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Meccanica dei fluidi

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Meccanica dei fluidi

• Fluidostatica (fluidi in quiete)

• Fluidodinamica (fluidi in movimento)

• Trasporto in regime viscoso

(2)

Densità

V

dm

Unità di misura (S.I.): kg/m3

• Funzione scalare di ogni punto del corpo;

• Densità uniforme:

densità costante in ogni punto.

Sostanza Densità (kg/m3)

alcol etilico 0,81103 tessuto adiposo 0,95103

acqua 1,00103

muscolo 1,05103

sangue 1,06103

osso 1,201,90103

ferro 7,80103

rame 8,90103

piombo 11,30103

mercurio 13,60103

aria 1,10

(3)

Pressione

F F

S S

pF

Unità di misura (S.I.): 1 Pascal (Pa) = 1 Newton/m

2

Altre unità di misura pratiche:

• 1 baria = 0,1 Pa (c.g.s.)

• 1 bar = 10

5

Pa (metereologia)

• 1 atm = 1,013·10

5

Pa (pressione atmosferica)

• 1 mmHg (anche torr)

• 1 cmH

2

0

discusse nel seguito ...

(4)

Esempio:

Assumendo che la superficie di appoggio dei piedi sia

complessivamente 70 cm

2

, calcolare la pressione che esercita sul pavimento una persona di massa m = 71,4 kg

Calcolare la pressione che esercita la medesima persona in

posizione sdraiata, assumendo in questo caso una superficie di appoggio di 0,7 m

2

.

R . p 10

5

Pa

R . p 10

3

Pa

(5)

Fluidi

Assumono la forma del recipiente che li contiene liquidi

Si dividono in:

aeriformi gas (O2, N2, CO2, He, ....)

vapori (H2O, ....) Proprietà dei fluidi

• Diffusione: lento miscelamento in un recipiente  miscuglio omogeneo

• Viscosità: attrito interno al fluido (dipende dal materiale e da T)

• Comprimibilità: variazione di volume quando sottoposti a pressione

• Fenomeni superficiali

viscosità nulla (assenza di attriti interni);

Fluido ideale: incomprimibile (volume costante);

si modifica la forma senza compiere lavoro.

(6)

Fluidi in equilibrio in un recipiente

Legge di Pascal : la pressione esercitata in un punto della superficie del fluido si trasmette inalterata in ogni punto del volume del fluido

F

Effetto del peso del fluido (legge di Stevino):

h g

d p

p

tot

atm

  

Pressione idrostatica In un fluido in equilibrio, la pressione interna dipende

solo dalla profondità h

(7)

Applicazioni

Principio dei vasi comunicanti

Torchio idraulico

F

1

F

2

S1 S2

2 2 1

1

S F

S F 

1

1 2

2

F

S FS

1

2

F

F

2

1

p

p

(8)

Legge di Archimede

Un solido immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto (spinta di Archimede) pari al peso del fluido

spostato

dVg mg

F

Vg d

g m

S

H O H O

2 2

g V

d d

F S

R

O

H

  

) (

2

O H

O H

O H

d d

d d

d d

2 2 2

corpo galleggia corpo in equilibrio corpo sprofonda Esempio: corpo immerso in acqua

(9)

Misura della pressione atmosferica

Esperimento di Torricelli a livello mare, 45

o

lat, 0

o

C :

atm 1

torr 760

mmHg 760

Pa 10

013 ,

1

5

atm

p

Pa 133,3 mmHg

1 torr

1  

!

!

! O cmH

1033 mmHg

760 atm

1  

2

Nota:

760 mm

Patm Patm

p=dgh

(10)

2 2

1

p dgh

dgh

p

atm

  

h dg

h h

dg p

p

2

atm

 (

1

2

)  

Misura differenze di pressione

h

1

h

2

Esempio:

misura invasiva della pressione arteriosa (pressione intramurale)

Manometro a liquido

La misura della pressione del sangue nelle arterie è sempre riferita alla Patm

120 mmHg  (120+760) mmHg

(11)

Sfigmomanometro

ps = pressione sistolica pd = pressione diastolica p > ps  silenzio

ps > p > pd  rumore pulsato p < pd  rumore continuo

(12)

Fleboclisi

Il flacone deve essere posto ad una altezza h sufficiente !

