G. Sammito, A. Bernardo, Formulario di matematica Geometria solida F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi

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14. GEOMETRIA SOLIDA

Nel seguito: V volume, A area laterale,

_l

A area di base,

_b

A area totale,

_t

2 perimetro di base, C p

_b

circonferenza, d diagonale, h altezza, l lato, r raggio, r

i

raggio della sfera inscritta, r

c

raggio della sfera circoscritta, a apotema (in alcuni casi può essere un semplice spigolo).

1. Parallelepipedo rettangono

c b a c A

V =

_b

⋅ = ⋅ ⋅ A

_l

= 2 p

_b

⋅ c A

_b

= a ⋅ b

( )

= 2 2

t b l

A A + A = ab bc + + ac d = a

²

+ b

²

+ c

²

b t

l

A A

A = − 2 =

2

t l

b

A A V

A c

− =

c p

_b

= A

^l

2

Il baricentro è il punto di intersezione delle diagonali.

2. Cubo

= l

3

V A

_l

= l 4

²

A

_t

= l 6

²

d = l 3

2

i

r = l 3

2

c

r = l =

³

6 4

t l

A A

l V = =

3. Prisma retto

Il prisma retto ha la superficie inferiore congruente e parallela alla superficie superiore, le facce laterali sono rettangoli.

h A

V =

_b

⋅ A

_l

= 2 p

_b

⋅ h A

_t

= A

_l

+ 2 A

_b

h p

_b

= A

^l

2

= 2

l

b b

A V

h p = A A

_l

= A

_t

− 2 A

_b

=

^t

2

^l

b

A A A −

h A

_b

= V

4. Prisma obliquo

h A

V =

_b

⋅ A

_t

= A

_l

+ 2 A

_b

5. Piramide retta

= 1 3

^b

V A h ⋅ 2

= 2

b l

A p a ⋅

A

_t

= A

_b

+ A

_l

h A

_b

3 V

= 2

_b

= 2 A

^l

p a

= 2 2

l b

a A

p A

_b

h 3 V

=

6. Tronco di piramide

) 3 (

= 1 h A

_b

A

_b

A

_b

A

_b

V ⋅ ⋅ +

_′

+ ⋅

_′

2 ) 2

= (2 p p a A

_l

+ ′ ⋅

p p a A

^l

+ 2 ′ 2

= 2 A

_t

= A

_l

+ A

_b

+ A

_b′

h

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7. Poliedri regolari

Area e volume si possono calcolare in maniera approssimata utilizzando i numeri fissi φ e σ

=

2

A ϕ ⋅ l V = σ ⋅ l

³

Poliedro Tetraedro Esaedro o cubo

Ottaedro Dodecaedro Icosaedro

Numero fisso per l’area φ

1,73 6 3,464 20,64 8,66

Numero fisso per il volume σ

0,118 1 0,471 7,663 2,182

Tetraedro: formato da 4 triangoli equilateri

3

2

12

V = l A

_t

= l

²

3 6

12

i

r = l 6

4

c

r = l

Esaedro: formato da 6 quadrati è il cubo

Ottaedro: formato da 8 triangoli equilateri

3

2

3

V = l A

_t

= 2 l

²

3 6

6

i

r = l 2

2

c

r = l Dodecaedro: formato da 12 pentagoni regolari

( )

3

15 7 5 4 l V

= + ^A

^t

^{= 3 l}

²

^{5 5 2 5} ( ⁺ ) ^{10 25 11 5} ( )

i

20 l r

= + ^{3 1} ( ⁵ )

c

4 l r

= +

Icosaedro: formato da 20 triangoli equilateri

( )

5

3

3 5 12 l V

= + A

_t

= 5 l

²

3 ^{3 3} ( ⁵ )

i

12 l r

= + ^r

^c

⁼ ₄ ^{l 2 5} ( ^{+ 5} )

8. Cilindro

h r h A

V =

_b

⋅ = π

²

A

_b

= r π

²

A

_l

= C ⋅ h = 2 π rh

= 2 = 2 ( )

t l b

A A + A π r h + r

h A

_b

= V

= 2 A

^l

C r

π = h =

₂

2

A

l

V

h π r ⁼ π r ⁼ 2

A

l

V r π h ⁼ π h

9. Cono

= 3

= 3

2

h r h

V A

^b

⋅ π ⋅ ⋅

a ra A

_l

C = π

= 2 ⋅

₂

A

_b

= r π

ra r A A

A

_t

=

_b

+

_l

= π

²

+ π

r a A

^l

= π 3

= A

^l

V

r π a ⁼ π h

²

= 3 V h π r

⋅

h l

l l l

tetraedro

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10. Tronco di cono

(

^{12 1 2 22}

)

= 1

V 3 h π r + r r + r A

_l

= π ⋅ a ⋅ ( r

₁

+ r

₂

)

2² 2

= r

1

r A

_b

π + π

( )

²

2

1 2

a = h + r − r

11. Sfera

3

3

= 4 r

V π A = 4 π r

²

³

3

= 4 4

A V

r π ⁼ π

Calotta sferica e segmento sferico Settore sferico ad una base o sezione sferica

) 3 (3

= 1 h

²

r h

V π − A = 2 π rh A

_l

= π r r (

1

+ 2 h )

( )

1

2

r = h r − h 2

²

V = 3 π r h

Zona sferica e segmento sferico a due basi Fuso sferico e spicchio sferico

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⋅ ⋅

₂

2 2 1 2

3

= 2 h h r r

V π

rh A = 2 π

3

= 270 V π r α

°

2

= 90

l

A π α r

° ,

12. Altre figure particolari

Cilidro circolare retto a sezione obliqua Corona cilindrica

( )

2

2

V = π r a b ⁺ A

l

= π r a ( + b ) ^{V = π h r} (

¹²

^{− r}

²²

) ^A

^l

^{= 2 π h r (}

¹

^{+ r}

²

⁾

2 2

t

2

A = π r a b ^{⎛ ⎜} ⎜ ⎝ + + + r r + ⎜ ^⎛ ⎝ a b ^{− ⎞} ⎟ ⎠ ^{⎞ ⎟} ⎟ ⎠

A

_t

= 2 π ( r

1

+ r

2

)( h + − r

1

r

2

)

r

1

r

2

a r

b

r h r

₁

r h r

₁

α è misurato in gradi A

l

è la parte di superficie sferica

α

r

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Obelisco Cuneo Le superfici laterali sono trapezi, le superfici Superficie di base rettangolare, le superfici laterali superiore e inferiore sono rettangoli non simili. sono triangoli e trapezi isosceli.

( ² ) ( ² )

6

V = h ⎡ ⎣ a + c b + c + a d ⎤ ⎦ ( ² )

6

V = bh a + c

Toro Prisma obliquo triangolare

2 2

2

2 1

V = π r r A

_t

= 4 π

²

r r

_{1 2}

b

3

a b c V = A + +

r

1

r

₂

A

b

a b c

a

b c

h

a

b

c d

h