FISICA a.a. 2009-2010 Prof. G. Della Valle
1
Momenti e II eq. Cardinale
1. Momento di una forza, momento angolare, II equazione cardinale della dinamica del punto materiale
Momento di un vettore
Dati un vettore applicato a!ed un punto O, detto polo, si dice momento M!
di a! rispetto ad O il vettore:
a r
M! ! !
!
= ,
dove r! è il vettore che va da O al punto di applicazione di a!. Come conseguenza della definizione, il momento è ortogonale al piano individuato da a! e da O ed ha per modulo
a d a
r
M = ! !sin" = ! ,
dove ! è l’angolo compreso tra r! ed a!, d è la distanza della retta di applicazione di a! dal polo O. Se trasliamo il vettore applicato a! lungo la sua retta di applicazione, il momento rispetto allo stesso polo O non cambia:
M!2 = ! r2!!
a = ! r1+!
r12
( )
!a =!= ! r1!!
a +! r12!!
a = ! r1!!
a = ! M1 essendo r!12 ||a! " r!12 !a! = 0. Momento di una forza
In particolare, dati una forza F!
ed un polo O, si definisce momento !! della forza F!
rispetto ad O il vettore:
F r! !
! = !
" ,
dove r! è il vettore che va da O al punto di applicazione di F!
. Le dimensioni del momento di una forza sono:
[ ]
! = r[ ] [ ]
F = L[ ]
2[ ]
M[ ]
T "2Nel S.I. il momento di una forza si misura in N !m. Momento della quantità di moto
Dati un punto materiale P, avente quantità di moto p! , ed un polo O, si definisce momento della quantità di moto o momento angolare L!
di P rispetto ad O il vettore p
r
L! ! !
!
= ,
dove r! è il vettore che va da O a P.
Il momento angolare risulta così ortogonale al piano individuato dal vettore p! (ovvero da v!, che è parallelo a p! ) e dal punto O. Abbiamo quindi la seguente fondamentale proprietà:
a!
M! r!
d
O !
a!
r!2
d O
r!1
a! r!12
M!
FISICA a.a. 2009-2010 Prof. G. Della Valle
2
Prop. Se un punto materiale compie un moto piano, ed anche il polo O viene scelto nel piano del moto, allora il momento angolare L!
è ortogonale al piano del moto, e quindi la sua direzione resta costante nel tempo.
Vale anche il viceversa:
Prop. Se il momento angolare L!
di un punto materiale P ha una direzione costante, allora il moto di P è un moto piano che si svolge nel piano ortogonale a L!
e passante per il polo O rispetto al quale L!
è definito.
Esempi
a) Moto circolare
Consideriamo il moto lungo una circonferenza di raggio R e centro O: il momento angolare di P rispetto al centro O vale
L = m! ! r !!
v = m R2!
"
b) Moto piano non circolare
Conviene utilizzare le coordinate polari, e scomporre la velocità secondo le componenti:
" !
" r
dt rd dt v
vr = dr ; = =
Il momento angolare rispetto all’origine, allora, vale:
( )
[
" "]
" " !"
"
!
!
!
!
!
!
! !
ˆ 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
r m u
r v m u
r v u r v m
u v u v r m v r m L
r r
r r
=
#
=
# +
#
=
= +
#
=
#
=
essendo r!!uˆ =r 0. c) Moto non piano
Anche in un moto non piano, ad ogni istante si può definire un piano (istantaneo) del moto come il piano del cerchio osculatore alla traiettoria nell’istante considerato. Detto C il centro istantaneo del cerchio osculatore, RC il suo raggio istantaneo ed !
!C la velocità angolare di rotazione istantanea del punto materiale intorno a C, possiamo vedere il moto non piano come un moto istantaneamente circolare, e quindi, riconducendoci al caso a) precedentemente trattato, trovare che il momento angolare del punto materiale rispetto al polo C è semplicemente !
LC = m RC2!
!C. Tale momento angolare tuttavia non risulta di particolare utilità inquanto il polo rispetto al quale è calcolato è in moto con il punto materiale stesso!
