Analisi Matematica I (A.A. 2014/2015)
Docente: Fabio Camilli
Esercizi su Insiemi numerici, Induzione, Successioni e Serie
Esercizio 1. Determinare, se esistono, il minimo, il massimo, l’estremo inferiore e l’estremo superiore degli insiemi
A := (−1)n 2 + n2 n ∈ N
[max = 1/2, min = −1/3], B :=nm n + n
m
m, n ∈ No∗
[sup = +∞, min = 2],
C :=
(−1)n+ 1 2n
n ∈ N
[max = 2, inf = −1], D :=
n2− 3
n n ∈ N
[sup = +∞, min = −2],
E :=nm n − n
m
m, n ∈ No
[sup = +∞, inf = −∞], F := |3 − n|
3 + n n ∈ N
[max = 1, min = 0].
(∗ Usare x +1x ≥ 2 per ogni x > 0.)
Esercizio 2. Verificare per induzione le seguenti affermazioni per ogni n ∈ N, n ≥ 1:
n
X
k=1
1
4k2− 1 = 1 2
1 − 1 2n + 1
,
3n
X
k=2n+1
k = n(5n + 1)
2 ,
n! ≥ 2n−1, 62n− 3n
11 `e un numero naturale.
Esercizio 3. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
n→∞lim n√
5 −q 5 −n2
, [R : 1/√
5] lim
n→∞
1 + 1
nn
n!
, [R : 1] lim
n→∞
nn
(n!)2, [R : 0]
n→∞lim
n2+ n n2+ n + 1
2n2
, [R : 1/e2] lim
n→∞
n2√
n!, [R : 1] lim
n→∞
n
r n!
2n+ 1, [R : +∞]
n→∞lim
(n + 1)11− (n − 1)11
n10 , [R : 22] lim
n→∞
nn+1
(n + 1)n, [R : +∞] lim
n→∞
√n
an! (a > 0),
n→∞lim enn2n
(n!)3 , [R : 0] lim
n→∞
√n
2n+ 3n, [R : 3] lim
n→∞
n
s2n n
, [R : 4].
Esercizio 4. Sia a0:= 1 e an+1:=√
1 + an per ogni n ∈ N.
(a) Verificare per induzione che (an)n∈N`e crescente.
(b) Verificare per induzione che 1 ≤ an≤ 2 per ogni n ∈ N.
(c) Dimostrare che (an)n∈N`e convergente e determinare lim
n→∞an. Esercizio 5. Verificare la convergenza delle seguenti serie:
∞
X
k=1
2kk!
kk , [rapporto]
∞
X
k=0
2k·2k k
−1
, [rapporto]
∞
X
k=1
√k + 1 −√ k
k , [conf r.asint.]
∞
X
k=1
√k k − 1k
, [radice]
∞
X
k=1
2k3+ 2k + 2 3k3− 3k − 3
k
, [conf r.asint.]
∞
X
k=1
(−1)k k
1 + k2, [Leibniz]
∞
X
k=1
3k − 3k
5k− 5k, [conf r.asint.]
∞
X
k=1
(−1)k√
k + 1 −√ k
, [Leibniz]
∞
X
k=1
1
ek− ke, [conf r.asint.]
∞
X
k=1
k! + 2
(k + 2)!, [conf r.asint.]
∞
X
k=1
(−1)k 52k+1
(2k + 1)!, [rapporto]
∞
X
k=1
2k
k k + 2
k2+2
, [radice]
