Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15
Emanuele Fabbiani 6 maggio 2015
1 Studio di massimi e minimi
1.1 Classi cazione dei punti critici
Determinare e classi care i punti critici delle seguenti funzioni.
NOTA:anche se non esplicitamente richiesto, è SEMPRE buona norma calcolare il dominio della funzione prima del gradiente. Eventuali punti stazionari non compresi nel dominio della funzione non devono essere considerati nella caratterizzazione.
1.
f (x, y) = 2xe−(x2+y2) Il dominio della funzione è R2. Il gradiente è:
∇f (x, y) = ∂f (x, y)
∂x ;∂f (x, y)
∂y
(1.1)
∇f (x, y) =
2e−(x2+y2) − 4x2e−(x2+y2); −4xye−(x2+y2)
(1.2) Per trovare i punti stazionari occorre imporre la condizione
∇f (x, y) = (0; 0) (1.3)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
(2e−(x2+y2) − 4x2e−(x2+y2) = 0
−4xye−(x2+y2) = 0 (1.4)
( 2 − 4x2 e−(x2+y2) = 0
−4xye−(x2+y2) = 0 (1.5)
La funzione esponenziale non è mai uguale a zero. Sempli cando il termine relativo si ottiene:
(2 − 4x2= 0
−4xy = 0 (1.6)
(−4x2= −2
xy = 0 (1.7)
(x = ± q1
2
xy = 0 (1.8)
I punti critici sono quindi Aq
1
2; 0, B −q
1 2; 0.
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y)
∂x2 = ∂
∂x
h 2 − 4x2 e−(x2+y2)i
= −8xe−(x2+y2) + −2x 2 − 4x2 e−(x2+y2) = (1.9)
= 8x3− 12x e−(x2+y2)
∂2f (x, y)
∂y∂x =∂2f (x, y)
∂x∂y = ∂
∂y h
2 − 4x2 e−(x2+y2)i
= −2y 2 − 4x2 e−(x2+y2) (1.10)
∂2f (x, y)
∂y2 = ∂
∂y
h−4xye−(x2+y2)i
= −4xe−(x2+y2) + 8xy2e−(x2+y2) = (1.11)
= 8xy2− 4x e−(x2+y2) La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =
"
8x3− 12x e−(x2+y2) −2y 2 − 4x2 e−(x2+y2)
−2y 2 − 4x2 e−(x2+y2) 8xy2− 4x e−(x2+y2)
#
(1.12)
Sostituendo le coordinate di Aq
1
2; 0 si ottiene:
Hf
r1 2, 0
!
=
−8q
1
2e−12 0
0 −4q
1 2e−12
(1.13)
La matrice è diagonale: conviene quindi applicare il criterio degli autovalori. Questi sono gli elementi sulla diagonale principale e sono entrambi negativi. Si conclude che Aq
1
2; 0 è un punto di massimo relativo.
Sostituendo le coordinate di B
−q
1
2; 0 si ottiene:
Hf − r1
2, 0
!
=
8q
1
2e−12 0
0 4
q1 2e−12
(1.14)
Gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale principale e sono entrambi positivi. Si conclude che B
−q
1
2; 0 è un punto di minimo relativo.
2.
f (x, y, z) = 1
x+ y2+1 z + xz
Il dominio della funzione comprende tutti i valori che non annullano i denominatori:
dom (f ) =(x, y, z) ∈ R3: x 6= 0 ∧ z 6= 0 (1.15) Il gradiente è:
∇f (x, y, z) = ∂f (x, y, z)
∂x ;∂f (x, y, z)
∂y ;∂f (x, y, z)
∂z
(1.16)
∇f (x, y, z) =
−1
x2 + z; 2y; −1 z2 + x
(1.17) Per trovare i punti stazionari occorre imporre la condizione
∇f (x, y, z) = (0; 0; 0) (1.18)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
−x12 + z = 0 2y = 0
−z12+ x = 0
(1.19)
Si ricava z dalla prima equazione e lo si sostituisce nella terza:
z = x12 2y = 0
− 1
(x21)2 + x = 0
(1.20)
z = x12
y = 0
−x4+ x = 0
(1.21)
x x3− 1 = 0 y = 0
z = x12
(1.22)
La prima soluzione che si ricava dalla prima equazione x = 0 non è accettabile perché esclusa da dom (f).
L'unico punto critico è quindi A (1; 0; 1).
