Le rette Le rette

(1)

Le rette

(2)

Rette complanari Rette complanari

Cosa significa complanare?

Letteralmente

Letteralmente che che condividono condividono lo stesso piano

lo stesso piano

Consideriamo le seguenti rette Consideriamo le seguenti rette

r ed s r ed s

Queste due rette giacciono Queste due rette giacciono

sullo stesso piano a sullo stesso piano a

Definiamo complanari due rette che

giacciono sullo stesso piano

(3)

Rette complanari

Si incontrano in un punto

Non si incontrano mai

Rette incidenti

Rette perpendicolari

Rette parallele

Rette coincidenti sono

casi particolari

sono

casi particolari

(4)

Rette incidenti Rette incidenti

Due rette complanari posso Due rette complanari posso

incontrarsi in un punto incontrarsi in un punto

Consideriamo la figura Consideriamo la figura

seguente seguente

Le rette r ed s si incontrano nel Le rette r ed s si incontrano nel

punto P punto P

Due rette appartenenti ad un piano  si dicono incidenti se si incontrano

in un punto

(5)

Perpendicolare ad una retta data passante Perpendicolare ad una retta data passante

per un suo punto per un suo punto

Consideriamo 2 rette incidenti a Consideriamo 2 rette incidenti a e b che si incontrano in modo e b che si incontrano in modo da dare origine a quattro angoli da dare origine a quattro angoli

congruenti nel punto D congruenti nel punto D

Chiamiamo queste rette Chiamiamo queste rette

perpendicolari perpendicolari

Quale sarà la definizione di Quale sarà la definizione di

rette perpendicolari?

Due rette sono perpendicolari quando

incontrandosi formano quattro angoli retti

b ┴ a ┴ simbolo di perpendicolarità

Leggiamo che la rette a è perpendicolare alla retta b

(6)

Costruzione di una perpendicolare Costruzione di una perpendicolare

È data una retta r e un punto P È data una retta r e un punto P si di essa

si di essa

Prendo un compasso di Prendo un compasso di

apertura a piacere e punto su P apertura a piacere e punto su P e faccio due archi sulla retta e e faccio due archi sulla retta e trovo i punti A e B

trovo i punti A e B

Punto su A con apertura di Punto su A con apertura di

compasso AB e faccio due archi compasso AB e faccio due archi sopra e sotto la retta r

sopra e sotto la retta r

Punto in B e ripeto l’operazione

(7)

I due archi si incontrano nei punti C e I due archi si incontrano nei punti C e D D

La retta s passante per i punti CPD La retta s passante per i punti CPD sarà perpendicolare alla retta r nel sarà perpendicolare alla retta r nel

punto P

(8)

Per rispondere a questa domanda ce ne dobbiamo fare Per rispondere a questa domanda ce ne dobbiamo fare

un’altra:

Su una retta quante posso fare l’operazione precedente Su una retta quante posso fare l’operazione precedente

su una retta?

Siccome il punto lo posso mettere dove voglio e la retta Siccome il punto lo posso mettere dove voglio e la retta

ha infiniti punti le perpendicolari saranno infinite ha infiniti punti le perpendicolari saranno infinite

Data una retta r sul piano alfa Data una retta r sul piano alfa

esistono infinite rette esistono infinite rette

perpendicolari ad essa

(9)

Perpendicolare ad una retta Perpendicolare ad una retta

passante per un punto passante per un punto

E data una retta r e un punto P E data una retta r e un punto P

appartenenti entrambe al piano alfa con P appartenenti entrambe al piano alfa con P

non appartenente ad r r et P

non appartenente ad r r et P   e P r e P r Quante perpendicolari ad r passanti per P Quante perpendicolari ad r passanti per P

posso tracciare?

La prima domanda che mi posso fare è La prima domanda che mi posso fare è

questa: quante rette passano per un questa: quante rette passano per un

punto?

(10)

Dai postulati di Euclide sappiamo che per un Dai postulati di Euclide sappiamo che per un

punto passano infinite rette punto passano infinite rette

Ora ci possiamo fare la seguente domanda:

quante di queste rette somo perpendicolari ad r?

È facile vedere che ci sarà una sola retta che È facile vedere che ci sarà una sola retta che

partendo da P risulterà perpendicolare ad r partendo da P risulterà perpendicolare ad r

Perché?

