Piani e rette 28/10
Riassunto
L’equazione del piano che contiene tre punti (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) (non allineati) è
x −x1 y −y1 z −z1 x2−x1 y2−y1 z2−z1 x3−x1 y3−y1 z3−z1
= 0.
Afferma che le tre righe sono dipendenti, cioè coplanari.
Una retta parallela al vettore p = (α, β, γ), che contiene un punto P0= (x0, y0, z0), è l’insieme dei punti
r = n
(x0 + tα, y0+ tβ, z0 + tγ) : t ∈ R o. In forma vettoriale, un punto generico su r è
v = (x, y, z) = (x0 + tα, y0+ tβ, z0+ tγ)
= (x0, y0, z0) + t(α, β, γ)
= v0 + t p,
da cui segue che p×v = q dove p e q = p×v0 sono vettori fissi con p · q = 0 (in analogia con n · v = d per un piano).
Date due rette distinte r1, r2, ci sono tre possibilità:
(1) le rette sono parallele,
(2) le rette sono incidenti, cioè si intersecano in un punto, (3) le rette sono sghembe, cioè nè parallele nè incidenti, e
non esiste nessun piano che le contiene entrambe.