t2+ 3 `e una soluzione dell’eq

(1)

Pisa, 1 Gennaio 2005

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Il prodotto scalare tra i vettori (1, 1, 0) e (1, 2, 1) `e 4 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per la funzione f (x, y) = 2x⁴+ y⁴ 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²+ y ≤ 1} `e limitato 2 2

Esiste min{e^x+ e^y : x² + y² ≤ 1} 2 2

L’integrale di (1 + x² + y²)⁻¹ su R² converge 2 2

u⁰⁰+ 5tu⁰ = sin t, u(0) = u⁰(1) = 1 `e un problema di Cauchy 2 2 La funzione f (x, y) = x + 3y² ha almeno un punto stazionario 2 2 u(t) = t²+ 3 `e una soluzione dell’eq. diff. u⁰ = 2√

u − 3 per ogni t ≥ 0 2 2 L’equazione differenziale u⁰+ t²u = 5 `e lineare e omogenea 2 2 La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰⁰+ 2u⁰ = 0 `e u(t) = a + be^−2t 2 2

• Sia f (x, y) = sin(xy). Allora f_x(π, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 2 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₂(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 3, y ≥ x}, B = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], |x − 1| ≤ y ≤ 1}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

px²+ y²dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

inf

α ∈ R :

Z +∞

1

x + 3

x^α+ 2dx converge

= . . . .

max{xy : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]} = . . . .

(2)

Il vettore (1, 2, −1) ha norma 4 2 2

(0, 0) `e un punto di minimo relativo per la funzione f (x, y) = xy 2 2

Se f (x, y) = x²+ y allora ∇f (1, 1) = (2, 1) 2 2

inf{y³+ x² : (x, y) ∈ R²} = 0 2 2

Esiste min{e^x+ e^y : x ≥ 0, y ≥ 0} 2 2

L’integrale di x⁻² in [10, +∞[ converge 2 2

Se u⁰ + tu = t²+ 5 e u(0) = 0, allora u⁰(0) = 5 2 2

L’insieme delle sol. dell’eq. diff. u⁰⁰⁰ = 7u è uno spazio vett. di dim. 3 2 2 La soluzione generale dell’equazione differenziale u⁰ = 7u è u(t) = e^7t+ c 2 2 L’equazione differenziale u⁰ + u² = tu è a variabili separabili 2 2

• Sia f (x, y) = sin x + arctan(yx). Allora f_y(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 1 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₁(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x²}, B = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x²+ y² ≤ 4}.

Z

A

y dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

sup

α ∈ R : Z 1

0

3x + 1

x^α dx converge

= . . . .

min{x − 2y : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 2]} = . . . .

(3)

Il vettore (2, −1, 2) `e perpendicolare al vettore (−2, 1, 2) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 2005, |y| ≤ x²} `e limitato 2 2 La funzione f (x, y) = x²+ 2xy + y² ha infiniti punti stazionari 2 2

Esiste min{sin x + sin y : (x, y) ∈ R²} 2 2

Il gradiente di f (x, y) = x²y non si annulla mai 2 2 L’integrale improprio di (sin x)^−1/2 in [0, 1] diverge 2 2

Se u⁰− 5u = t² e u(0) = 1, allora u⁰(0) = 5 2 2

u(t) = e^−2tsin t è una soluzione dell’eq. diff. u⁰⁰+ 4u⁰+ 5u = 0 2 2 La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰⁰+ u = 0 è u(t) = c1e^t+ c2e^−t 2 2 L’equazione differenziale u⁰ = sin u + 7 è autonoma 2 2

• Sia f (x, y) = e^2x− e^y. Allora f_xy(20, 40) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x² − 1 ≤ y ≤ 0}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ x}.

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

3 dx dy = . . . .

Z +∞

4

dx

x² = . . . .

min{xy : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 2]} = . . . .

