Formulario di Geometria Solida
………
Nel seguito: V volume, A
larea laterale, A
barea di base, A
tarea totale, 2 p
bperimetro di base, C circonferenza, d diagonale, h altezza, l lato, r raggio, r
iraggio della sfera inscritta, r
craggio della sfera circoscritta, a apotema (in alcuni casi può essere un semplice spigolo).
1. Parallelepipedo rettangono
c b a c A
V =
b⋅ = ⋅ ⋅ A
l= 2 p
b⋅ c A
b= a ⋅ b
( )
= 2 2
t b l
A A + A = ab bc + + ac d = a
2+ b
2+ c
2b t
l
A A
A = − 2 =
2
t l
b
A A V
A c
− =
c p
b= A
l2
Il baricentro è il punto di intersezione delle diagonali.
2. Cubo
= l
3V A
l= l 4
2A
t= l 6
2d = l 3
2
i
r = l 3
2
c
r = l =
36 4
t l
A A
l V = =
3. Prisma retto
Il prisma retto ha la superficie inferiore congruente e parallela alla superficie superiore, le facce laterali sono rettangoli.
h A
V =
b⋅ A
l= 2 p
b⋅ h A
t= A
l+ 2 A
bh p
b= A
l2
= 2
l
b b
A V
h p = A A
l= A
t− 2 A
b=
t2
lb
A A A −
h A
b= V
4. Prisma obliquo
h A
V =
b⋅ A
t= A
l+ 2 A
b5. Piramide retta
= 1 3
bV A h ⋅ 2
= 2
b l
A p a ⋅
l b
t
A A
A = +
h A
b3 V
= 2
b= 2 A
lp a
= 2 2
l b
a A
p A
bh 3 V
=
6. Tronco di piramide
) 3 (
= 1 h A
bA
bA
bA
bV ⋅ ⋅ +
′+ ⋅
′2 ) 2
= (2 p p a A
l+ ′ ⋅
p p a A
l+ 2 ′ 2
= 2 A
t= A
l+ A
b+ A
b′h
………
7. Poliedri regolari
Area e volume si possono calcolare in maniera approssimata utilizzando i numeri fissi φ e σ
=
2A ϕ ⋅ l V = σ ⋅ l
3Poliedro Tetraedro Esaedro o cubo
Ottaedro Dodecaedro Icosaedro
Numero fisso per l’area φ
1,73 6 3,464 20,64 8,66
Numero fisso per il volume σ
0,118 1 0,471 7,663 2,182
Tetraedro: formato da 4 triangoli equilateri
3
2
12
V = l A
t= l
23 6
12
i
r = l 6
4
c
r = l
Esaedro: formato da 6 quadrati è il cubo Ottaedro: formato da 8 triangoli equilateri
3
2
3
V = l A
t= 2 l
23 6
6
i
r = l 2
2
c
r = l Dodecaedro: formato da 12 pentagoni regolari
( )
3
15 7 5 4 l V
= + A
t= 3 l
25 5 2 5 ( + ) 10 25 11 5 ( )
i
20 l r
= + 3 1 ( 5 )
c
4 l r
= +
Icosaedro: formato da 20 triangoli equilateri
( )
5
33 5 12 l V
= + A
t= 5 l
23 3 3 ( 5 )
i
12 l r
= + r
c= 4 l 2 5 ( + 5 )
8. Cilindro
h r h A
V =
b⋅ = π
2A
b= r π
2A
l= C ⋅ h = 2 π rh
= 2 = 2 ( )
t l b
A A + A π r h + r
h A
b= V
= 2 A
lC r
π = h =
22
A
lV
h π r = π r = 2
A
lV r π h = π h
9. Cono
= 3
= 3
2
h r h
V A
b⋅ π ⋅ ⋅
a ra A
lC = π
= 2 ⋅
2A
b= r π
ra r A A
A
t=
b+
l= π
2+ π
r a A
l= π 3
= A
lV
r π a = π h
2= 3 V h π r
⋅
h l
l l l
tetraedro
………
10. Tronco di cono
(
12 1 2 22)
= 1
V 3 h π r + r r + r A
l= π ⋅ a ⋅ ( r
1+ r
2)
22 2= r
1r A
bπ + π
( )
22
1 2
a = h + r − r
11. Sfera
3
3
= 4 r
V π A = 4 π r
2=
33
4 4
A V
r π = π
Calotta sferica e segmento sferico Settore sferico ad una base o sezione sferica
) 3 (3
= 1 h
2r h
V π − A = 2 π rh A
l= π r r (
1+ 2 h )
( )
1
2
r = h r − h 2
2V = 3 π r h
Zona sferica e segmento sferico a due basi Fuso sferico e spicchio sferico
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
⋅ ⋅
22 2 1 2
3
= 2 h h r r
V π
rh A = 2 π
3
= 270 V π r α
°
2
= 90
l
A π α r
° ,
12. Altre figure particolari
Cilidro circolare retto a sezione obliqua Corona cilindrica
( )
2
2
V = π r a b + A
l= π r a ( + b ) V = π h r (
12− r
22) A
l= 2 π h r (
1+ r
2)
2 2
t
2
A = π r a b ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ + + + r r + ⎜ ⎛ ⎝ a b − ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
A
t= 2 π ( r
1+ r
2)( h + − r
1r
2)
r
1r
2a r
b
r h r
1r h r
1α è misurato in gradi A
lè la parte di superficie sferica
α
r
………
Obelisco Cuneo
Le superfici laterali sono trapezi, le superfici Superficie di base rettangolare, le superfici laterali superiore e inferiore sono rettangoli non simili. sono triangoli e trapezi isosceli.
( 2 ) ( 2 )
6
V = h ⎡ ⎣ a + c b + c + a d ⎤ ⎦ ( 2 )
6
V = bh a + c
Toro Prisma obliquo triangolare
2 2
2
2 1V = π r r A
t= 4 π
2r r
1 2b