Es: se p = 18 mmHg

h > 25 cm !

(13)

Sifone

(14)

Effetti della pressione idrostatica

La pressione nei diversi punti del corpo varia quando da sdraiati ci portiamo in posizione

eretta

Nota: h

max

= 130 cm attenti alle forti

accelerazioni verso l’alto !!!

0

170 150 100 110 120 130 140 160 180 80 70 60 50 40 10 20 30 0

+120 +60 0 – 60

80 70 50 60 40

90

h (mmHg)

pv pa (cm)

+

pressione venosa pressione arteriosa

(valori medi)

posizione eretta

p = p

aorta

+ dg h

h(cuore) = 0

(15)

Fluidodinamica: portata di un condotto

S

v·t

v   v

 

  S

t t S

t Q V

La portata di un condotto è il volume di liquido che attraversa una sua sezione nell’unità di tempo

Unità di misura (S.I.): m3/s

Moto stazionario: portata costante nel tempo

Moto pulsatile: portata varia nel tempo in modo periodico

Nota:

v

 S

Q v velocita`media

v

m

S m

Fluido ideale QFluido reale

A B

(16)

Equazione di continuità

In regime di moto stazionario, la portata è la stessa in ogni sezione del condotto

costante v 

 S Q

Q = 100 cm3 s–1

A

S = 5 cm2

B

S = 1.25 cm2 C

S = 5×0.5 cm2

Esempio:

S = 5 cm2 v = 20 cm s–1

S = 1.25 cm2 v = 80 cm s–1

S = 2.5 cm2

v = 40 cm s–1

In generale: se S

1

> S

2

v

1

< v

2

(17)

Sistema circolatorio

CUORE

AORTA

CAPILLARI

ARTERIOLE ARTERIE VENA

CAVA

VENE

VENULE

valvole

POLMONI

Portata circolo:

Q 5 litri/min= 83 cm3/s

Aorta:

r = 0.9 cm S = r2 = 2.5 cm2 v = Q/ S  33 cm/s

Capillari:

S = 2500 cm2

v  0.033 cm/s = 0.33 mm/s

circolazione sistemica

circolazione polmonare

(18)

Esempio:

Assumendo una pressione arteriosa p

a

=100 mmHg ed una gittata sistolica V=60 cm

3

, si calcoli il lavoro meccanico compiuto dal ventricolo sinistro durante una sistole

Se la frequenza dei battiti cardiaci è di 60 battiti al minuto, si calcoli la potenza meccanica sviluppata dal cuore sinistro

R . L 0,8 J

R . W 0,8 W

(19)

Teorema di Bernoulli

Fluido ideale Condotto rigido Moto stazionario

Conservazione dell’energia meccanica

costante 2 v

1

2

 

d p

dgh

Energia potenziale mgh per unità

di volume

Energia cinetica ½mv2

per unità di volume

Lavoro delle forze di pressione per

unità di volume v

h

Applicabile solo approssimativamente al sangue ed ai condotti del sistema circolatorio !!

(20)

S

2

S

1

v

1

v

2

Q = costante S

1

v

1

= S

2

v

2

S

2

> S

1

v

2

< v

1

v

2

< v

1

p

2

> p

1

aneurisma tende a peggiorare

2 2 2

2 1

1

v

2 v 1

2

1 d p d

p   

Esempio: aneurisma

Applicando il teorema di Bernoulli ( h

1

= h

2

):

(21)

Esempio: stenosi

h

1

= h

2

S

2

S

1

v

1

v

2

Q = costante S

1

v

1

= S

2

v

2

S

2

< S

1

v

2

> v

1

v

2

> v

1

p

2

< p

1

stenosi tende a peggiorare

Applicando il teorema di Bernoulli ( h

1

= h

2

):

2 2 2

2 1

1

v

2 v 1

2

1 d p d

p   

(22)

Esempio: aspiratore di Bunsen

aria

(23)

Moto di un fluido reale

Teorema di Bernoulli applicato ad un condotto uniforme orizzontale:

1 2 h1 = h2

S1 = S2 v1 = v2

p

1

= p

2

= cost.