Si osservi tuttavia che, per costruzione, nel piano istantaneo del moto giace sia il vettore infinitesimo d!
r che il vettore posizione !
r del punto materiale rispetto all’origine nell’istante considerato. Osserviamo allora che possiamo ricondurre il moto non piano ad un moto istantaneamente piano non circolare, cioè al caso b) precedentemente trattato. Definiamo allora una velocità angolare !! (istantanea) il cui modulo sia dato dalla derivata temporale dell’anomalia ! di P individuata dal raggio vettore nel piano istantaneo del moto, la cui direzione sia ortogonale al piano istantaneo del moto, ed il verso quello piedi-testa di un osservatore che vede la rotazione (istantanea) del raggio vettore r! avvenire in senso antiorario. Possiamo in questo modo esprimere facilmente il momento angolare di P rispetto all’origine: sarà di nuovo !
L = m r2!
! .
!!
r!
p!
O
v!
v!!
v!r
r!
! y
O x
FISICA a.a. 2009-2010 Prof. G. Della Valle
3
La differenza con i casi precedenti è che, in questo caso più generale di moto non piano, il momento angolare di P rispetto all’origine potrà variare durante il moto non solo in modulo ma anche in direzione.
La II equazione cardinale della dinamica
Consideriamo un riferimento inerziale, ed un punto materiale P in moto in esso; se deriviamo rispetto al tempo l’espressione del momento angolare di P rispetto ad un polo O troviamo:
(
! !)
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!
=
"
=
"
+
"
=
"
+
"
=
"
= v p r F r F
dt p r d dt p
r p d
dt r d dt
L d
essendo v!|| p! " v!!p! = 0.
Resta così derivata la Seconda equazione cardinale o Teorema del momento angolare:
In ogni istante, la derivata temporale del momento angolare di un punto materiale P è pari al momento della risultante delle forze applicate a P rispetto allo stesso polo O
Si dice “seconda equazione cardinale” perché la si incontra, nello studio dei sistemi di punti, preceduta da una “prima equazione cardinale”. In particolare, se
cost.
0
0 ! = ! =
= L
dt L
d! !
"!
in modulo, direzione e verso, e quindi, in particolare, si ha che il moto è piano, perchè se il momento angolare è un vettore costante dovrà in particolare essere costante la sua direzione.
Dunque, come conseguenza della II equazione cardinale, si ha che se il momento delle forze applicate ad un punto materiale P rispetto ad un certo polo O è nullo, allora il momento angolare L!
di P rispetto ad O è costante, ed il moto del punto materiale avviene nel piano ortogonale a L!
e passante per O.
Appendice
(propedeutica alle esercitazioni) Cambiamento di polo per il momento angolareDati due poli O ed O!, entrambi fissi, cioè tali che O!O = cost., avremo:
L!O! = !r " ! p = !
r + !O O" !"""
( )
"p =! !r "p + !! O O" !"""" ! p = !
LO+ !O O" !"""
"! p Allora, derivando rispetto al tempo, otteniamo:
F O dt O
L d dt
p O d dt O
L d dt
L
d!O !O ! !O !
" ! +
=
" ! +
" =
!!
! dt =
L d
O!
O O!O
r!
p!
r !!
FISICA a.a. 2009-2010 Prof. G. Della Valle
4 II equazione cardinale rispetto ad un polo mobile
Consideriamo ora un polo O che si muove con velocità v!O in un riferimento inerziale. Il momento angolare di P rispetto ad O vale:
O P O P O
P v v
dt r d dt
r d dt
r v d r
r r p r
L! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!
=
!
=
=
"
!
=
#
= ;
(
! !)
! !! ! ! !!! !
! !
!
+
"
#
= +
"
#
=
"
+
"
= p r F v v p v p
dt r d dt
L d
O O
P O
essendo v!P || p! " v!P!p! = 0. In conclusione, la II equazione cardinale rispetto ad un polo mobile con velocità v!O diventa:
!!
!
! !
=
"
+v p
dt L d
O O
v!O
p v!P || ! r!
r!O
r!P
y z
x
P O