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y, z)
∂x2 = ∂
∂x
−1 x2 + z
= 2
x3 (1.23)
∂2f (x, y, z)
∂y∂x = ∂
∂y
− 1 x2 + z
= 0 (1.24)
∂2f (x, y, z)
∂z∂x = ∂
∂z
−1 x2 + z
= 1 (1.25)
∂2f (x, y, z)
∂x∂y = ∂
∂x(2y) = 0 (1.26)
∂2f (x, y, z)
∂y2 = ∂
∂y(2y) = 2 (1.27)
∂2f (x, y, z)
∂z∂y = ∂
∂z(2y) = 0 (1.28)
∂2f (x, y, z)
∂x∂z = ∂
∂x
−1 z2+ x
= 1 (1.29)
∂2f (x, y, z)
∂y∂z = ∂
∂y
−1 z2 + x
= 0 (1.30)
∂2f (x, y, z)
∂z2 = ∂
∂z
−1 z2 + x
= 2
z3 (1.31)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =
2
x3 0 1
0 2 0
1 0 z23
(1.32)
Sostituendo le coordinate di A (1; 0; 1) si ottiene:
Hf(1, 0, 1) =
2 0 1 0 2 0 1 0 2
(1.33)
La matrice non è diagonale: conviene quindi applicare il criterio dei minori incapsulati.
∆1= 2
= 2 > 0 (1.34)
∆2=
2 0 0 2
= 4 > 0 (1.35)
∆3=
2 0 1 0 2 0 1 0 2
= 2
2 1 1 2
= 6 > 0 (1.36)
I minori sono tutti positivi. Si conclude che A (1; 0; 1) è un punto di minimo relativo.
3.
f (x, y, z) = x2+ y2− z2 Il dominio della funzione è comprende tutto R3. Il gradiente è:
∇f (x, y, z) = ∂f (x, y, z)
∂x ;∂f (x, y, z)
∂y ;∂f (x, y, z)
∂z
(1.37)
∇f (x, y, z) = (2x; 2y; −2z) (1.38)
Per trovare i punti stazionari occorre imporre la condizione
∇f (x, y, z) = (0; 0; 0) (1.39)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
2x = 0 2y = 0
−2z = 0
(1.40)
L'unico punto critico è quindi A (0; 0; 0).
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y, z)
∂x2 = ∂
∂x(2x) = 2 (1.41)
∂2f (x, y, z)
∂y∂x = ∂
∂y(2x) = 0 (1.42)
∂2f (x, y, z)
∂z∂x = ∂
∂z(2x) = 0 (1.43)
∂2f (x, y, z)
∂x∂y = ∂
∂x(2y) = 0 (1.44)
∂2f (x, y, z)
∂y2 = ∂
∂y(2y) = 2 (1.45)
∂2f (x, y, z)
∂z∂y = ∂
∂z(2y) = 0 (1.46)
∂2f (x, y, z)
∂x∂z = ∂
∂x(−2z) = 0 (1.47)
∂2f (x, y, z)
∂y∂z = ∂
∂y(−2z) = 0 (1.48)
∂2f (x, y, z)
∂z2 = ∂
∂z(−2z) = −2 (1.49)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =
2 0 0
0 2 0
0 0 −2
(1.50)
La matrice è diagonale ed esistono due autovalori - due elementi sulla diagonale principale - con segno discorde. Si conclude che A (0; 0; 0) è un punto di sella.
4.
f (x, y, z) = 1 x+1
y +1 z + xyz
Il dominio della funzione comprende tutti i valori che non annullano i denominatori:
dom (f ) =(x, y, z) ∈ R3: x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ z 6= 0
(1.51)
Il gradiente è:
∇f (x, y, z) = ∂f (x, y, z)
∂x ;∂f (x, y, z)
∂y ;∂f (x, y, z)
∂z
(1.52)
∇f (x, y, z) =
−1
x2+ yz; −1
y2+ xz; − 1 z2 + xy
(1.53) Per trovare i punti stazionari occorre imporre la condizione
∇f (x, y, z) = (0; 0; 0) (1.54)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
−x12 + yz = 0
−y12 + xz = 0
−z12 + xy = 0
(1.55)
È lecito moltiplicare le equazioni rispettivamente per x2, y2e z2poiché il dominio assicura che tali quantità
siano diverse da 0.
