3) a) Determinare i punti stazionari della funzione f (x, y

Corso di Laurea in Informatica 26 giugno 2012

Complementi di Matematica, mod. Analisi (4cfu)

1) Risolvere il seguente problema di Cauchy (5pt), indicando l’intervallo di definizione della soluzione (1pt)

( y⁰tan x= y − 1 y(π/4) = 0

2) Risolvere il seguente problema di Cauchy







y⁰⁰− 2y⁰+ 5y = 0 y(π/2) = 0 y⁰(π/2) = −2

(4pt).

3) a) Determinare i punti stazionari della funzione

f (x, y) = y²− x²+ artg (y − x)) e stabilirne la natura (5pt);

b) calcolare le derivate direzionali di f (x, y) nel punto P = (2, 3) nella di- rezione del vettore w = (−3, 1) (1pt).

c) Stabilire la natura del punto stazionario O = (0, 0) per la funzione

g(x, y) = log(1 + x⁴+ 2y⁶) − 5 (4pt).

4) Sia

T =n

(x, y) ∈ R²| |x + y| ≤ π

2, |x − y| ≤ 1o

Disegnare T (1pt) e calcolare l’integrale seguente (9pt) Z Z

D

cos(x + y) e^x−y dx dy.