Analisi Matematica I Complementi 13 febbraio 2008 - tema A
1. Determinare l’ insieme di convergenza delle seguenti serie
(i) X∞
0
enx
n + 2 (ii)
X∞ 0
n2n (x + 1)n
2. Studiare la convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie
(i) X∞
1
(−1)n 2n + 3
n(n + 1) (ii) X∞
1
(−1)n 3 2n(log n + 1)
3. Determinare, usando una opportuna serie di Mc Laurin, la somma della serie
X+∞
0
(−1)n 32n (2n + 1)!
4.Data la funzione
f (x, y) = 18 log(x + y) − 5 arctan(x − y) − 2x − 4y
a) determinarne il dominio, i punti stazionari e gli estremi;
b) calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 1) nella direzione del vettore (−2, 2).
5. Calcolare l’integrale
Z Z
E
(x + 2y) dxdy
dove E `e la regione di piano limitata dalle rette y = 2x − 3, y = x, y = −x.
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Analisi Matematica I Complementi 13 febbraio 2008 - tema B
1. Determinare l’ insieme di convergenza delle seguenti serie
(i) X∞
0
e−nx
3 + n (ii)
X∞ 0
nn (x − 1)n
2. Studiare la convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie
(i) X∞
1
(−1)n n + 3
n(n + 4) (ii) X∞
1
(−1)n 5−n log n + 1
3. Determinare, usando una opportuna serie di Mc Laurin, la somma della serie
X+∞
0
(−1)n32n+1 (2n)!
4.Data la funzione
f (x, y) = 8 log(x + y) − 5 arctan(x − y) − x − 3y
a) determinarne il dominio, i punti stazionari e gli estremi;
b) calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 0) nella direzione del vettore (2, −2).
5. Calcolare l’integrale
Z Z
E
(x + 2y) dxdy
dove E `e la regione di piano limitata dalle rette y = −2x − 3, y = x, y = −x.
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