−1 + x2yz = 0
−1 + y2xz = 0
−1 + z2xy = 0
(1.56)
Si procede ora per sostituzioni:
y =x12z
−1 + x12z
2 xz = 0
−1 + z2xx12z = 0
(1.57)
y =x12z
−1 + x12z
2
xz = 0 z = x
(1.58)
y = x13
−1 + x132 x2= 0 z = x
(1.59)
y =x13 x2= 1 z = x
(1.60)
x = ±1 y =x13
z = x
(1.61)
I punti critici sono quindi A (1; 1; 1) e A (−1; −1; −1).
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y, z)
∂x2 = ∂
∂x
−1 x2 + yz
= 2
x3 (1.62)
∂2f (x, y, z)
∂y∂x = ∂
∂y
− 1 x2 + yz
= z (1.63)
∂2f (x, y, z)
∂z∂x = ∂
∂z
−1 x2 + yz
= y (1.64)
∂2f (x, y, z)
∂x∂y = ∂
∂x
−1 y2 + xz
= z (1.65)
∂2f (x, y, z)
∂y2 = ∂
∂y
−1 y2 + xz
= 2
y3 (1.66)
∂2f (x, y, z)
∂z∂y = ∂
∂z
−1 y2 + xz
= x (1.67)
∂2f (x, y, z)
∂x∂z = ∂
∂x
−1 z2+ xy
= y (1.68)
∂2f (x, y, z)
∂y∂z = ∂
∂y
−1 z2 + xy
= x (1.69)
∂2f (x, y, z)
∂z2 = ∂
∂z
−1 z2 + xy
= 2
z3 (1.70)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =
2
x3 z y z y23 x y x z23
(1.71)
Sostituendo le coordinate di A (1; 1; 1) si ottiene:
Hf(1, 1, 1) =
2 1 1 1 2 1 1 1 2
(1.72)
La matrice non è diagonale: conviene quindi applicare il criterio dei minori incapsulati.
∆1= 2
= 2 > 0 (1.73)
∆2=
2 1 1 2
= 3 > 0 (1.74)
∆3=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
= 4 > 0 (1.75)
I minori sono tutti positivi. Si conclude che A (1; 1; 1) è un punto di minimo relativo.
Sostituendo invece le coordinate di B (−1; −1; −1) si ottiene:
Hf(−1, −1, −1) =
−2 −1 −1
−1 −2 −1
−1 −1 −2
(1.76)
La matrice non è diagonale: conviene quindi applicare il criterio dei minori incapsulati.
∆1= −2
= −2 < 0 (1.77)
∆2=
−2 −1
−1 −2
= 3 > 0 (1.78)
∆3=
−2− −1 −1
−1 −2 −1
−1 −1 −2
= −4 < 0 (1.79)
I minori hanno segni alterni (− + −). Si conclude che B (−1; −1; −1) è un punto di massimo relativo.
5.
f (x, y) = y − x2
y − 3x2
Il dominio della funzione è R2. Prima di calcolare il gradiente si eettua il prodotto:
f (x, y) = y2− 3x2y − x2y + 3x4= y2+ 3x4− 4x2y (1.80) Il gradiente è:
∇f (x, y) = ∂f (x, y)
∂x ;∂f (x, y)
∂y
(1.81)
∇f (x, y) = 12x3− 8xy; 2y − 4x2 (1.82) Per trovare i punti stazionari occorre imporre la condizione
∇f (x, y) = (0; 0) (1.83)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
(12x3− 8xy = 0
2y − 4x2= 0 (1.84)
(12x3− 8x · 2x2= 0
y = 2x2 (1.85)
(x3= 0
y = 2x2 (1.86)
L'unico punto critico è quindi A (0; 0).
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y)
∂x2 = ∂
∂x12x3− 8xy = 36x2− 8y (1.87)
∂2f (x, y)
∂y∂x =∂2f (x, y)
∂x∂y = ∂
∂y12x3− 8xy = −8x (1.88)
∂2f (x, y)
∂y2 = ∂
∂y2y − 4x2 = 2 (1.89)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =36x2− 8y −8x
−8x 2
(1.90) Sostituendo le coordinate di A (0; 0) si ottiene:
Hf(0, 0) =0 0 0 2
(1.91) La matrice è diagonale: conviene quindi applicare il criterio degli autovalori. Questi sono gli elementi sulla diagonale principale: 0 e 2. La matrice risulta semide nita positiva: A potrebbe essere un punto di minimo o di sella.
