Eq. di continuità, Eq. del moto Moti bidimensionali, Funzione di Flusso Eq. del moto per =cost, Eq. di continuità per =cost sottraendo si elimina la pressione soddisfa Eq. di continuità

(1)

D v Dt

D v P g

Dt

   

         Eq. di continuità, Eq. del moto

Moti bidimensionali, Funzione di Flusso

 

, , , , , ,

x x

y y

v v x y t

v v x y t incognite P P x y t



 

 

 

2 2

0

x x x

y y y

x y

D v v v

Dt x x y

D v v v equazioni

Dt y x y

v v

x y

 

  

        

 

   

        

  

  

  

Eq. del moto per =cost, Eq. di continuità per =cost

2 2

x x x

y y y

D v v v

y Dt y x y x y

D v v v

x Dt x y x x y

 

             

          

 

             

          

sottraendo si elimina la pressione

2 2 2 2

x y x x y y

D v v v v v v

Dt y x x y y y x x y x

 

           

            

x , y

v v

y x

 

     

  0

x y y x

 

         

        soddisfa Eq. di continuità

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

D

Dt y x x y y y x x

           

                

 

² ²

 

² ⁴

D

Dt         

(2)

Moto viscoso intorno a una sfera (Re<1), bidimensionale in (r,, v

Creeping flow around a sphere 2.6 BLS pag.58

 

4 2 2

0 E   E E  

2 2

sin 1

E sin

r r

     

     

0

r v v

r R v

   

  



2

1 1

sin , sin

vr v

r ^ r r

 

    

   

 

² ² 1

 

1 sin

sin

, sin

2 r

v v

r r

r v r c

 



  

 

     

  



      



(3)

   

2

2 2

2

1 cos

sin , sin

2

r

v v

r

r v r c r



  

 

     

  

    



 

^, ²^sin²

2 r

r v_ r

  



    



   

²

. , sin

Hp  r   f r 

4 0

E  

   

2 2 2

2 2 2 2

sin 1 2sin

sin sin sin

sin

E f f d f f

r r dr r

      

           

2

2 2

sin d 2

E f

dr r

 

    

 

2 2

4 2

2 2 2 2

2 2

sin d d

E f

dr r dr r

  

      

  

   

4 2

sin 0 , 0 E   g r    r g r  r

2 2

2 2 2 2

2 2

d d 0

f r

dr r dr r

  

   

  

  

 

. ⁿ

Hp f r r

1

d n

f nr dr

 

 

2

2 1 ⁿ

d f n n r dr

  

(4)

     

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 2

n

n n

d d d r d

f n n r n n r

dr r dr r dr r r dr r

 

       

         

       

       

 

2 3

n 2 n

d r n r

dr

   

  

2

2 4

2 ⁿ 2 3 ⁿ

d r n n r

dr

    

 

    

2 2

4 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 2 3 ⁿ ⁿ

d d

f n n n n r r

dr r dr r r

 

            

    

  

 



^{n n} ¹ ²

  

ⁿ ²



ⁿ ³



²



^rⁿ^⁴^r

      

 



^{n n}^{ }¹ ²

  

ⁿ^²



ⁿ^{ }³



²



^⁰

1; 2; 1; 4

n  n n n r^¹; ; ;r r r² ¹ ⁴



^Ar^¹ ^Br¹ ^Cr² ^Dr⁴



^sin²

     

 

^, ²^sin²

2 r

r v_ r

  



    



0 1 2 D

C v_



 

2

1 1 2

2 sin Ar^ Br v_ r

 

     

 

0 0 rR vr  v_ 

2

1 1

2 2

1 1

2sin cos

sin sin 2

r

v Ar Br v r

r r





 

              

3 1 1

2 2cos Ar^ Br^ v_

 

     

 

3 1 1

2cos 0

r r R 2

v _  AR^ BR^ v_    

(5)

3 1 1 2 0 AR^ BR^ v_

   

 

 

2 2

1 1

sin 2

sin sin 2

v Ar B v r

r r r



 

  

          



³ ¹



sin Ar^ Br^ v_

    