In presenza di forze di attrito viscoso  dissipazione di energia q

q p

dgh d

p dgh

d

12

1

1

 v

22

2

2

 2

v 1 2 1

Perdita di

pressione lungo il

condotto

(24)

Resistenza idrodinamica

Q

R   p Unità di misura (S.I.): Pa·s/m

3

Esempio: circuito idrodinamico equivalente al sistema circolatorio

Analogia con la legge di Ohm !!!

(25)

Soggetto sano a riposo:

s cm 83

Q

mmHg 100

3

p

3

3

cm

s 2 mmHg

. s 1

cm 83

mmHg

100 

 

Q R p

Soggetto sano sotto sforzo:

s cm 150

Q

mmHg 140

3

p

cm

3

s 9 mmHg

.

0 

 

Q R p

Soggetto iperteso:

s cm 83

Q

mmHg 200

3

p

cm

3

s 4 mmHg

.

2 

 

Q R p

Resistenza idrodinamica del grande circolo

(26)

Moto di un fluido reale: regime laminare

Strati cilindrici scorrono all’interno del condotto con

velocità crescente verso il centro del condotto

4

8

r R     l

r

Formula di Poiseuille

l p

Q r

 

 

4

8

= coefficiente di viscosità del fluido (Unità di misura S.I.: Pa·s)

v

asse del condotto

Caratteristiche:

• Profilo di velocità parabolico

• Moto silenzioso

• Q  p

(27)

 è funzione della temperatura

H

2

O ... 0°C ... 0.00178 10°C ... 0.00130 20°C ... 0.00100 alcool ... 20°C ... 0.00125 etere ... 20°C ... 0.00023 mercurio .. 20°C ... 0.00157 glicerina ... 15°C ... 0.2340 aria ... 15°C ... 0.000018

t (°C)  (Pa·s)

plasma

sangue ... 0.00400 (valore ematocrito 40%)

Coefficiente di viscosità

(28)

lamine e profilo

parabolico di velocità

velocità critica

v > v

c

transizione di fase in tutto il volume

lamine spezzate e vortici

Moto di un fluido reale: regime turbolento

r d

 

c

R v

R

= numero di Reynold (circa 1000 per condotti rettilinei)

Legge di Reynold

Caratteristiche:

• Elevata dissipazione di energia

• Moto rumoroso

• Q  p

(29)

Trasporto in regime viscoso

Esempio: particella immersa in un fluido omogeneo.

La forza di attrito è proporzionale alla velocità:

k = coefficiente di attrito

 v

k F

A

 

L’equilibrio tra forza agente sulla particella e forza d’attrito si ottiene

quando la velocità della particella raggiunge la velocità di trascinamento

Moto rettilineo uniforme

Legge di Stokes

Per particelle sferiche di raggio r:

k  6  r

( = viscosità del fluido in cui la particella è immersa)

(30)

Sedimentazione

Fp =

Movimento di una particella sferica sotto l’azione della forza peso

All’equilibrio:

 0

A p

A

S F

F   

Forza

d’attrito Spinta di Archimede

Forza

peso

) ' (

9 v 2

2

g d d

r

s

 

Si ottiene (provare ....)

E` possibile separare

particelle diverse presenti in sospensione o soluzione

es. misura della velocità di sedimentazione dei globuli rossi (VES)

r=raggio particella d=densità particella d’= densità del liquido

=viscosità del liquido

(31)

Centrifugazione

 ( ' )

4 9 v 2

2 2

2

f r

o

r d d

s

 

o

c

f r

a

g   4 

2 2

Tecnica usata quando la velocità di sedimentazione libera è troppo piccola.

Alla accelerazione di gravità si

sostituisce la accelerazione centripeta:

Esempio:

ro=10 cm

f = 104 giri/min

a

c

 10

4

g !!!

(32)

Densità crescente

Esempio: centrifuga preparativa

Consente la separazione delle

diverse particelle in sospensione

(33)

La risultante delle forze di coesione si oppone all’aumento della superficie libera di un liquido.

 tensione superficiale

Capillarità:

si manifesta quando forze di adesione liquido-vetro prevalgono sulle forze di coesione (innalzamento capillare) o viceversa (depressione capillare)

H2O Hg

liquido “bagna” la parete

liquido “non bagna” la parete

Fenomeni di superficie

(34)

Esempio: embolia gassosa

arteria arteria

arteriola capillare

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