Per giungere ad una conclusione occorre utilizzare la de nizione e studiare l'andamento della funzione in un intorno del punto.
f (0, 0) = 0 (1.92)
Si vuole capire quando la funzione presenta valori maggiori di quello assunto nel punto in esame:
f (x, y) > f (0, 0) (1.93)
y − x2
y − 3x2 > 0 (1.94)
Come nel caso di disequazioni in una sola variabile, si considerano separatamente i due fattori per poi determinare il segno del prodotto.
F1> 0 −→ y − x2> 0 −→ y > x2 (1.95) F2> 0 −→ y − 3x2> 0 −→ y > 3x2 (1.96) Il procedimento è illustrato nella seguente gura.
−3 −2 −1 1 2 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
x y
(a) y > x2
−3 −2 −1 1 2 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
x y
(b) y > 3x2
−3 −2 −1 1 2 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
x y
(c) y − x2
y − 3x2 > 0
Si nota che, in ogni intorno di A (0, 0), ci sono regioni in cui la funzione è negativa e altre in cui questa è positiva. In altre parole, esistono alcuni punti P (x, y) tali che f (x, y) > f (0, 0) e altri tali che f (x, y) <
f (0, 0). Si deduce che A non può essere né un massimo né un minimo: è pertanto un punto di sella.
6.
f (x, y) = x sin y Il dominio della funzione è R2. Il gradiente è:
∇f (x, y) = ∂f (x, y)
∂x ;∂f (x, y)
∂y
(1.97)
∇f (x, y) = (sin y; x cos y) (1.98)
Per trovare i punti stazionari si impone la condizione
∇f (x, y) = (0; 0) (1.99)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
(sin y = 0
x cos y = 0 (1.100)
(y = kπ, k ∈ Z
x (±1) = 0 (1.101)
(y = kπ, k ∈ Z
x = 0 (1.102)
L'unico punto critico è quindi A (0; kπ).
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y)
∂x2 = ∂
∂x[sin y] = 0 (1.103)
∂2f (x, y)
∂y∂x = ∂2f (x, y)
∂x∂y = ∂
∂y[sin y] = cos y (1.104)
∂2f (x, y)
∂y2 = ∂
∂y[x cos y] = −x sin y (1.105)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =
0 cos y
cos y −x sin y
(1.106) Sostituendo le coordinate di A (0; kπ) si ottiene:
Hf(0, kπ) = 0 ±1
±1 0
(1.107) Il determinante della matrice è sempre negativo: A è un punto di sella.
7.
f (x, y) = x4− y2x2 Il dominio della funzione è R2. Il gradiente è:
∇f (x, y) = ∂f (x, y)
∂x ;∂f (x, y)
∂y
(1.108)
∇f (x, y) = 4x3− 2xy2; −2yx2 (1.109)
Per trovare i punti stazionari si impone la condizione
∇f (x, y) = (0; 0) (1.110)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
(4x3− 2xy2= 0
−2yx2= 0 (1.111)
La seconda equazione è veri cata se x = 0 oppure y = 0. Nel secondo caso la prima equazione impone x = 0, mentre nel primo caso la prima relazione si trasforma in un'identità. I punti critica sono quindi tutti quelli che soddisfano x = 0, ovvero tutti quelli che appartengono all'asse y. Questi si possono scrivere nella forma P (0, y).
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y)
∂x2 = ∂
∂x4x3− 2xy2 = 12x2− 2y2 (1.112)
∂2f (x, y)
∂y∂x = ∂2f (x, y)
∂x∂y = ∂
∂y4x3− 2xy2 = −4xy (1.113)
∂2f (x, y)
∂y2 = ∂
∂y−2yx2 = −2x2 (1.114)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =12x2− 2y2 −4xy
−4xy −2x2
(1.115) Sostituendo le coordinate di P (0; y) si ottiene:
Hf(0, y) =−2y2 0
0 0
(1.116) Il meglio che possa capitare è che la matrice sia semide nita. Non rimane che applicare la de nizione e studiare l'andamento della funzione in un intorno di P .