³ ¹



sin 0

v_r R_   AR^ BR^ v_  



^AR^³^BR^¹^v



⁰

 

3 1 3 1

1 0

2

1 0

2

AR BR v AR BR v

   

 

   

 

       

 

 

       

 



1

3

2 3 0

2

2 1 0

2

BR v

AR v





 

  



  



3

3 4

1 4

B Rv

A R v



 

  



2

3 1 1 2

1 3

4 4 2 sin

R v r_ ^ Rv r_ v_r

 

      

 

1 2

2 1 3 1 2

4 4 2 sin

r r r

v R R R R





       

              

3 1 1

2 2cos vr  Ar^ Br^ v_  

3 3 1

1 3 1

4 4 2 2cos

vr    R v r_ ^  Rv r_ ^ v_  

(6)

3 1 1 3

1 3 3 1

1 cos cos 1

2 2 2 2

r

r r r r

v v v

R R R R

   

 

           

                       

3 3 1

1 3

sin 4 4

v_     R v r_ ^  Rv r_ ^ v_

3 1 1 3

1 3 3 1

sin 1 sin 1

4 4 4 4

r r r r

v v v

R R R R

   

  

           

                      

Pressione

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 cot 2 2 cot

0

1 2 1 cot 2

0 sin

2 1 cot

0

r

r r r r

r

r r

v v

v v v v v

r r r r r r r r r

v v v v v v

r r r r r r r r

v v

r r r r

 

    

 

 

       

               

  

       

              

      

  

1 3

3 1

1 cos

2 2

r

r r

v v

R R

 



     

           

1 3

3 1

1 sin tan

2 2

r r

v v v

R R

 



 

                

      

1 3

2 2

3 1

1 cos

2 2

r r

v v v

R R

 



 

               

      

2

2 2 2 2 2 2

2 2 1 1 2 2 cot

0 _r _r v^r _r _r v

v v v v v

r r r r r r r r r

 

 

    

             

1 3

3 1

sin 1

4 4

r r

v v

R R

 

 

     

           

1 3

3 1

1 cos cot

4 4

r r

v v v

R R

 

  

 

               

      

(7)

2

2 2 2 2

2 4 2 2 cot

0 _r _r v^r cot v

v v v

r r r r r r r

 

 

   

           

 

2

2 2

2 4

0 v_r v_r v_r v cot

r r r r r ^

 

  

          



^cot



^cos ¹ ³ ¹ ¹ ³ ^cos ¹ ³ ¹ ¹ ³

2 2 4 4

r

r r r r

v v v v

R R R R

   

  

           

                      



^cot



^cos ³ ¹ ³ ³

4 4

r

r r

v v v

R R

 

 

     

            

 

³ ⁵

2 2

4 1

cot cos 3 3

r

r r

v v v

r R R R

 

 

     

            

 

2 4

1 1 3 3

cos 2 2

r r

v v v

r R r R R R R

 



 

            

       

 

3 5

2

2 1 1

cos 3 3

r r

v v v

r r R r R R R R

 



 

            

       

   

3 5

2

2 2

1 1 1

cos 3 6

r r

v v v

r R r R R r R R R R

 



 

              

        

3 2

1 cos 3

v r

r R R

r





      

     

  

  



 

^, ¹ ^cos ³ ²

2

r v r

R R



 

   

          

La distribuzione delle pressioni sulla superficie della sfera è

(8)



^,



³ ¹ ^cos

R 2 v

 R 

      

Forza di sollevamento

 

2

2 2

0 0 0

3 0

cos sin 3 cos sin

3 1cos 2

3

N rr r R

F R d d Rv d

Rv Rv

  

 



 

             

 

     

  

2 2

rr vr 3 v

r

  

       

 

rr r R ⁰

 

   

2

2 3

0 0 0

0

sin sin 2 3 sin

2

3 1 cos 3 9cos 4

12

T r r R

F R d d Rv d

Rv Rv

  

  



 

           

 

       

  

1 1

 

r r v vr

r r r

 

 

   

       

 

³ ¹ ^sin

r r R 2 v

  R 

   

4 3

2 4

3 Stokes

F  gR  Rv_  Rv_