Solo una taglia r formando angoli congruenti Solo una taglia r formando angoli congruenti

Data una retta r ed un punto P esterna Data una retta r ed un punto P esterna

ad essa e appartenente al medesimo ad essa e appartenente al medesimo

piano, dal punto P posso tracciare una piano, dal punto P posso tracciare una

ed una sola retta perpendicolare ad r

(11)

Piede della perpendicolare

Consideriamo una retta r e una sua perpendicolare

Le due rette si

incontreranno nel punto P

Tale punto prende il nome di piede della perpendicolare

Si dice piede della perpendicolare il punto in cui retta e perpendicolare si incontrano

r s

P

(12)

Rette parallele

Consideriamo due rette r e s appartenente ad un piano e non eventi alcun punto in

comune

Chiamiamo queste due rette parallele

r

s



Due rette si dicono parallele se

sono complanari e se non hanno

alcun punto in comune

(13)

Retta parallela ad una retta data e passante per un punto

E data una retta r e un punto P appartenenti entrambe al piano alfa E data una retta r e un punto P appartenenti entrambe al piano alfa

con P non appartenente ad r r et P

con P non appartenente ad r r et P ε e P ε r e P r

Quante parallele ad r passanti per P posso tracciare?

Delle infinite rette passanti per P solo una non incontrerà la retta r Delle infinite rette passanti per P solo una non incontrerà la retta r

Data una retta r e un punto P esterno Data una retta r e un punto P esterno

ad essa esiste una ed una sola retta ad essa esiste una ed una sola retta

parallela ad r passante per P parallela ad r passante per P

r s P

(14)

Rette coincidenti

Consideriamo la retta r appartenente al piano 

Immaginiamo ora di disegnare si di essa un’altra retta s Cosa possiamo vedere?

Le due rette toccano esattamente gli stessi punti del piano

In linguaggio specifico abbiamo che i punti dell’una sono anche punti dell’altra

Due rette sono coincidenti se condividono gli stessi punti del piano

s

(15)

Proiezione di un punto su una retta

Proiettare significa buttare avanti una cosa, potremmo pensare di lanciare P contro una retta, ma in che modo?

Consideriamo una retta r e un punto P sterno ad essa

appartenenti entrambi al piano



Conduciamo la perpendicolare ad r passante per il punto P

Tale retta incontra la retta R nel punto O

Il punto O è la proiezione di P su r

r

P

 s

O

La proiezione di un punto su una retta è il punto in cui la sua

perpendicolare

passante per il punto

taglia la retta

(16)

Proiezione di un segmento su una retta: premesse

Siccome il segmento contiene infiniti punti per proiettarlo io doveri compiere infinite volte l’operazione precedente

Questo è assurdo

La successiva diapositiva farà vedere come risolvere il

problema

(17)

Proiezione di un segmento su una retta

Consideriamo una retta r e una

segmento P appartenenti entrambi al piano 

Per proiettare in segmento sulla retta basta proiettare i suoi

estremi sulla retta r

Troviamo i punti A’ e B’

Il segmento A’B’ sarà la proiezione di AB su r

r A

B



A’ B’

http://www.terminus2.net/appunti/geometria/cabri/proiezioni.php

Per proiettare un segmento su una retta basta trovare le proiezioni dei suoi due punti estremi e prendere in

considerazione il segmento risultante

(18)

Asse di un segmento

Consideriamo il segmento AB e sia M il suo punto medio

Quali saranno le caratteristiche di M?

Consideriamo ora la

perpendicolare ad AB passante per M

Chiamiamo questa

perpendicolare asse del segmento

L’asse di un segmento è il luogo

geometrico dei punti equidistanti dai suoi

estremi

http://www.math.it/cabri/asse.htm

(19)

Luogo geometrico Luogo geometrico

Ma che bestia è…….

Il luogo geometrico è dato dall’insieme dei Il luogo geometrico è dato dall’insieme dei

punti del piano che hanno una qualche punti del piano che hanno una qualche

proprietà proprietà

Es. punti equidistanti dai vertici di un Es. punti equidistanti dai vertici di un

segmento

(20)

Rette sghembe

Consideriamo un piano  una retta ad esso

complanare e una retta s che incontra il pano nel punto P Com’è la retta s rispetto al piano 

Si tratta di una retta incidente Come sono le rette r ed s

Hanno punti in comune?

No allora sono parallele? No!