f (0, y) = 0 (1.117)
f (x, y) ≥ f (0, y) −→ x4− x2y2≥ 0 (1.118)
x2 x2− y2 ≥ 0 (1.119)
Il primo fattore è sempre maggiore o uguale a zero. Per quanto riguarda il secondo:
y2≤ x2−→ − |x| < y < |x| (1.120)
La risoluzione gra ca è riportata nella gura seguente.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1 1 2 3
x y
Figura 1.1: − |x| < y < |x|
Si nota che, per ogni punto P dell'asse y diverso dall'origine, esiste un intorno di P Ir(P )tale che tutti i valori che la funzione assume in I sono negativi, quindi minori di f (P ) = 0. In ogni intorno dell'origine, invece, la funzione assume valori sia negativi che positivi - quindi sia maggiori che minori di f (P ). In
de nitiva: (
(0; y) , y 6= 0 massimo relativo
(0; 0) sella (1.121)
8.
f (x, y) = yx2− y Il dominio della funzione è R2. Il gradiente è:
∇f (x, y) = ∂f (x, y)
∂x ;∂f (x, y)
∂y
(1.122)
∇f (x, y) = 2xy; x2− 1
(1.123) Per trovare i punti stazionari si impone la condizione
∇f (x, y) = (0; 0) (1.124)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
(2xy = 0
x2− 1 = 0 (1.125)
(2xy = 0
x = ±1 (1.126)
(y = 0
x = ±1 (1.127)
I due punti critici sono A (1; 0) e B (−1; 0). Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y)
∂x2 = ∂
∂x[2xy] = 2y (1.128)
∂2f (x, y)
∂y∂x = ∂2f (x, y)
∂x∂y = ∂
∂y[2xy] = 2x (1.129)
∂2f (x, y)
∂y2 = ∂
∂yx2− 1 = 0 (1.130)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =2y 2x 2x 0
(1.131) Sostituendo le coordinate di A (1; 0) si ottiene:
Hf(1, 0) =0 2 2 0
(1.132) Il determinante è det (H) = −4 < 0. Per il criterio della matrice 2 × 2 H risulta essere inde nita. A (1; 0) è un punto di sella.
Sostituendo invece le coordinate di B (−1; 0) si ottiene:
Hf(−1, 0) = 0 −2
−2 0
(1.133) Il determinante è det (H) = −4 < 0. Per il criterio della matrice 2 × 2 H risulta essere inde nita. B (1; 0) è un punto di sella.
9.
f (x, y) = ex−y Il dominio della funzione è R2. Il gradiente è:
∇f (x, y) = ∂f (x, y)
∂x ;∂f (x, y)
∂y
(1.134)
∇f (x, y) = ex−y; −ex−y (1.135)
Per trovare i punti stazionari si impone la condizione
∇f (x, y) = (0; 0) (1.136)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
(ex−y = 0
−ex−y= 0 (1.137)
La seconda equazione non ha soluzioni reali, quindi non esistono punti critici né estremi.
ATTENZIONE: l'ultima deduzione è giusti cata dal fatto che il dominio della funzione non è limitato né chiuso. Se queste due condizioni fossero veri cate, si potrebbe invocare il teorema di Weierstrass per concludere che gli estremi devono esistere. Se non si trovano all'interno del dominio, allora sono sulla sua frontiera.
10.
f (x, y) = x2+ y2− 2 (x + y) + 2 Il dominio della funzione è R2. Il gradiente è:
∇f (x, y) = ∂f (x, y)
∂x ;∂f (x, y)
∂y
(1.138)
∇f (x, y) = (2x − 2; 2y − 2) (1.139)
Per trovare i punti stazionari si impone la condizione
∇f (x, y) = (0; 0) (1.140)
Due vettori sono uguali se lo sono tutti i loro elementi. Occorre quindi risolvere il sistema:
(2x − 2 = 0
2y − 2 = 0 (1.141)
(x = 1
y = 1 (1.142)
L'unico punto critico è quindi A (1; 1)
Si calcolano ora le derivate seconde necessarie alla costruzione della matrice Hessiania:
∂2f (x, y)
∂x2 = ∂
∂x[2x − 2] = 2 (1.143)
∂2f (x, y)
∂y∂x = ∂2f (x, y)
∂x∂y = ∂
∂y[2x − 2] = 0 (1.144)
∂2f (x, y)
∂y2 = ∂
∂y[2y − 2] = 2 (1.145)
La matrice Hessiana risulta quindi essere:
Hf(x, y) =2 0 0 2
(1.146) La matrice è diagonale: gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale principale. Dal momento che sono entrambi positivi, A (1; 1) è un punto di minimo relativo.
