Serie di Taylor

➂ - Esercizi di riepilogo e di complemento

Serie di Taylor

1. Dimostrare che la funzione xe^x `e sviluppabile in serie di Mc Laurin in R e calcolarne lo sviluppo, precisandone il raggio di convergenza.

2. Sviluppare in serie di Mc Laurin le seguenti funzioni:

a) e^1+x2 b) sin(x²) c) sin²x d) cos²x e) 2^x e determinare i corrispondenti raggi di convergenza.

3. Sviluppare in serie di Mc Laurin la funzione f (x) = 2

3 − 5x, indicando il raggio di convergenza dello sviluppo ottenuto.

4. Sviluppare in serie di Mc Laurin la funzione f (x) = 1 x²− 5x + 6.

5. Sviluppare in serie di Mc Laurin la funzione f (x) = 2x − 8

x²− 8x + 12, precisando il raggio di convergenza.

Utilizzare il risultato ottenuto per calcolare f⁽ⁿ⁾(0) per n generico.

6. Sviluppare in serie di Taylor la funzione f (x) = 1

x nei punti x₀=2 e x₀= −3, indicando l’insieme di convergenza degli sviluppi ottenuti.

7. Sviluppare in serie di Mc Laurin le funzioni

a) f (x) = x sin x, b) f (x) = ln(e + x) − ln e, c) f (x) = x 1 − x².

8. Sviluppare in serie di Mc Laurin la funzione f (x) = ln³ 1 + x 1 − x

´ .

9. Sia f (x) = x⁵e^−x2+ sin(x³). Calcolare f⁽⁹⁾(0).