È stato dimostrato che

esistono rette che non hanno punti in comune e che non sono parallele



r s

Due rette che non hanno punti in

comune e che appartengono a piani diversi si dicono sghembe

P

(21)

Fascio di rette

Esistono due tipi di fasci di rette Il fascio di rette proprio

Il fascio di rette improprio

(22)

Fascio proprio di rette Fascio proprio di rette

Consideriamo un punto P in un Consideriamo un punto P in un

piano piano  

Come sappiamo per il punto P del Come sappiamo per il punto P del

piano passano infinite rette piano passano infinite rette

Se ci troviamo in una situazione Se ci troviamo in una situazione

zerodimensionale quante rette zerodimensionale quante rette

passano per il punto P?

Se ci troviamo in una situazione Se ci troviamo in una situazione

unidimensionale quante rette unidimensionale quante rette

passano per il punto P?

P



Definiamo fascio proprio di rette l’insieme

delle rette passanti per il punto P

(23)

Fascio improprio di rette Fascio improprio di rette

Consideriamo una retta r appartenente al piano Consideriamo una retta r appartenente al piano   Come sappiamo esistono infinite rette parallele ad r Come sappiamo esistono infinite rette parallele ad r

Si definisce fascio improprio di rette Si definisce fascio improprio di rette

l’insieme delle infinite rette parallele fra

loro loro

(24)

Distanza

Consideriamo due oggetti A e B Possiamo unirli con varie linee di diversa lunghezza

Nessuna di queste è la distanza Proviamo a tracciare la linea più corta possibile

Essa risulterà immancabilmente un segmento

Definiamo distanza fra due oggetti la

lunghezza del

segmento che li unisce

A B

(25)

Distanza di un punto da una retta Distanza di un punto da una retta

Consideriamo una retta r e un punto P sterno ad essa

appartenenti entrambi al piano  Dal punto posso tracciare diversi segmenti che arrivano sulla retta r Ancora una volta dobbiamo trovare quello più piccolo per avere la

distanza

Conduciamo la perpendicolare ad r passante per il punto P

Tale retta incontra la retta R nel punto O

La distanza di P da r è data dalla lunghezza del segmento PO

r

P

 s

O

La distanza di un

punto da una retta è data dalla lunghezza del segmento

perpendicolare che

unisce il punto alla

retta

(26)

Distanza fra due rette parallele Distanza fra due rette parallele

Consideriamo due rette parallele r Consideriamo due rette parallele r ed s appartenenti al piano

ed s appartenenti al piano  

Tracciamo la perpendicolare alla Tracciamo la perpendicolare alla retta r ed s

retta r ed s

Tale retta taglierà le due rette Tale retta taglierà le due rette parallele nei punti A e B

parallele nei punti A e B

Si dice distanza fra le due rette la Si dice distanza fra le due rette la lunghezza del segmento AB

lunghezza del segmento AB perché è perpendicolare ad perché è perpendicolare ad entrambe le rette

entrambe le rette

r

s

A

B

Si definisce distanza di due rette parallele la lunghezza del segmento perpendicolare alle rette date e che ha come suoi estremi punti appartenenti alle due rette

 t

Distanza fra rette parallele

(27)

Rette parallele tagliate da una trasversale Rette parallele tagliate da una trasversale

Consideriamo due rette r ed s Consideriamo due rette r ed s tagliate da una trasversale t e tagliate da una trasversale t e

appartenenti al piano appartenenti al piano  

Si formano 8 angoli numerati da Si formano 8 angoli numerati da

1 a 8 1 a 8

Sapendo che gli angoli opposti Sapendo che gli angoli opposti al vertice sono congruenti quali al vertice sono congruenti quali

saranno gli angoli uguali?

Gli angoli 1, 2, 6, 8 sono esterni Gli angoli 1, 2, 6, 8 sono esterni Gli angoli 3, 4, 5, 6 sono interni Gli angoli 3, 4, 5, 6 sono interni

Le coppie 3,6 e 4,5 si trovano Le coppie 3,6 e 4,5 si trovano

uno da una parte e una dall’altra uno da una parte e una dall’altra perciò sono alterni interni e sono perciò sono alterni interni e sono

formate da angoli congruenti formate da angoli congruenti

Contributi esterni

r s t



1 2

3 4

5 6

7 8

Le coppie 1,8 e 2,7 si

trovano uno da una parte e una dall’altra perciò

sono alterni esterni e

sono formate da angoli

congruenti

(28)