(4)

Pisa, 5 Febbraio 2005

Il punto (1, 1, 1) è interno alla sfera di centro (0, 0, 0) e raggio 2 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x⁴+ y⁴ ≤ 1} è contenuto in [−1, 1] × [−1, 1] 2 2 (0, 0) è un punto di min. locale per la funzione f (x, y) = x² + 2y²+ 4xy 2 2

Esiste min{x²+ y⁴ : (x, y) ∈ R²} 2 2

Se f (x, y) = 2x + 3y, allora ∇f (2, 7) = (2, 3) 2 2

L’integrale di (x²+ 7)^−1/2 in [5, +∞[ converge 2 2

La sol. del problema di Cauchy u⁰ = cos u e u(0) = π è costante 2 2 u(t) = te^2t è una soluzione dell’eq. diff. u⁰ = 2u + e^2t 2 2 La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰⁰+ 4u⁰ = 0 è u(t) = c1e^2t+ c2e^−2t 2 2 L’equazione differenziale u⁰ = tu²+ 1 è a variabili separabili 2 2

• Sia f (x, y) = log(1 + x − 2y). Allora f_y(0, 0) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], x ≤ y ≤ 2x}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, x ≥ 0}.

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

x dx dy = . . . .

sup

α ∈ R :

Z +∞

3

x^α+ 2

x⁴+ 3 dx converge

= . . . .

max{x + y : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x} = . . . .

(5)

Pisa, 23 Febbraio 2005

Il vettore (3, 1, 5) è parallelo al vettore (6, 2, 10) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x⁴+ y⁶ ≤ 2005} è limitato 2 2 (0, 0) è un punto di min. locale per la funzione f (x, y) = x²+ 2y²+ xy 2 2

Esiste min{x⁴ − y⁴ : (x, y) ∈ R²} 2 2

log(1 + x²+ y²) ≥ 1 per ogni (x, y) ∈ R² 2 2

L’integrale di (x²+ y²)^−1/2 su [−1, 1] × [−1, 1] converge 2 2 L’insieme delle sol. dell’eq. diff. u⁰⁰+ u = 3t è uno sp. vett. di dim. 2 2 2 u(t) = e^−tcos(2t) è una soluzione dell’eq. diff. u⁰⁰+ 2u⁰+ 5u = 0 2 2 La sol. generale dell’eq. diff. u⁰⁰+ 4u⁰ = 0 è u(t) = c1cos(2t) + c2sin(2t) 2 2 L’equazione differenziale u⁰ + tu + 7 = 0 è lineare e omogenea 2 2

• Sia f (x, y) = e^2xsin y. Allora f_xy(0, 0) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : y ∈ [0, 1], 0 ≤ x ≤ y}, B = {(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 3, y ≥ x}.

Z

A

2x dx dy = . . . .

Z

B

(x²+ y²) dx dy = . . . .

Z +∞

0

e^−2xdx = . . . .

min{x − 3y : x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} = . . . .

(6)

Pisa, 14 Giugno 2005

La distanza tra i vettori (1, 0, 1) e (0, −1, 0) `e 3 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ e^x} `e limitato 2 2

(0, 0) `e un punto di min. relativo per la funzione f (x, y) = x²− 2y²+ xy 2 2

Esiste max{x²− 2xy : x ≥ 0, y ≥ 0} 2 2

Esiste almeno un punto (x, y) ∈ R² tale che xy + e^x = 2005 2 2

L’integrale improprio di |x|^−1/3 in [−1, 1] converge 2 2

L’insieme delle sol. dell’eq. diff. u⁰⁰+ u = 0 è uno sp. vett. di dim. 2 2 2 La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰ = u + 3 è u(t) = ce^t− 3 2 2 u(t) = e^−4t è una soluzione dell’equazione differenziale u⁰⁰+ 4u⁰ = 0 2 2 L’equazione differenziale u⁰+ t sin u = u è lineare 2 2

• Sia f (x, y) = e^x+ e^2y. Allora f_yy(0, 1) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, π], 0 ≤ y ≤ sin x}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4}.

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

px²+ y²dx dy = . . . .

sup

α ∈ R : Z 2

0

sin²x

x^α dx converge

= . . . .

min{xy : x ∈ [−1, 1], y ∈ [−2, 2]} = . . . .

