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Esercizi di riepilogo e complemento 6
Regole di Cesaro
1. Dimostrare che, se la successione di numeri reali {α
n} ammette limite (finito o infinito), allora
n→∞
lim
α
1+ α
2+ · · · + α
nn = lim
n→∞
α
n2. Dimostrare che, se la successione di numeri reali positivi {α
n} ammette limite (finito o infinito), allora
n→∞
lim
n√ α
1α
2. . . α
n= lim
n→∞
α
n3. Dimostrare che, se esiste (finito o infinito) il limite lim
n→∞
β
nβ
n−1, essendo β
n> 0 (n 2), allora
n→∞
lim
nβ
n= lim
n→∞
β
nβ
n−1. 4. Determinare i limiti
a) lim
n→∞
n
1 · 3 · 5 . . . (2n + 1)
n! , b) lim
n→∞
√
nn
a) 2; b) 15. Determinare i limiti
a) lim
n→∞
1 + √ 2 + √
33 + . . . √
nn
n , b) lim
n→∞
√
nn!
n
a) 1; b)1e6. Determinare il limite
n→∞
lim
n4n
2+ 2n + 5
1
7. Dimostrare che:
a) lim
n→∞
nx
n= 0, dove |x| < 1;
b) lim
n→∞
x
nn! = 0, ∀x ∈ R.
8. Determinare il limite
n→∞
lim
1 + 1
n
1+ 12 +···+1nlog n
1
9. Determinare il limite delle successioni a) lim
n→∞
1 + 2 + 3 + . . . + n
n
2, b) lim
n→∞
1 + 2
2+ 3
2+ . . . + n
2n
3,
c) lim
n→∞
1 + 2
3+ 3
3+ . . . + n
3n
4, d) lim
n→∞
1 + 2
k+ 3
k+ . . . + n
kn
k+1.
a) 1/2, b) 1/3, c) 1/4, d)k+11
