −y < 0 si ha un punto di massimo locale (non stretto, dato che lungo la retta y = −x f vale 0).

Il punto (0, 0) ` e invece di sella.

b) Il minimo assoluto ` e −2 = f (0, 1), mentre il massimo assoluto ` e 0 = f (x, −x) per ogni x ∈ [−1, 0]. ]

(2) Dimostrare, usando il teorema di derivazione sotto il segno di integrale e le sue conseguenze, che la funzione definita da

F (y) = R

y

e

dx

`

e strettamente decrescente nell’ intervallo (0, 1].

(3) Dimostrare, usando il teorema di derivazione sotto il segno di integrale e le sue conseguenze, che ` e costante in (0, +∞) la funzione definita da

F (y) = R

0

sin(xy)

x

dx , y > 0

(4) Studiare i punti critici, trovare i massimi e minimi relativi (spe- cificando se sono massimi o minimi locali stretti), e calcola- re estremo superiore e inferiore in R

della funzione f (x, y) = (x

− 1)

sin(y) (non ` e necessario calcolare la matrice hessiana).

[ sup

f = +∞, inf

f = −∞, I punti (±1, y

), dove y

∈ R, sin(y

) < 0 (cio` e dove −π + 2kπ < y

< 2kπ) sono di massimo relativo (non stretto), i punti (±1, y

), dove y

∈ R, sin(y

) > 0 (cio` e dove 2kπ < y

< 2kπ + π) sono di minimo relativo (non stretto), i punti (±1, kπ) sono invece punti di sella;

I punti (0,

+ 2kπ) sono di massimo relativo stretto e i punti (0, −

+ 2kπ) di minimo relativo stretto. ]

(5) Studiare i punti singolari (dove la funzione non ` e differenzia- bile), i punti critici (dove ` e differenziabile con gradiente nullo), trovare i massimi e minimi relativi, e calcolare estremo superiore e inferiore in R

della funzione f (x, y) = px

+ y

− xy.

1

2

[ sup

f = +∞, inf

f = −∞. (0, 0) punto singolare di minimo locale stretto; (±

2

, ±

2

) punti critici di sella.

]

(6) Dimostrare che la funzione f (x, y) =

( |xy| log(x

+ y

) se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

ha massimo e minimo assoluto nell’ insieme K = [ x

+y

≤ e

], e calcolarli.

(Suggerimento: lavorare in coordinate polari)

[ Il minimo assoluto ` e assunto nei punti e

(

2

,

2

) con tutte le combinazioni di segno possibili, e vale −

e

, mentre il massimo ` e assunto nei punti e (

2

,

2

) con tutte le combinazioni di segno possibili, e vale e

. ]

(7) Data la funzione f (x, y) = (x

+ y

− 4)(y − a), a ≥ 0 a) Determinare i punti critici di f al variare di a ∈ R.

b) Studiare la natura dei punti critici (massimo, minimo o sella) nel caso a = 2.

c) Studiare la natura dei punti critici (massimo, minimo o sella) nel caso a = 1.

[ a) Se |a| ≥ 2 ci sono due punti critici (0,

√ a²+12

3

), mentre se |a| < 2 oltre ai precedenti ci sono altri due punti critici (± √

4 − a

, a) e i punti critici sono quattro.

b) P

= (0, 2) ` e un punto di sella, P

= (0, −

) ` e di massimo locale stretto, .

c) P

= (0,

√13

3

) minimo locale stretto, P

= (0,

√13 3

) massimo locale stretto, P

, P

= (± √

3, 1) sono punti di sella.

]

(8) Data la curva γ di equazioni parametriche



 

 

x(t) = t − 1 y(t) = 1 − t

z(t) =

t

, 0 ≤ t ≤ 1

calcolare la lunghezza di γ e l’ integrale curvilineo di prima specie R

γ

e

ds.

[ l(γ) =

, mentre l’ integrale vale e

− 1 ] (9) Data la curva γ di equazioni parametriche

( x(t) = R

1

2se

cos(s) ds y(t) = R

1

2se

sin(s) ds , 1 ≤ t ≤ 2,

calcolare la curvatura (senza segno) k(t) e la lunghezza l(γ)

3

della curva. (Nota: non ` e necessario calcolare gli integrali per il calcolo di curvatura e lunghezza)

[ La curvatura ` e k(t) =

2te^t2

, la lunghezza ` e l(γ) = e

− e ] (10) Calcolare gli integrali curvilinei di prima specie R

γ 1

(x²+y²+z²)

ds , R

γ

√

x²+y²−z²

ds , dove γ ` e la curva di equazioni parametriche



 

 

x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = t

, 0 ≤ t ≤ 1

[ √

2

, √ 2

]

(11) Calcolare la lunghezza del grafico della funzione y = x

, 0 ≤ x ≤

.

[

]

(12) Calcolare la lunghezza della curva γ di equazioni parametriche ( x(t) = t

cos(t) + R

0

s

sin(s) ds y(t) = t

sin(t) − R

0

s

cos(s) ds , 0 ≤ t ≤ 1 [ l(γ) = 1 ]

(13) (Curve in forma polare)

Se ρ = ρ(t), ϑ = ϑ(t), t ∈ [a, b] sono due funzioni di classe C

, con ρ(t) ≥ 0, esse definiscono in coordinate polari la curva γ di equazioni cartesiane

x = ρ(t) cos(ϑ(t)), y = ρ(t) sin(ϑ(t)), t ∈ [a, b].

Derivando rispetto a t le equazioni cartesiane e calcolando x

(t)+

y

(t) dimostrare che la lunghezza della curva ` e data dalla for- mula

L(γ) = R

q

ρ

(t) + ρ

(t)ϑ

(t) dt.

Se ϑ(t) = t si ottiene (identificando ϑ con il parametro ) come caso particolare la parametrizzazione in forma polare di una curva come ρ = ρ(ϑ), ϑ ∈ [a, b], e in questo caso si ottiene la lunghezza della curva con la formula, se γ ha equazione polare

ρ = ρ(ϑ) , ϑ ∈ [a, b] : L(γ) = R

p ρ

(ϑ) + ρ

(ϑ) dϑ.

Calcolare la lunghezza del tratto della spirale logaritmica di equazione polare

ρ = e

, a > 0 , −∞ < ϑ < 2π.

[ L(γ) =

√a²+1

a

e

. ]