(7)

Pisa, 5 Luglio 2005

Il prodotto scalare tra i vettori (−1, 1, 1) e (0, −1, 2) `e 1 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1} ha area 1/2 2 2 La funzione f (x, y) = x²+ 2y²− 2xy ha un solo punto stazionario 2 2

Esiste min{sin(xy) + x²+ y² : (x, y) ∈ R²} 2 2

Il gradiente di f (x, y) = 2y + arctan x² non si annulla mai 2 2 L’integrale improprio di (sin x)⁻¹ in [0, 1] diverge 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u⁰ = sin u, u(0) = π `e costante 2 2

Se u⁰ + 3u = 2t e u(1) = 0, allora u⁰(1) = 2 2 2

La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰⁰+ u = 0 `e u(t) = c₁cos t + c₂sin t 2 2 L’equazione differenziale u⁰ + sin t · u = t `e lineare 2 2

• Sia f (x, y) = x²− 2 sin(xy). Allora f_xy(0, 0) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : |x| − 1 ≤ y ≤ 0}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 3, x ≥ 0, y ≤ 0}.

Z

A

3 dx dy = . . . .

Z

B

2x dx dy = . . . .

inf

α ∈ R : Z

R²

dx dy

1 + (x²+ y²)^α converge

= . . . .

min{x²− y : x ∈ [−1, 1], y ∈ [−2, 2]} = . . . .

(8)

Pisa, 26 Luglio 2005

Il vettore (1, 2, 0) `e perpendicolare al vettore (−4, 2, 2005) 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : x⁴ + 7y⁴ ≤ 1} `e limitato 2 2

(0, 0) `e un punto di minimo relativo per la funzione f (x, y) = arctan(xy) 2 2

Esiste min{arctan(xy²) : x⁶+ y⁶ ≤ 1} 2 2

sin(xy) − cos(x³y³) ≤ 2 per ogni (x, y) ∈ R² 2 2

L’integrale di e^−x²^−y² su tutto R² diverge a +∞ 2 2

Se u⁰ = 2tu e u(4) = 2, allora u⁰(4) = 16 2 2

u(t) = e^tè la sol. del problema di Cauchy u⁰⁰= u, u(0) = 1, u⁰(0) = 0 2 2 La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰⁰ = u⁰ è u(t) = ae^t+ b 2 2 L’equazione differenziale u⁰+ tu = sin t è lineare 2 2

• Sia f (x, y) = cos(x²+ y²). Allora f_xy(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 3 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₃(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], x ≤ y ≤ 2}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, y ≥ |x|}.

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

x³dx dy = . . . .

sup

α ∈ R :

Z +∞

0

x^α

x⁷+ 1 converge

= . . . .

min{sin x + 3 cos y : (x, y) ∈ R²} = . . . .

(9)

Pisa, 21 Settembre 2005

Il vettore (7, 7, 7) ha norma 21 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| ≤ y ≤ 7} `e limitato 2 2

La funzione f (x, y) = x⁴− y⁴ non ha punti di minimo locale 2 2 Se f (x, y) = x, allora min{f (x, y) : x²+ y² ≤ 4} = 0 2 2

Se f (x, y) = xy², allora ∇f (1, 1) = (2, 2) 2 2

L’integrale di e^−x in [0, +∞[ diverge 2 2

u⁰⁰+ sin u⁰+ cos u = 0, u(0) = 3, u(π) = 3 è un problema di Cauchy 2 2 u(t) = sin(2t) + cos(2t) è una soluzione dell’eq. diff. u⁰⁰ = −4u 2 2 La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰⁰− 2u⁰+ u = 0 è u(t) = ce^t 2 2 L’equazione differenziale u⁰⁰+ tu⁰+ t³u = t⁴ è lineare ma non omogenea 2 2

• Sia f (x, y) = ye^2x− xe^2y. Allora f_xy(0, 0) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], 0 ≤ y ≤ x²}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≤ x}.

Z

A

x dx dy = . . . .

Z

B

3 dx dy = . . . .

Z +∞

2

√dx

xdx = . . . .

max{x + 2y : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 2]} = . . . .